漫谈因式分解及两个多项式定理在其上的应用

李佳蔚 陈丽萍

摘 要：本文对因式分解的方法、解题思路等进行了综述。在此基础上，为了拓展同学们的视野并更好地掌握多项式的因式分解，使大家能够更熟练地进行因式分解，笔者将有理系数多项式的两个定理灵活地加以运用，所述方法有时可以起到化繁为简的效果，使因式分解变得十分容易。本文所述方法对同学们学习因式分解有较强的实际意义。

关键词：多项式;有理系数;因式分解;中学;解法

因式分解在中学阶段的学习中有非常重要的地位和作用，有些看似与因式分解无关的题目能否解出往往与学生的因式分解能力密切相关。有较强的因式分解能力在做题时可能会事半功倍，得心应手。将一个多项式分解成几个整式乘积的形式就是因式分解，因式分解是整式乘法的逆运算。通过对因式分解的学习，我们应该知道：1.因式分解的对象是多项式;2.因式分解最终结果的形式必须是整式乘积，如果还有加减之类的运算则不行;3.一般来说，在分解到最后如有相同因式，应写成幂的形式;4.中学教材中公式里的字母可以表示单项式，也可以表示多项式;5.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止。事实上，什么叫作不可约多项式呢？如果一个次多项式，不能分解成两个次数大于或等于1的多项式的乘积，那么这个多项式叫作不可约多项式。否则叫作可约多项式。一个多项式是否不可约与我们所研究的数域有关。在复数域中，只有一次因式是不可约的，任何次数高于一次的多项式都可以分解成一次因式的乘积。在实数域中，任何次数不小于3次的多项式都是可约的。除一次不可约因式外，还有二次不可约因式。如（其中）。在有理数域中，情况较复杂，除一次不可约因式外，可以有任意次数的不可约因式存在，艾森斯坦因判别法可以判别一部分不可约多项式。6.因式分解一定要在题目规定的范围内分解，范围不同可能分解结果就不同。任意一个多项式的因式分解结果，在我们所定义的唯一性的意义之下是唯一的，这是指无论用什么方法分解，当分解完成后，除了因式顺序外，其结果都完全一样，其实在大学数学中，因式分解的唯一性问题有系统的讲解，有兴趣的同学可以参见参考文献[1]。

因式分解一般有一定的步骤：首先应该看所分解的多项式的各项有无公因式，多项式的每一项都含有的因式就是该多项式各项的公因式。如果将要分解的多项式的每一项有公因式，我们可以先把公因式提出来[2]。此时，多项式已经化成了两个因式之积的形式，当然是否还要分解还需进一步讨论。上述分解因式的方法就是提公因式法。采用提公因式法时，如果多项式的项有分母，则可以先提所有分母最小公倍数分之一到多项式之前，然后对整系数多项式再提各项系数的最大公约数;所提取的字母应该是各项都有的字母，我们取相同的字母最低的指数作为提出去的字母的指数;如果有多项式整体是相同的则整体提出且多项式的次数取最低的[3]。其次结合我们已经学过的公式看能否直接利用乘法公式进行分解，公式法的实质其实就是把乘法公式反过来运用。中学阶段用到的乘法公式主要是平方差公式、完全平方公式、立方和公式、立方差公式和完全立方公式，同学们必须将这些公式牢记并灵活加以运用。

通常情况下，除非基础题目，否则上述两个步骤一般都不能完全解决问题，这个时候就应该考虑其他的因式分解方法了。比如：可用分组分解法，在用分组分解法时要注意的是我们分组的原则是在分组后有公因式可提或可利用公式法继续进行分解，如果分组后无法进行下一步则需要考虑重新分组;换元法，将多项式的某些项作为一个整体，然后用一个新的字母去代换就是换元，换元的目的是使得复杂的多项式转变成简单的和我们熟悉的多项式，使之可以进行下一步的分解;转化法，经过添项、拆项等变形将本身看起来无法利用我们熟悉的因式分解一般方法进行分解的多项式转化为可以利用常见的因式分解的其他方法进行分解的多项式就是转化法;主元法，如果待分解的多项式含有两个或两个以上字母，一般无法直接分解，我们可以将其中一个字母为主元进行变形整理，使多项式能够用我们熟知的方法进行因式分解;待定系数法，其基本思路是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，使这些因式的连乘积与原式组成恒等式，在所假设的因式中，先用字母表示某些项的系数（字母的值是待定的），然后通过多项式恒等的性质（若两多项式相等，则它们同次的对应项系数一定相等），建立方程组，求出这些待定系数的值。除了上述提到的方法外，多项式的因式分解还有其他一些方法：配方法、试除法、类比法、十字相乘法、展开重组法、求根公式法等。

以上介绍了因式分解的一些常用方法，同学们可以根据具体的题目选择合适的方法，多练习有助于因式分解技巧的掌握。其实，多项式在进行因式分解时往往不止用某一种方法，而是多种方法先后交替运用，这时就要根据题目的特点作出分析，灵活选择方法。大家在学习因式分解时可能会碰到一些问题：利用十字相乘法时，如何凑成一次项的系数有困难;分组分解法不知如何分组，盲目地瞎凑。因此我们应该通过大量练习搞清楚每一种方法的适应形式及特点。在进行因式分解时要有整体意识，要从全局出发考慮问题，而不是局限于一个个方法的死记硬背，要自我培养准确选择方法并且能灵活运用方法的数学能力。

在中学数学中，因式分解是一个重要且略带技巧性的学习内容。除了常见方法外，多学习一些解题技巧对我们掌握因式分解非常重要。我在学习这部分内容时就特别注意查询相关解题知识。因为一次偶然，我接触到了大学数学专业的专业课程《高等代数》，发觉其中有两个关于多项式的定理对我们求解多项式的因式分解很有用，下面分享给各位在读的中学生朋友。

一、预备知识

二、主要结果

（一）定理应用举例

（二）综合除法

在定理应用举例中，本文对定理一和二的应用进行了讨论。其中有一个细节：在多项式可能的有理根找到后，还需要去判断这些数哪些是多项式的根。同学们一般采取的方法是将C直接代入验算，看看是否等于0，但是这种做法很容易算错，且如果可以分解出多个的情况可能会被遗漏。下面我们接着介绍与定理应用举例紧密相关的综合除法的知识。综合除法可以很容易地判断C是否是的根，是几重根？

比较等式（1）中两端同次项的系数，得到系数，这样，欲求系数，只要把前一系数乘以C再加上对应系数，而余式r也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式：

也就是说，在第一行把被除式的各项的系数（注意必须把符号一起带上）按次数由高到低一一排好，缺项的系数用零代替。首先得到商式的最高次项系数——和被除式的最高次项系数相等，然后将其乘以C放于第二行，紧接着作加法得到商式的次高次项系数......如此方法算下去，直到得到。这样我们就算出了商式的全部系数，从而得到商式。

注：1.如果，则C是的根，否则不是。

2.若C是的根，可以反复用综合除法去判断它是几重根，从而知道可以分解出多少个。

由上面的分析我们可以发现，仅仅通过作加法和乘法两种运算便可以得到一元多项式除以多项式的商式与余式，这就是综合除法的简便之所在。其实，综合除法作为一种很灵活的方法，不仅这里使用起来简单明了，在其他一些涉及数学运算问题时使用起来也非常方便。以后同学们读大学了会发现，综合除法在计算多项式除以多项式、有理函数的积分等问题中都有非常广泛的应用。 综合除法的一大特点就是方便、直观、易学，所以才具有其他方法不可替代的作用。

结束语

因式分解作为中学代数的一个重要内容，在后续知识的学习中有诸多应用，同学们务必多多积累、熟练掌握。因式分解的方法如前文所言，这里不再赘述。总之，通过学习因式分解，能极大地提升同学们的数学素养，一些常用的数学思想方法在潜移默化中得以成为习惯。比如，因式分解往往要求我们解题必须有全局观，要从整个多项式出发考虑问题，而非局部入手。我们还需学会将较难的问题进行转化，不要“一条道走到黑，”这会有效地提高我们驾驭知识的能力。因式分解所采用的方法比较灵活，也有较强的技巧性，我们可以通过学习因式分解的知识培养自己的解题技能，这也对锻炼发展同学们的思维能力非常有益。这部分的知识对大家以后的学习有着十分独特的作用。通过学习因式分解，还会将大家的数学素养提高一大截，同学们分析问题解决问题的能力将极大增强。其实，通过对因式分解的学习，同学们还会对个人素质的提高大有裨益。遇到简单的因式分解，往往要求我们更加细心，否则可能会不小心而功亏一篑。遇到较难的因式分解，要求同学们有勇于克服困难的决心，有灵活多变的思维方法，有不达目的决不收兵的勇气，有迎难而上吃苦耐劳的精神，如此种种都是我们在学习中所需要的。在因式分解的学习中，因式分解的题目有时会让同学们一筹莫展，垂头丧气，但是当我们努力思索终于找到正确的解题方法时，又会让大家顿觉峰回路转，柳暗花明又一村，由此而体会到数学的乐趣，欣赏到数学的美，因此让我们更加喜爱数学。

因式分解的方法有很多技巧，我们平时应该多练习、多积累，熟练地掌握多项式的因式分解。本文在综述了中学因式分解方法的基础上着重介绍了一种新的方法，所述新方法在中学内容基础上适度作了扩展，不过内容比较简单，完全适合中学生理解掌握。其实，大学数学下行到中学已经不是偶然，比如：高中教材的行列式是线性代数中的内容，更不用说排列组合、概率与统计这些早已列入高中教材的内容。因此，对于学有余力的同学，不妨多读读大学低年级的一些内容，开阔自己的视野，说不定会有意想不到的惊喜。本文只是提供了一种新思路，供教学参考。

参考文献

[1]北京大学数学系.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2019，（第五版）：21.

[2]蒋忠樟.整系数多项式因式分解的一种新方法[J].数学的实践与认识，2005，35（1）：219-221.

[3]赵杰玲.整系数多项式的因式分解[J].黑龙江科技信息，2016（30）：26.

[4]毕严河.因式分解的方法技巧汇总[J].科技视界，2014（1）：277-279.

作者简介：陈丽萍（1971— ），女，汉族，四川省宜宾市人，重慶市第六十八中学，本科，高级教师。研究方向：中学教育。

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