基于稀疏表示的兰姆波模态分离方法研究

2022-03-25焦敬品崔效印李海平

测控技术 2022年2期

焦敬品，崔效印，李海平，蔡伟

(1.北京工业大学材料与制造学部，北京 100124；2.吉林航空维修有限责任公司，吉林吉林 132102)

兰姆波因具有传播距离远、覆盖范围广等优势，已被广泛应用于板类结构的无损检测与健康监测[1-2]。多模态为兰姆波的一个基本特性，该特性对兰姆波的检测效果有很大的影响。一方面，兰姆波的多模态为板结构中不同类型损伤的检测提供了多种可选的模态类型；另一方面，兰姆波的多模态特性增加了检测信号的分析和识别难度，也给兰姆波检测技术的工程应用带来了很大挑战。针对兰姆波多模态特性问题，在兰姆波检测中，一方面需要进行传感器结构和检测参数的设计，使检测中以单一模态兰姆波为主[3-4]；另一方面，也需要对检测信号进行分析处理，利用从中提取出的单一模态兰姆波对结构损伤状态进行评价[5-6]。

针对兰姆波检测信号中多模态波包的分析和识别问题，国内外学者提出了多种兰姆波信号分析与处理方法，主要包括：时频分析(如维格纳分布、短时傅里叶变换、自回归滑动平均模型和小波变换等)、时间-空间变换、时变匹配滤波等[7-8]。例如，Prosser等[9]利用伪维格纳分布对铝板兰姆波检测信号进行了分析，识别出500 kHz以内的零阶兰姆波模态(A0和S0)。基于时间-空间变换理论，Wilcox等[10-11]利用兰姆波的频散特性，实现了低阶兰姆波模态的频散补偿。杨素方[12]提出了一种基于频散匹配滤波技术的模态分离方法，通过滑动窗从频散匹配滤波的响应中提取各模态信号，并将分离出的S0和A0模态信号用于超声阵列成像。

稀疏表示由于具有受样本数量和特征量选取的影响较小且对高维样本具有好的适应性的特点[13]，近年来也被引入到兰姆波信号的降噪和模态分离中。例如，李翔[14]用Chirp信号构造字典，利用信号在频域斜率的区别，重建了不同低阶兰姆波模态。根据S0、A0模态兰姆波的先验频散信息，Marchi[15]将信号的时频域作为稀疏域，通过扭曲频率变换对两种模态兰姆波的字典原子进行优化，实现了不同低阶兰姆波模态的分离。于勇凌等[16]将不同激发频率和传播距离下的实验和仿真数据作为字典原子，使用基于遗传算法的匹配追踪算法实现S0和A0信号的分离。已有研究表明，稀疏表示方法可用于多模态兰姆波的分离，但目前在字典构造方法及稀疏分解方法等方面有待于开展更深入的研究。

针对上述问题，笔者对兰姆波稀疏表示中复合字典的构造方法和稀疏求解方法进行研究，提出一种基于稀疏表示的兰姆波模态分离方法，并将其应用于金属板结构兰姆波模态分离中。

2 基于稀疏表示的兰姆波模态分离方法

利用稀疏表示的方法进行兰姆波模态分离时，主要包括字典构建和稀疏分解2个关键环节。图1为基于稀疏表示的兰姆波模态分离方法的流程图。根据S0和A0模态兰姆波在时域波形上的差异，获取单模态的S0和A0信号以构建S0和A0模态的单模态字典，并构造复合字典。将待测信号在复合字典上进行稀疏分解，采用带相干性准则的最小角回归算法求解稀疏系数，从而在多模态信号中提取S0、A0单模态信号。下面分别对字典构建和稀疏学习这两个环节进行详细介绍。

图1 基于稀疏表示的兰姆波模态分离流程图

2.1 字典构建

字典是为了对信号进行稀疏分解而选取的一组基，字典中每个列向量称为一个原子。字典一般分为正交字典和过完备字典，在稀疏表示中，一般采用过完备字典或称为冗余字典，即字典中原子个数远远多于信号的维数。这种字典由于原子个数较多，其比正交字典有更好的表示效果。

在板结构兰姆波检测系统中，分别采集不同传播距离下的兰姆波检测信号，信号长度为L，信号数量为N。一般情况下，采样频率为几十MHz，信号长度L较大，影响计算速度。因此，需对检测数据进行压缩。图2为数据压缩过程的示意图。图2中压缩系数为k=L/M，即将数据量由L×N压缩至M×N。压缩后的数据中应包含S0模态和A0模态的波包，如图2中虚框所示。

图2 数据压缩示意图

根据波包的到达时间，用加窗的方式分别提取信号中的S0模态和A0模态，并做归一化处理，得到图3和图4所示的S0模态和A0模态原始字典。如图3和图4所示，S0和A0模态波包在时域波形上存在不同程度的频散。

从图3和图4原始字典的红色框中可以看出，缺少能够使整个采样点M范围内均有非零值的原子。为此，对已有原子的非零值(波包)进行时移，将两原始字典的大小分别扩充至M×NS0和M×NA0。其中，NS0和NA0分别表示S0和A0字典的原子个数。扩充后的字典分别称之为S0单模态字典和A0单模态字典，将两字典复合，得到兰姆波复合字典Dcom=[D(S0)D(A0)]。

图3 S0模态原始字典

图4 A0模态原始字典

2.2 稀疏分解

所谓稀疏分解，就是为信号找一个过完备字典，使原信号在这个字典的表示下，大部分系数为零(或趋近于零)，而只有少数元素非零。设信号y={yt,0≤t≤L-1}是长度为N的离散时间信号，它可看作为L维线性空间的一个波形。字典D为一系列波形组成的集合，其数学表达式为D={di,0≤i≤N-1}。其中，原子di是长度为L的离散波形，且具有单位能量；N为字典中原子个数。通常情况下，字典是完备的或过完备的，分别对应N=L或N>L。在特殊情况下，原子库可以是欠完备的，即N

y=Dc+e

(1)

式中:c∈RN×L为稀疏分解系数(也叫稀疏编码系数或激活系数)，其各个元素表示对应字典原子的权重；e∈RL×1为稀疏分解误差。

式(1)所示的稀疏分解模型，可以用图5来形象表示。可以看出，稀疏分解系数c的非零值是稀疏的。

图5 复合字典稀疏分解示意图

由于字典D具有冗余性，故在求解式(1)时系数c不是唯一确定的。一般通过近似的方法寻找最稀疏的c，从而将稀疏系数的求解转化为优化问题：

(2)

由于求解l0范数下约束优化问题的数值计算具有不稳定性，可将l0范数问题等价为l1范数问题的求解：

(3)

使用基于相干性准则的最小角回归算法对式(3)进行求解。LARC算法通过改进迭代终止条件，有效解决了贪婪算法中稀疏系数过大而导致的算法不稳定问题[8]。图6为LARC算法流程[8,13]。

图6 LARC算法流程

(4)

第一次迭代时的残差为y。根据式(5)在字典中寻找与当前残差最相关的原子。

(5)

式中:i为原子在字典中的序号。

将选出原子对应的序号从非活动集I移动到活动集A中。根据活动集A，式(5)的最小二乘解为

(6)

计算当前方向β和步长a：

(7)

(8)

根据步长，更新稀疏编码系数和匹配向量：

(9)

(10)

根据该算法的迭代终止条件，计算残差与当前原子相关性：

(11)

式中:‖·‖2为2范数

若u大于等于阈值u0，则继续进入下一次迭代；若u小于阈值u0，则迭代结束，得到稀疏表示系数。

将兰姆波检测信号y在复合字典Dcom中进行稀疏分解，得到其稀疏系数ccom。

y=Dcomccom

(12)

式中：y的大小为M×1，复合字典的大小为M×(NS0+NA0)。因此，稀疏分解系数c的大小为(NS0+NA0)×1。稀疏分解系数ccom包括两部分：前NS个系数ccom(S0)与S0模态相关；后NA个系数ccom(A0)与A0模态相关。将两系数分别与其对应单模态字典相乘，可得到分离后的S0单模态信号SS0=D(S0)ccom(S0)和分离后的A0单模态信号SA0=D(A0)ccom(A0)。

3 模态分离方法在仿真信号中应用

将基于稀疏表示的模态分离算法应用于兰姆波仿真信号分析，验证其对兰姆波模态分离的有效性。

3.1 仿真模型及字典构造

为获得单模态兰姆波样本信号，在PZFlex仿真软件中建立兰姆波传播仿真模型，如图7所示。模型中铝板尺寸为1000 mm×1 mm，其上粘贴有直径10 mm、厚度1 mm的PZT-5H压电晶片，用于兰姆波的激励,压电晶片中心距板左端面200 mm，激励信号为中心频率220 kHz的汉宁窗调制的单音频信号。在铝板表面上设置接收结点集，接收结点集位于距左端300～800 mm范围内，相邻接收结点间距为0.2 mm，共有2051个接收结点。采样时长为0.4 ms，采样频率为40 MHz。结点集接收到数据的维度为L×N(L=16000，N=2051)，利用这些数据构造复合字典。

图7 字典获取所用仿真模型

在压缩率k=10的情况下，对仿真数据进行压缩，并通过加窗获得单一模态的S0和A0原始字典。为保证字典的过完备性，对已有原子中的波包进行时移以实现字典的扩维。扩维后S0模态字典和A0模态字典分别为M×NS0和M×NA0。其中M=1600，NS0=7503，NA0=5002。将两模态字典相复合，得到复合字典Dcom。

3.2 仿真信号的模态分离结果

基于数值仿真获得的复合字典，利用前述的稀疏表示方法对典型兰姆波仿真信号进行了分析处理。图8 给出了对典型直达波仿真信号处理的结果。其中，接收结点距离激励传感器中心的距离为340 mm。图8(a)为原始信号及模态分离后信号的波形，图8(b)～图8(d)分别给出了分离前后信号的时频分析结果。根据激励源与接收结点的距离及两种模态的传播速度(vS0=5546 m/s、vA0=2350 m/s)计算出的传播时间与两个波包的到达时间吻合较好，确定两种模态波包分离的正确性。同时，时频分布中每个波包的高亮区与对应模态的频散曲线也吻合得很好。

图8 仅包含直达波的简单仿真信号模态分离结果

在图7所示模型的基础上，将板右侧边界设置为自由边界，如图9所示。将接收结点设置在距离激励源中心d1=340 mm处。利用所提出的模态分离方法对该模型得到的仿真信号进行分析处理，结果如图10所示。

图10(a)为分离前和分离后的时域波形。在时域上，原始信号中A0模态直达波的尾部与S0模态边界回波的头部有部分重叠。图9为信号中各个波包的传播路径示意图，表1也给出了每个波包相应的传播距离，其中奇数、偶数序号分别对应接收到的S0、A0模态波包。

图9 仿真模型及兰姆波传播路径示意图

根据表1中各波包的传播距离和兰姆波的群速度，对照兰姆波的频散曲线可以确定各模态的类型。其中，波包(6)为S0发生模态转换产生的A0波，图中未能给出其频散曲线。由图10(b)～图10(d)所示的时频分析结果可以看出，接收信号不仅包括直达波，而且包括边界回波以及发生模态转换的波。在信号分离前后的时频图中，每个波包的高亮区与两种模态的频散曲线吻合较好。特别需要指出的是，该方法可以将在时域波形上有明显重叠的两种模态波包分离开来(如波包(2)和波包(3))。由于复合字典中远距离处原子是通过对近距离下波包进行时移获得的，忽略了兰姆波传播中频散的影响，这就造成了远距离处频散严重的S0模态(波包(5))的分离产生较大的误差，部分波包被误认为A0模态(如图10(d)所示)。

图10 复杂仿真信号模态分离结果

表1 兰姆波传播时间计算表

4 模态分离方法的实验验证

将基于稀疏表示的模态分离方法应用到兰姆波实验检测信号的分析处理中，验证所提出的方法对实验信号中单模态兰姆波的分离效果。

4.1 实验系统及字典构建

板结构兰姆波检测系统如图11所示。该系统主要包括任意函数发生器、功率放大器、示波器、待测铝板试件、激励及接收传感器。待检测板结构为1000 mm×1000 mm×1 mm的铝板，激励和接收传感器为PZT压电片，其直径为10 mm、厚度为1 mm。激励信号采用中心频率220 kHz汉宁窗调制的5周期单音频信号，激励电压峰值为50 V。两传感器的初始间距为100 mm，以10 mm步长，逐渐增加两传感器间距，以50 MHz采样率采集15组不同距离下兰姆波检测信号。

图11 兰姆波检测系统

在压缩系数k=10的情况下，对采集到的15组时域信号进行压缩和滤波。在此基础上，根据两模态的波速、激励和接收传感器的间距，确定接收信号中S0和A0直达波的位置，通过加窗的方式选择出单模态的S0、A0波包，并分别对单模态信号做归一化处理，结果如图12和图13所示。可以看出，由于两个模态的频散特性的不同，使得S0和A0模态的波包形状有一定差异。将这些信号作为原始字典，并通过延时平移对字典进行扩维，得到维度为M×N(M=750，N=9051)的S0和A0单模态字典。将两单模态字典复合，得到复合字典Dcom=[D(S0)D(A0)]。

图12 S0模态原始字典

图13 A0模态原始字典

4.2 实验信号的模态分离结果

基于实验信号获得的复合字典，利用前述的稀疏表示方法对典型兰姆波实验检测信号进行分析处理，图14为典型检测信号的分析结果。该信号波形相对简单，仅包含直达波。与仿真信号的分析过程相似，可以确定第一个波包为S0模态，第二个波包为A0模态。结合信号的时频分析结果可以看出，所提出的稀疏表示方法可以实现检测信号中S0模态和A0模态的分离，分离后的S0信号单模态特性较好，而分离后的A0信号仍残留着部分S0模态信号的波包，分离效果相对较差。分析认为，在检测实验中，与S0模态相比，A0模态波包的幅值相对太小，使分离出的A0波包幅值小于S0模态残留噪声，从而导致A0模态兰姆波的分离效果较差。

图14 仅包含直达波的检测信号分离结果

基于以上研究基础，将模态分离方法应用于更复杂信号的模态分离。图15为典型波形及分析结果。该波形是在激励传感器和接收传感器分别距板边缘44 mm和19.5 mm情况下的接收信号。可以看出，3个波包分别为S0模态直达波、A0模态直达波和S0模态边界回波。同样，该方法可以很好分离出单一的S0模态信号，但分离的A0模态信号中仍包含有部分的S0模态分量，原因如上所述，不再赘述。