具p-Laplacian非局部条件的非线性隐式分数阶微分方程解的存在唯一性

王 和 香

(喀什大学数学与统计学院，新疆 喀什 844006)

0 引言

作为整数阶微积分的推广，分数阶微积分的起源可以追溯到1695年.由于分数阶构建的模型比整数阶模型更符合实际且方法更多样，使得对分数阶微积分的研究得到迅速发展，并广泛应用于声控、信号处理、多孔介质、电化学等众多领域.

近年来，许多学者进一步研究了具有Caputo导数的分数阶微分方程解的存在性.[1-14]文献[1]利用Banach压缩映射原理讨论了一类具有Caputo导数的隐式分数阶微分方程边值问题

CDαy(t)=f(t，y(t)，CDαy(t))，t∈J=[0，T]，T>0，0<α≤1；

ay(0)+by(T)=c

解的存在性和稳定性，其中CD是Caputo导数，f：J×R×R→R是连续函数.文献[2]利用Leray-Schauder度理论证明了具有非局部边界条件的隐式分数阶微分方程

CDαu(t)=f(t，u，u′，CDβu，CDαu)

解的存在性，其中1<β<α≤2，函数f连续，CD是Caputo导数.文献[3]利用Banach压缩映射原理和Schauder不动点定理，讨论了含积分边界条件的隐式分数阶微分方程

解的存在唯一性，其中CD是Caputo导数，f：J×R×R，λ∈(0，+∞).受以上文献启发，本文研究一类具p-Laplacian算子的带有非局部条件的非线性隐式分数阶微分方程

(1)

1 预备知识

定义1[4]若α>0，函数u：[0，+∞)→R的Riemann-Liouville分数阶积分定义为

定义2[4]对于α>0，函数u：[0，+∞)→R的Caputo分数阶微分定义为

其中n-1<α≤n，n=[α]+1.

引理3[6](Krasnoselskii不动点定理) 设M为Banach空间上的有界闭凸非空子集，算子A，B满足：①Ax+By∈M，其中x，y∈M；②算子A是紧的且连续；③算子B是压缩映像.则存在z∈M，使得z=Az+Bz.

引理4[7](Arzela-Ascoli定理) 设{f(t)}是定义在α≤t≤β上的一致有界且等度连续的实函数族，则从其中必可选取一个在α≤t≤β上一致收敛的函数列{fn(t)}.

引理5[8]p-Laplacian算子具有以下性质：

(ⅰ) 若10，|x|，|y|≥m>0，则|φp(x)-φp(y)|≤(p-1)mp-2|x-y|；

(ⅱ) 若p>2，|x|，|y|≤M，则|φp(x)-φp(y)|≤(p-1)Mp-2|x-y|.

引理6[9]设0<α≤1，h：[0，T]→R为连续函数，则线性问题

CDαy(t)=h(t)，t∈J，y(0)+g(y)=y0

引理7 微分方程(1)等价于如下方程：

2 主要结论

首先给出以下条件：

(H3)g：C(J，R+)→R是连续函数，并且满足‖g(x)-g(y)‖≤b‖x-y‖，∀x，y∈C(J，R)；

(H4) |f(t，x，y)|≤q(t)|x|+L|y|，t∈J，x，y∈R，q(t)∈C(J，R+)，0

证明定义T：C(J，R)→C(J，R)，

令

则有

T(BR)⊂BR，BR={y∈C(J，R)|‖y‖∞≤R}.

|CDαy(t)|≤|f(t，y(t)，CDαy(t))-f(t，0，0)|+|f(t，0，0)|≤p(t)|y(t)|+N|CDαy(t)|+M，

可得

故

则有

任取x，y∈C(J，R)，t∈J，有

|CDαx(t)-CDαy(t)|≤|f(t，x(t)，CDαx(t))-f(t，y(t)，CDαy(t))|≤
p(t)|x(t)-y(t)|+N|CDαx(t)-CDαy(t)|.

故

由引理5，有

从而

即‖Tx(t)-Ty(t)‖∞≤‖x-y‖∞.由压缩映射原理，算子T有唯一不动点，即微分方程(1)有唯一解.

证明令R≥2(|y0|+G)，BR={y∈C(J，R)|‖y‖∞≤R}.定义BR上的算子A，B：

下证Ax(t)等度连续.设t1，t2∈J，x∈BR，

故A(BR)相对紧，由引理4，A是紧的.由引理3可知微分方程(1)至少有一个解.

3 例子

考虑微分方程

(2)

由定理1，微分方程(2)有唯一解.