由一道题谈求异面直线所成角的思路

陆海蓉

异面直线所成的角问题在立体几何中比较常见.由于两条异面直线不相交，我们很难快速找到两条异面直线所成的夹角，需根据异面直线所成角的定义以及向量的夹角公式来求解.本文从一道题出发，谈一谈求异面直线所成角的思路.

例题：在直三棱柱 ABC -A1B1C1中，∠ABC =120°， AB =2，BC = CC1=1，求异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值.

解答本题，需先根据题意画出相应的图形，以便明确各点、角、线段、面的位置及其关系，找到两条异面直线所成的角，得到恰当的解题方案.

思路一：根据异面直线所成角的定义求解

设a、b 是两条异面直线，经过空间任一点 O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.在求异面直线所成的角时，需在空间中找到两条与异面直线平行的直线，并使其相交，所成的夹角即为两条异面直线所成的角.再根据正余弦定理、勾股定理即可求得夹角的大小.对于本题，可通过添加辅助线，作出异面直线的平行线，使 OE//AB1、OF//BC1，则∠EOF 为異面直线 AB1与 BC1所成的角，再在ΔA1B1C1、RtΔEGF 、ΔEOF 中，运用勾股定理和余弦定理求得异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值.

解：

思路二：通过构建空间直角坐标系求解

对于方便建立空间直角坐标系的立体几何问题，我们可采用坐标系法来求解.首先根据几何图形的性质、特点建立合适的空间直角坐标系，然后求得各个点、向量的坐标，通过向量坐标运算即可求得两异面直线所成的角.对于本题，我们可以 B 为原点、BC 所在直线为 y 轴、BB1所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，求得 A B1与 B C1后，便可利用空间向量的夹角坐标公式求得异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值.

解：

思路三：采用基底法求解

运用基底法求空间异面直线所成的角，需先选择合适的基底，根据空间向量基本定理将两条异面直线用基底表示出来，然后根据空间向量的运算法则以及空间向量的夹角公式来求得两异面直线所成的角.对于本题，可以 B B1、B C 为基底，求得 A B1与 B C1，便可根据向量的夹角公式进行求解.

解：

相比较而言，第一、二个思路较为常用，第二、三种思路较为简单.在求异面直线所成的角时，同学们可根据异面直线所成角的定义，也可构建空间直角坐标系，选取合适的基底，利用空间向量来解题.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）