高中数学教学中如何发展学生的“直观想象”素养

余敏

直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。《普通高中数学课程标准（2017年版） 》要求：“通过高中数学课程的学习，学生能提升数形结合的能力，发展几何直观和空间想象能力;增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识;形成数学直观，在具体的情境中感悟事物的本质。”“在学习数学和应用数学的过程中，学生能发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养。”那么，高中数学教学中如何发展学生的“直观想象”素养呢？

一、理解直观想象素养的内涵

《普通高中数学课程标准（2017年版） 》指出：直观想象主要表现为建立形与数的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。“直观想象”素养主要涉及了两个方面，即几何直观和空间想象。

（1）几何直观。几何直观主要是指借助图形来描述和分析问题。孔凡哲、史寧中教授指出，几何直观是指借助见到的（或虚构的）几何的图像关系，直接识别和掌握数学研究对象（空间形式或数量关系）的能力。它是学生解决数学问题的手段，有利于学生了解问题的实质，理清思路，探索解决问题的方向。此外，几何直观还可以帮助学生直观地理解数学，并在教学过程中发挥重要作用。

（2）空间想象。空间想象是数学的基本概念之一，而培养学生的空间想象力更是中学数学的主要任务之一，它包括以下三个方面的内容：①能根据描述空间几何形体的语言或图片，可以在头脑中形成相应的几何图形，并得到其直观图，如一提到正方形，就能想起其模样;②能根据所给出的直观图，在大脑中展现出相应的几何图形，甚至包括其位置关系和数量关系，例如学生学完三视图后，能根据三视图求某一空间图形的体积等等;③能对头脑中已有的空间几何图形进行拆分和组合，得到新的几何图形，并对它的位置关系、数量关系以及直观图进行分析，如在学习棱台时，学生能想象到棱台是指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形状。

（3）几何直观、空间想象与直观想象的关系。我们知道，几何直观是指用图形来描述和分析问题，这是感性认识;而空间想象是学生对二维平面或三维空间的图形的位置、数量关系及其性质的理解，是一种理性认识。但是根据人们的认知过程，他们总是从感性知识中认识到理性的理解，然后从理性中认识到实践的过程，而直观想象的本质是借助几何图形的直观来拓展想象的思维能力。在实践过程中，通常将几何直观思维和空间想象能力都调动起来，从而去寻求解决问题的方法和途径。

二、把握直观想象的基本特征

结合直观想象的内涵，其主要有如下基本特征。

（1）经验性。直观想象必须基于已有的知识经验和活动经验，所运用的知识组块和形象直感都是经验的积累和升华，并不断地组合老经验、形成新经验，从而不断提高直观想象的水平。

（2）整体性。平时数学教学要确立整体联系观，引导学生借助直观了解数学知识之间的相同、相似、差异、不同等区别和联系，形成网络清晰、融会贯通的数学知识结构。

（3）逻辑性。平时数学教学引导学生得出（发现、猜测）相关结论后，还必须要求学生做出合理的数学思考，依据已有数学知识经验和相关程序步骤，通过严格的逻辑推理得出科学结论，以逐步发展学生的逻辑结构。

（4）预见性。平时数学教学要向学生提供具有探索性和思考性的数学学习任务，引发学生深度的数学思考，拓展学生的想象空间，加强学生数学联想和猜想能力的培养，促使学生自觉或不自觉地运用组块与直觉，直接预测问题的结论。

三、通过数形转化思想启发直观想象

数形转化启发直观想象主要体现在函数、解析几何与立体几何方面，初中与高中的衔接过渡过程中，学生问题最多的就是函数，求函数的性质，最值、单调性、对称性等问题，学生感到难度大，比较抽象，但要是画出对应函数的图象，在定义域范围内截出部分图象，一些性质、最值，同学们将会一目了然。例如在研究三角函数y=sinx与y=cosx的性质与内在联系时，在同一坐标系中画出两者的图象，这样不仅直观观察出两者的各种性质的关系，而且还能形象说明由一个函数的图象经过适当平移就能得到另一个函数的图象。还有在统计问题中，让学生将所调查的数据通过适当分组列成频率分布表或绘制成频率分布直方图，还可以转化为茎叶图，不用同学们计算，都可以比较直观的分析这组数据的数字特征，可以评价这组数据的各种性质。数学是数与形的有机结合，也是一种美学，数与形是相互联系而又对立的两个方面，数是形的抽象概括，形是数的直观体现。“数缺少形变抽象，形缺少数难讨论”，数形结合是数学教学过程中的一種基本思想，也是学生必须具备的一种能力素养。在教学中，要真正引导学生领悟“数形结合”的思想方法，要重视“数（式）”的几何理解，“形”的代数表示;在数学解题中，要有意识地将"形″的问题转化为数的问题来处理，以“数”论“形”;再将“数”的问题用“形”来直观描述，达到数与形的有机结合。

四、数学模型展示促进直观想象

在高中数学教学中，教师还可以引导学生通过对图形过程中的认真细致观察来为其直观想象力的进一步发展提供诸多契机。比如：某教师在讲解异面直线的概念知识点时，就引导学生在桌子上拿起两支笔来表达不同平面内的直线，然后基于对这两条直线位置关系的直观、形象演示过程，使得学生可以对异面空间内容做出进一步了解，并对平行、相交，以及不相交也不平行的情况做到准确、全面把握。这样学生既可以实现对异面直线相关知识点的熟练掌握，也能够对其概念内容产生透彻理解。通过特殊模型的科学引用，既可以为学生图形语言解决能力的科学培养提供诸多契机，也能够进一步优化几何图形、数学知识的有机整合，促使学生灵活引用数学语言来进行各类解题思路的深入探究，以此来促进学生直观想象。