探究性学习导引下“三个理解”教学的实践研究

【摘 要】 文章在探究性学习的导引下践行了“三个理解”，基于三个理解的内涵在教师的组织下学生自主完成了一道矩形章节复习题的知识建构，通过探究帮助学生内化了基础知识及知识间的联系，优化了知识结构，强化了解题的基本技能，深化了问题解决的基本数学思想方法，积累了基本活动经验，提升了数学素养.

【关键词】 三个理解;探究性学习;合作交流

“三个理解”是指理解数学、理解教学、理解学生，它是伴随课改产生的一个教学理論，距章建跃博士首次提出已十年有余，但却历久弥新，对中学数学教学发挥着指导作用.探究性学习是学生在数学学科领域内自行选取或教师帮助选取某个具体问题作为突破点，通过质疑发现问题，借助调查研究、小组合作交流分析研讨问题，依托表达与操作解决问题等探究活动获得知识并掌握方法的一种学习方式，它能成为当下一种流行的学习方式主要因为它可以尽最大程度的体现学生角色的主体性、自主性、开放性，重视知识内化的过程性、实践性，同时还关注学生思维形成的深刻性、灵活性与广阔性;而复习题作为将数学基础知识、基本技能与基本数学思想方法系统化的有效载体有着不可替代的作用，笔者在平行四边形章节复习时遇到了一道涉及“中点”的矩形综合题，采取探究性学习的方式实施了教学，并在教后产生了探究性学习在促进“三个理解”教学的一些体会，现将授课实录与教后思考整理成文与读者交流.

1 试题的呈现

如图1，在矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，且AC=EC，连接AE，点F为AE中点，连接BF与DF，求证：DF⊥BF.

2 教学过程

片段一

师：同学们，认真分析题目的条件并观察图形，你能得到哪些有用信息？

（小组合作交流，时间3分钟）

生1：第一个条件是四边形ABCD为矩形，所以矩形的性质是解决本题的必要条件.

师：矩形有哪些性质？

生1：矩形具有平行四边形的一切性质，例如对边平行且相等，此外矩形的四个角均为直角，对角线相等且平分.

师：很全面，已知条件还有其它信息吗？

生1：第二个条件为AC=EC，说明△ACE是等腰三角形，还应使用等腰三角形的性质.

师：如何使用呢？

生1：结合第三个条件点F为AE中点，所以连接CF后由等腰三角形“三线合一”的性质可知CF⊥AE，同时BF为Rt△ABE斜边上中线，也可得到BF=AF=EF=12AE.

师：很好，生1给出第一种思路，大家看图2，思考如何证明∠DFB=90°？

（小组合作交流，教师给出图2）

设计意图 问题是数学的心脏，探究性学习应在教师预设的问题下引导进行，否则学生就会漫无目的地讨论、交流，甚至偏离解题的主题，这就需要教师课前细致的预设问题，“形成并改进预设”比“善待生成”更重要;同时也需要学生认真读题从已知条件中挖掘有用信息，进而发现解题的大致方向，这也是对学生解题的初级要求，这里经过师生互动后教师通过简单点播很快将学生带入解题情境.

师：同学们，通过观察图形又有新的发现吗？

生2：我们由BF=AF发现∠1=∠2，结合生1同学的思路容易得出△ADF≌△BCF，所以∠3=∠4，同时由CF⊥AE知∠5=90°-∠3，∠6=90°-∠4，所以∠5=∠6，要证∠DFB=90°只需证∠4+∠5=90°.

师：很好，结合∠3=∠4，∠5=∠6怎么找∠4和∠5的关系呢？

生众：∠3+∠4+∠5+∠6=180°，只需将∠3和∠6分别代换成∠4和∠5就可以了.

师：太好了，从边的等量关系找角的关系体现了转化的数学思想，这样就解决了问题，哪位同学板演一下过程.

（学生板演后师生共同查漏补缺并规范过程）

设计意图 在教师的引导下学生从长时记忆中联系中点、等腰三角形、矩形等相关知识，借助图形、文字、符号等形式对信息进行加工，在合作交流中确定题目的已知条件、相关知识、待证结论之间的相互联系，并作出解决问题的基本判断从而解决了问题.要说思维活动是解决问题的前提那么实际操作是检验学习效果的重要方式，通过板演可以发现思维的漏洞，教师通过指导书写的规范性就可避免学生只会说不会写的尴尬局面.

片段二

师：同学们，上面我们用到了等腰三角形、直角三角形与中点相关的性质，除此之外点F为AE中点还可以与谁结合使用？例如与平行线.

生3：本章“中点”碰到“平行线”往往会出现“对顶”的两个三角形全等.

师：对！这是一个重要数学模型，根据这一思路同学们思考如何作出辅助线.

生3：延长DA与BF延长线交于点G，易得△AFG≌△EFB，进而AG=EB，BF=GF.

（教师画出图3，学生看图交流）

师：很好，利用这一结果怎么解决DF⊥BF问题？请同学们认真观察图形并认真思考.

生4：因为点F为BG中点已证，由“三线合一”只需证明DG=BD，借助矩形的对角线相等这一性质我们不难发现BD=AC，再结合已知条件AC=EC，只要DG=EC就可以了，进一步对AG=EB与AD=BC使用等式性质不难得出.

师：非常棒，我们对平行线搭配中点的模型与等腰三角形“三线合一”性质的组合使用也解决了问题，利用同一思想我们还可以延长DF与CB的延长线交于点G，课后同学们可类比完成.

（学生整理思路与过程，查漏补缺）

设计意图 多角度的思考问题可以提高学生思维的灵活性、广阔性，这里从不同的方面处理信息加深了学生对矩形等新授知识的理解度，也巩固了学生对等腰三角形等固有知识的认识，并体会了几者之间的相互联系.预设的问题跨度不宜太大，以免超越学生的思维层次，这里教师在引导“中点”的使用方向时故意将问题指向“平行线”，就是在目的明确的前提下发散思维并解决问题.类比推理是合情推理的一种重要表达形式，受课堂容量、剩余时间等因素的制约，最后给出与生4类似的思路，学生可以在课后以作业等形式检测学习的效果.

片段三

师：我们再来思考还有哪些与中点相关的定义与性质？

生众：三角形的中位线.

师：三角形的中位线需要两个中点，点F是一个，还有其它中点吗？

（小组交流，寻求另一个中点）

生5：矩形的对角线相互平分，所以可以连接对角线BD交AC于点O，点O为另一个中点，连接OF.

（教师画出图4，学生结合图形思考）

生6：此时OF为△AEC的中位线，则OF=12CE，易知OF=12CE=12AC=12BD，直角三角形斜边上中线为斜边一半，所以DF⊥BF.

师：生6的想法很好，但“直角三角形斜边上中线为斜边一半”是在直角三角形条件下找线段间的关系，他好像本末倒置了，如何证明∠BFD=90°，大家能帮助他吗？

学生带着问题在OF=OB=OD已证的条件下思考如何证明∠BFD=90°的方法，很快，很多同学发现与生1类似的方法，得出∠1=∠2，∠3=∠4，再结合三角形内角和定理进行角的代换解决了问题.

设计意图 联想与类比是学生学习的基本要求之一，生1借助平角180°的概念，随之生6就利用了三角形内角和为180°的性质，他们的解决方法有异曲同工之妙，这种对方法的迁移潜移默化的影响着学生分析问题的能力.

片段四

师：上面的方法都是从条件与中点相关的知识出发向结论拼凑，而从待证结论出发向上追溯有哪些思路方法？垂直可以结合平角、内角和等知识进行角的代换，也可以运用等腰三角形的性质解决，那大家想想还有哪些與垂直相关的方法？友情提示一下可以给直线穿上表达式的“外衣”.

生众：两条一次函数的垂直往往通过它们k值的关系来完成.

师：太棒了，如何给直线穿上“外衣”呢？

生众：建立平面直角坐标系.

师：建系需要遵循简单原则，怎么建系最简单？

（学生活动，交流心得探究建系的最简方案）

生7：以点B为原点，以BC，BA所在的直线分别为x轴，y轴，需要设矩形的长BC=x，宽BA=y，表示各点坐标最简单.

解 以点B为原点，以BC，BA所在的直线分别为x轴，y轴，需要设矩形的长BC=x，宽BA=y，则B（0，0），C（x，0），A（0，y），D（x，y）.

因为CE=AC=x2+y2，所以BE=CE-BC=x2+y2-x，

可知E的坐标为（x-x2+y2，0），点F的坐标为（x-x2+y22，y2），

则kDF=y-y2x-x-x2+y22=yx+x2+y2，kBF=y2x-x2+y22=yx-x2+y2

有kDF·kBF=yx+x2+y2·yx-x2+y2=y2x2-x2+y22=y2-y2=-1，

所以DF⊥BF.

（受时间和学生基础的制约，教师给出图5，通过投影展示参考答案，作为补充供学生赏析）

设计意图 解决很多数学问题都需要转化与化归的思想，而复杂问题简单化，抽象问题具体化，几何问题代数化是转化的重要手段，华罗庚先生说过“数缺

形时少直观，形缺数时难入微”.建系法不仅是联系代数与几何的纽带之一，对培养学生数学思想方法也不可多得.“斜率”在初中苏教版鲜有人提，但k值之积等于-1证垂直已然成为学生的共识，解决问题后部分学生又给出了坐标系条件下的勾股定理的逆定理证明垂直的方法，因此教师可以在不超越学生认知水平的条件下适时地、有意识地发散点播，这样不仅可以优化学生的知识结构，还可以拓宽他们的思维.

3 三点思考3.1 理解数学：探究可以发掘每一道试题的深度、广度与价值

何为理解数学？理解数学主要是对数学思想、方法及其精神的理解，对数学知识中凝结的数学思维活动方式和价值观资源的理解[1].结合本节课的探究活动笔者从以下几个维度践行了“理解数学”.

首先，理解数学的前提是教师对教学内容所涉及的知识点应有深刻的理解.课中教师引导学生从矩形的性质作为题根，借助与中点相关的数学模型作为生长点，发生发展形成了完整的知识结构，学生清晰地掌握了涵盖的多种知识，并将它们串联起来.笔者认为复习课中题目的讲解不应是简单的就题论题，而现实中很多课堂都是机械的逐题罗列式的一题一解，看似完成了教学任务，实则教学效果大打折扣，教师只给出一种方法，学生的收获也是片面的.

其次，理解数学是教学对数学思想方法的理解.很多学生经常抱怨平时学的都会，但一碰到综合题就无从下手，原因是多方面的.对知识的联想与迁移认识不深刻是大部分学习能力偏弱的学生与优等生的主要差距.集合论的创始人德国数学家康托尔说过：“数学是绝对自由发展的学科，它只服从于明显的思维.就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定有秩序地与先前已建立和存在的概念相联系.”这就告诉我们学生认知中已有的概念、定理、性质等通过数学思想方法的连接必然存在某种联系，它们中的任一个都不是孤立的，数学思想方法具有将各知识点联系在一起的纽带作用，本节课矩形问题与中点问题能建立多种联系就依赖于转化与化归、数形结合等数学思想.在探究活动中还运用了大量的归纳、类比、演绎等推理形式，同时运用了分析法、综合法等数学分析方法，这些数学思想方法有的是从图形角度向数与式转化，有的从数与式向图形转化，有执因溯果，也有执果溯因，借助这些基本思想方法，学生收获了成功的喜悦，思想更开阔了，进而积累了丰富的解题经验，这都为学生以后解决其它问题扫清了障碍.

最后，理解数学体现在数学实质与问题解决的价值上.陕西师范大学罗增儒教授说：“我有幸经常听到一些中学、大学优秀教师的讲课，感觉并非总是一样的.有些学者型的课语调平缓，没有一句渲染的话，但对数学实质的揭示入木三分，实在令人为之倾倒;有些激情的课抑扬顿挫，高潮迭起，为知识插上了翅膀，讲授披上了艺术的灵光.听起来是一种享受.另有一些课表演的挺热闹，但信息量不足，深刻度不够，缺少思维落差，形同原地踏步，每到关键处总有一些实质性的要害说不出来.学生倒是挺高兴的，而我却感到压抑.”[2]由此笔者认为，教师应深度挖掘问题的数学实质，不仅“深”在知识与技能上、“深”在思想方法上，更重要的是“深”在教学规律里、“深”在思维习惯养成与思维层次的提高上，进而帮助学生由一般的“学会数学的思维”过渡到“通过数学学会思维”，长此以往学生能从数学特有的角度认识问题，能潜移默化的运用数学思维分析问题、解决问题，最终形成严谨的理性精神.

3.2 理解教学：探究可以体现学习过程中学生的主体性

理解教学主要体现在理解教学的规律与特点.数学是思维的学科，只有理解了教学的规律与特点，教学质量才能得到保证.“学生是主体、教师是主导”的教学规律已成为大家普遍的共识，传统的“教师讲+学生听”“学生讲+老师写”是教师一厢情愿的越俎代庖.许多教师都有这样的困惑：为什么同样的题目做了很多遍，还有很多人不会？为什么条件稍作变化就不会了呢？原因或许是学生的熟练度不够与基本概念不清晰，也或许是学生接受了被动的教学方式而失去了探究、参与的机会，失去学习热情的同时也造成思想的惰怠.钱守旺老师说过：“课堂上尽可能给学生多一点思考的时间、多一点活动的余地、多一点表现自己的机会、多一点体验成功的愉悦，让学生自始至终参加到知识形成的全过程中.”基于这四个“多一点”，教师应适时地将课堂上属于学生的时间还给学生，只有以学生为中心让学生动起来才算是一定程度上理解了教学.

3.3 理解学生：探究可以面对不同学生实现教学目标的达成

理解学生主要是教师要尊重学生认知结构、个体差异以及不同年龄、不同层次的学生学习的思维规律.教师在教学设计时应该“蹲下身来”，站在学生的高度平视学生而不是高高在上的俯视他们.笔者所带班级的学生思维层次参差不齐，接受能力也有强与弱，所以教师应从整体上把握知识，面对大部分学生要立足教材、突出重点、突破难点，实现教学目标的达成，还要针对优生启发思维，培养表达能力、迁移能力、探究能力.本节课借助“坐标系”与“斜率”解题不是本章的教学重点，教师仅仅是分析方法展示过程而已，其它的方法又要不遗余力.因此课前教师应将教材中的相关知识进行了整合、拆分、再加工，借助精心设计的问题层层递进，使每一位学生均有所收获.

4 结束语

近几年“一课一题”逐渐成为专题或章节复习课的热门话题，即一节课只探究一两道题目，这样就有足够的时间帮助学生全面关注知识的重现与知识间的内在联系，关注题型与数学模型的总结，关注已知条件、待证结论表征分析的方法，关注思想方法的训练，更可以突出思维层次与核心素养的提升.因此课前教师应了解哪些是富含思想又兼顾知识的骨架题，经过教师对骨架题精心的预设与基于“三个理解”的探究积累教会学生可以举一反三、减负增效.

参考文献

[1]章建跃.中学数学课改的十大论题[J].中学数学教学参考（上旬），2010（3）：2-5.

[2]羅增儒.中学数学课例分析[M].西安：陕西师范大学出版社，2001.7：97.

作者简介 崔道永（1981—），男，江苏沛县人，中学一级教师;主要研究中学数学课堂教学与解题;发表文章10余篇.

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