高中数学课堂中渗透函数与方程思想教学初探

杨雪松

与小学和初中数学的学习不一样，高中数学的学习相对比较抽象化，大部分学生学习起来比较吃力。高中一年级学习函数就让不少学生感到恐惧，因为其抽象性是义务教育阶段学习无法比拟的。如果学生想要把高中数学这一科目學习好，就需要掌握一定的数学思维并且能够灵活应用。但数学思想并不是一蹴而就的，也不是一两节课就可以传授完毕的秘诀，它是需要学生在深刻理解数学概念、熟练掌握一定量的数学问题后，通过解题后的不断反思，在其思维中一步步摸索与总结而形成的系统思考方法。本文将结合自己的高中数学教学实践，对高中数学课堂渗透函数与方程思想教学进行初步地探讨与分析，帮助学生在提升自身数学能力的同时，也注意自身数学核心素养的提高，并为数学教学效率的提高和数学教学改革的优化提供相关参考。

一、正确理解数学的抽象性，在形象直观中逐步抽象化

从小学开始，学生就明确数学中的“数”是从万事万物中抽象出来的、物质的量的表征。如数字“9”，可以是9颗棒棒糖，也可以是9本书、9位同学、9根笔等等。到了初中，我们又把抽象的数用更加抽象的字母替代。如字母a，它不仅可以表示正数、负数，还可以是0。这时，就很容易让学生犯迷糊，如-a，它是不是负数呢？这个时候，就要分类讨论了，即若a为正数，-a就是负数;若a=0，-a依然等于0;若a为负数，这时-a就反而是正数。这在对a取绝对值时，可以很好地发现学生的掌握情况。很多学生会以为|a|=a，而没有从a的取值分类去得出不同的结论。学生在初中阶段就接触了不少简单的函数，如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。这些函数揭示的是两个变量之间的内在数量关系，这就比单纯地一个字母表示的数更加抽象了。

高中阶段，我们高一的函数学习是最关键的影响因素，指数函数、幂函数、对数函数，它们是我们进一步学习其他函数的基础。为了更好地掌握这些基础的三大函数，我们课堂上要做大量的铺垫，以化复杂为简单，化抽象为形象。如，对于函数概念，y=f（x），我们知道，x是自变量，y或者说f（x）是因变量，x取定值时，y也因此而有唯一的定值与之对应;而x取值变化时，y也随之变化。对此，我简单地说成：函数就是你和我的关系，你定我也定，你变化我也随之变化。学生一下子就能够明白这样两个变量的依存关系。

学习指数函数时，我引入2的0-10次方，要求学生记忆2的0-10次幂结果：1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024，还在课堂上用2的这些次幂演练兰州拉面的生产过程。例：兰州拉面开始揉面，可以看成20=1;然后一拉为2，即21=2;随后再一拉，2变成4，即22=4;以此翻倍下去……拉10次，即210=1024。这时，拉面师傅手中有1024根面条，截取去两头，抓取到热锅中煮熟，加上调料，一碗热气腾腾的兰州拉面就完成了。可以一边模拟拉面的过程，一边让学生跟着做体操，同时记忆2的0-10次幂结果。这样不仅培养了学生的数感，还给学生留下深刻的记忆体验。对于指数函数，我们可以以y = f（x） = 2x为特例展开学习，再在学习过程中讲一些故事，如印度宰相与国王下棋打赌的故事，或者一张纸折叠30次可以堆高到达月球的结果，让学生体会指数翻倍先慢后快的特点。通过这些游戏、故事等，让抽象的数学学习逐渐被学生接受。

二、正确理解函数与方程思想，训练学生的数学思维能力

现在我们所提倡的是能力的学习，在数学当中，需要培养学生的各种数学思维能力。如换个角度思考，正难则反，利用“借”的思想，数形结合……这些思想方法都是我们解决数学以及实际问题必不可少的思想工具。方程思想，其实就是利用未知解题的思想。如，三百多年前，数学王子高斯碰到老师给的难题：1+2+3+……+100=？大家都按固有的惯性思维，从左到右依次相加99次。这个工作量还是挺大的，但也会得到一个有用的数列，即1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……聪明的高斯则换个角度观察，从两头往中间看，发现1+100=2+99=3+98=……=50+51=101。这样，就有50个101，加法变成乘法，即101×50=5050。这也是今天等差数列求和方法的源头。如果我们利用方程思想，我们就可以设1+2+3+…+100=x;然后如同孙悟空的金箍棒，给它一个反转，就有100+99+98+…+1=x。两个等式对齐，相加，就有左边是100个101，即10100;右边是2x。即2x=10100，解方程得x=5050。因此，同样可以得到1+2+3+……+100=5050。

一般情况下，学生在解决数学问题中经常要用到函数与方程的思想，这是解题的关键，特别是碰到一些有规律的数列，一定会有数据之间的依存关系。如对于前述1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66……，依存关系是S = 。而对于拉面数1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024……，依存关系是S = 2n-1。因此，学生学会用函数与方程的思想不仅能够提高自己的数学学习成绩，也能够锻炼自己的思维方式，把复杂混乱的题目整理得更加清晰明了，进而提高数学的逻辑思维能力，更利于学生理解复杂的解题过程。同时，也对学生在生活当中的实际应用很有帮助。

数学中函数与方程思想不仅能够将初中的知识和高中的知识很好地衔接起来，还能把一些生活当中的实际问题或者是具体的数学问题转化成函数与方程，从而更加有利于我们把复杂的数学问题简单化，提高数学学习的效率。函数与方程的思想在数学学习中是一种十分重要的思维方式，在解题中也十分关键，几乎所有的数学题都会应用到这种解题思路，这是提升学生数学核心素养的基本内容，也是提升学生解题思路的重要条件。函数与方程的思想可以让学生在面对大量复杂的题目材料时，把它们变得系统清晰化，更有利于理清思路，应用函数与方程的解题方法，常常能够把问题简单化。应用这种方法在解题过程中可以达到事半功倍的效果。

三、函数与方程思想具体应用到数学教学

1. 在函数与方程相互转化当中的应用

解决数学问题的大部分思路是利用函数和方程之间可以进行相互转化的思想，但是在两者转化的过程当中需要特别注意的是函数的定义域，这是解题中常常遇到的一种情况;另外一种情况是当一个函数的定义域确定的情况下，当运用待定系数法解决数学问题的时候，要能够时刻注意函数的类型，这样才能把这类数学问题完整且正确地解答出来。所以说，我们在做题的时候，有思路的同时，也要做到仔细认真。很多函数和方程的问题当中都会涉及到定义域，我们一定要考虑到定义域的取值范围，并且要能够把同一类型的题目总结出规律，这样能够帮助我们更加快速地解答出问题。

例1：已知函数f（x） = kx2 + （k-3）x+1的图像与x轴在原点的右侧有交点，求解这个函数，确定实数k的取值范围。

分析：解这一道题时，首先要分析当k=0时，f（x） = -3x+1，这个图像与x轴的交点为（，0），这个结果符合题意的要求。

其次，分析当k不等于0时，对于x=0，函数的值为1。当k<0时，函数的图像是开口向下的抛物线，此时它与x轴有两个交点，分别位于原点的两侧。

最后，当k>0时，函数的图像是开口向上的抛物线，此时必须结合△大于等于0，来求解k的取值范围。也就是0小于k并且小于等于1。

解题：（1）当k=0时，f（x）=-3x+1，符合题意。

（2）当k≠0时，f（0）=1。

当k>0时，函数图像开口向上，此时用△≥0解得，0<k≤1。

当k<0时，函数图像开口向下，有两个交点。

综上所述，k的取值范围是k≤1，即k∈[-∞，1]。

通过这一道简单的例题，我们可以看出，函数与方程之间的转化可以提供给我们的是：在解决较难的题型时，一种全新的解题思路，将复杂的问题简单化，将带有变量的方程问题用一次函数或函数的形式表达出来，并结合函数的图像以及图像的开口方向，结合函数的唯一特性，做出正确的解答。依靠这种全新的解题思路，数学的解题变得高效。

2. 在不等式当中的应用

不等式的学习也是高中数学重要的一部分，解题的大部分思路也会应用到函数与方程的思想，这是解题的关键。在帮助我们把这些知识联系在一起的同时，也能让我们更深刻地理解不等式的相关知识。

例2：已知f（t） = log2t，t∈[，8]，对于f（t）值域内的所有实数m，不等式x2 + mx + 4 > 2m + 4x恒成立，求x的取值范围。

解析：t∈[，8]，f（t）∈[，3]。

继而可以将原题表示为：m（x-2）+（x-2）2>0无论在什么条件下都是成立的，这个问题就成为了解关于m的一次函数问题。这样的理解对于解函数问题是十分重要的。

当x=2时，不等式不成立。所以x≠2。

令g（m） = m（x-2）+（x-2）2，m∈[，3]，进一步可以表达为

g（m）在m∈[，3]上，无论是什么条件都是大于零的，因此得到

g（）>0，g（3）>0。

解得：x>2或x<-1。

首先必须要知道这个问题要得到x的取值范围，这里需要注意另一个变量，解决思路的转换的关键在于将不等式的求解x取值范围转变为求变量m的一次函数;其次，再结合一次函数的特性，将复杂的问题简单化，在多个字母变量中，结合一次函数，轻松解得正确答案。通过函数和方程的应用来解决不等式，能够将问题快速准确地解答出来。

3. 应用到数列问题当中

数列也可以看作是一种函数，但是数列的定义域较为特殊一点，就是它是自然数整点。把函数与方程的思想运用到数列当中，能够更好地掌握数列的规律，学习得更加深刻透彻。

例3：已知数列{an}满足an+1 = 2an + 3且a1=6，求数列的通项an。

分析：设an+1 + x = 2（an + x），通过与已知an+1 = 2an + 3对比，解得x=3，即an+1 + 3 = 2（an + 3）。在这道题目当中我们构造了一个新的等比数列{an+3}，它的首项为9，公比为2，在新的数列构造完成之后我们再进行进一步地求解。

在常见的数学解题过程中，可以将这一类问题转化为函数与方程的形式，再结合函数与方程的转化思想，轻松求解。这样做往往能够更加简单，比用直接代数的方法更加有效。

总体来说，函数与方程的思想在数学的学习中需要經常性地运用。根据新课改的要求，数学的学习要能够培养学生的数学思维能力。函数与方程的思想对于提高学生的数学逻辑思维和数学的理性思维都有一定的帮助，所以说，教师应当以课本为跳板，根据班级中学生的具体情况来合理地教学。教学的最终目的是为了能够培养学生的学习能力，不单单是学生对于学习内容的掌握程度。对于数学的教学来说，不单单是教会给学生纯粹的数学理论知识，也要重视教给学生解决问题的能力。数学的学习更加注重的是理性逻辑思维的学习，要想培养学生的这方面能力，在数学教学的过程中运用函数与方程的思想是必不可少的。这也是培养高中学生数学核心素养必不可少的基础性工作。