“数学问题解决”研究20年：回顾与展望

张定强 冯敏

【摘 要】 数学问题解决研究具有重要的理论与实践价值.梳理课改20年“数学问题解决”研究的脉络发现：数学问题解决的研究路径有缓慢起步、迅速发展、深化推进阶段;在理论上，研究者探析了数学问题解决的本体、因素、过程、价值等问题，在实践上，研究者剖析了数学问题解决的教学、学习、评价等问题，未来需要在更宽广的视域上探索数学问题解决的新空间、新主题和新方向.

【关键词】 数学问题解决;历程回顾;未来展望

0 引言

问题解决是人类认识世界、改造世界的基本活动，也是学生获取知识的重要途径.自2001年拉开新课程改革的序幕，经过20多年的课改理论与实践探索，取得了丰硕的成果.数学问题解决随数学课程改革的深化已经成为重要的学术话语，围绕着数学问题解决，数学教育研究者和工作者进行了不懈的努力和探索，成为数学课改和数学核心素养落地的主要着力点.为此，有必要系统梳理课改20年来人们在数学问题解决方面的探索成果，以探寻数学问题解决的历史逻辑、理论逻辑和实践逻辑，从而站在一个新的历史方位认知数学问题解决的内涵与外延、功能与价值、策略和方法，更进一步推动数学教育高质量发展.

1 “数学问题解决”研究的历程回顾

“数学问题解决”一直都是研究者们关注的重点话题，在知网高级检索中输入“数学问题解决”，检索到不同学术期刊发表与此相关的论文达9300多篇，本文基于代表作的视角选定了277篇作为探究“数学问题解决”研究历程的概况.发现这些论文主要来源于《数学教育学报》《课程·教材·教法》《心理发展与教育》等期刊上，呈现多期刊表征的现状.从研究方法审视，主要的研究方法有思辨法、实验法、案例研究法、问卷调查法，其中访谈法、文献法等方法涉及较少.课改20年间，我国学者紧跟时代脉络，对数学问题解决的相关问题展开了系统研究，大致经历了三个阶段.

1.1 缓慢起步阶段

这一时期大概在2001年到2011年间.课改开始不久，人们对“数学问题解决”的认知还处于探索阶段.在早先开展“问题解决教学”课题研究的基础上，研究者结合数学课改新理念，对我国数学课改提出了许多建议.巩汝训等人提出新课程理念下数学问题解决教学设计及应注意的问题[1];宋乃庆基于西师版数学教材中“问题解决”的教学内容对如何更好的实施教学提出了建议[2].与此同时，研究者从心理学角度关注数学问题解决的过程，通过对解题过程的元认知、动机与行为、问题表征等分析，提出有关数学问题解决的相关策略，如黄光荣探讨了数学思维、数学教学与问题解决之间的关系[3];何小亚分析了解决数学问题的心理过程[4];胥兴春、刘电芝对问题表征方式进行了系列研究，肯定了元认知对问题解决的重要影响，并比较研究了数学学习障碍儿童的表征情况[5];朱德全等以“通过问题解决，开发学生元认知，培养学生解题能力”为出发点，运用罗增儒的数学问题解决思维模式的四步再反馈程式，选取三年级的学生对其进行元认知开发试验，在综合分析基础上给出了建议[6];俞国良对视觉—空间表征与问题解决的关系进行了实证和比较研究[7].概括而言，在此阶段，研究者进行了初步研究.一是对数学问题解决过程的模型研究.喻平提出的数学解题认知模式、认知构建模式以及数学问题解决中个体的CPFS结构对迁移的影响研究最具代表性[8];二是对数学问题解决相关的学习、教学模型的具体化研究.张奠宙和戴再平研究中国数学教学中的“双基”和开放题问题解决，并提出对开放题的教学是加快“双基数学教学”进步的有效途径[9];和美君、刘儒德分析了数学问题解决中情境模型和问题模型的关系[10];施光文等人对数学“情境—问题”教学与抛锚式教学进行比较研究[11];吕传汉和汪秉彝提出的“情境—问题”教学模式在西南地区开展了实验研究，并取得了明显成效[12];三是对数学问题解决与创新意识的培养进行探析.尹玉枝等人对数学问题解决与创造力发展进行了实证研究[13];李艳坡等对数学“问题解决”教学与学生创新能力的培养进行了探析[14];豁祖顺利用现代认知心理学的知识，对学生解决数学问题和发展数学创造力进行了深入的分析，认为数学问题解决是学生具备“可持续发展”的能力[15]，周梅等人在数学问题的解决与创造性思维的培养中提到数学的根本任务不仅在于向学生传授知识，更重要的是优化学生的创新思维，培养学生的多种能力[16].

1.2 迅速发展阶段

这一阶段大概在2011年到2017年间.随着数学问题解决研究领域的进一步拓广，研究的内容更加全面，研究的方法更加多样.一是研究者运用多种方法对数学问题解决过程、影响因素等展开深入的研究.宋广文等人开展了问题表征、工作记忆对小学生数学问题解决的影响研究[17];李清等人开展元认知策略、解题策略对不同层次学生数学问题解决影响的实证研究[18];王丽娜等人对课堂网络环境下操作情境对儿童数学问题解决影响进行实证研究[19];张咏梅等人基于表现性评定对数学自我效能与问题解决能力关系进行实验研究[20].二是研究者进行了深入的相关理论和实践研究.魏雪峰等人结合小学儿童的心理特点，根據认知心理学、脑科学、认知神经科学等领域的研究成果，构建了小学数学问题解决的认知模型，为进一步分析问题解决认知过程奠定了基础，并以小学数学中的“众数”为例，研究小学数学问题解决的认知、模拟及其教学启示[21];张永雪的新课改下小学生数学真实性问题解决能力的调查研究[22];李晓梅的关于提高小学生问题解决能力的教学和学习策略[23]等对数学问题解决的教学提供了重要的参考.三是研究者对合作问题解决进行了系列研究.孔凡哲等人提出合作问题解决（CPS）是起源于问题解决，指向合作性，聚焦问题解决与合作之间的动态交融，据此用定量分析方法，分析中美小学数学课程标准，提出CPS立足于个人问题解决素养，全程性地统筹团队智慧，通过理解、共享、情感管理，实现社会交互，强化合作认知，对当时修订《普通高中数学课程标准》具有重要启示作用[24].

1.3 深化推进阶段

这一阶段大概在2017年到至今.此期间随着普通高中数学课程标准（2017年版）的颁布，提出了培养学生发现、提出、分析和解决数学问题的能力，研究话题也主要是数学问题解决下学生能力、素养提升与评价研究.一是数学问题解决能力的培养.曹一鸣等人基于数学问题探讨合作问题解决能力的培养[25];唐斌等人分析了影响小学生数学问题解决能力发展的原因并提出对策[26];高翔等人对五至八年级学生数学问题解决能力进行实证研究[27];张侨平基于数学活动题探析了培养学生数学问题解决能力的策略等[28].二是数学问题解决与核心素养的培养.杨勇提出了在问题解决教学中应该注重问题情境、重视问题提出、关注问题表征、加强问题交流、重视问题拓展等以培养学生数学核心素养[29];王彩云基于核心素养视角研究了如何运用数学思维以提高学生解决问题的能力[30];杜宵丰等以义务教育数学课程标准和大纲为切入点，以问题解决为例，通过内容分析法研究核心素养在数学课程中的发展沿革与趋势[31];张敏以《以常见向量的问题解决》研讨课为例，探求其生成与培育的内在机理与逻辑[32].三是数学问题解决评价研究.鲍建生等人用PISA、TIMSS等测试项目研究了数学问题解决评价框架[33];曹一鸣等人用PISA2021测试法探寻数学推理问题解决间的关系[34];王洁基于PISA2015数据库对北京、上海、江苏、广东四省市15岁学生的合作问题解决能力进行了分析并提出了培养建议[35].

2 “数学问题解决”研究的理论成果

数学问题解决研究的理论视角主要以“问题”为出发点、“解决”为过程和手段、“价值”为目的，从问题中理解数学、学习数学、应用数学，以问题解决发展数学思维，进而研究问题解决过程、影响因素等.

2.1 数学问题解决的本体探析

数学问题解决的本体探析就是探索数学问题解决的内涵、本质及其要素、关系.不同的学者对“数学问题解决”的内涵有不同的见解.喻平提出数学问题解决是指综合地、创造性地运用各种数学知识去解决非单纯练习题式问题，包括实际问题和源于数学内容的问题[36];张春莉认为数学问题解决是一种创造性活动，解决问题的最高形式就是创造性的解决问题，创造力是问题解决的最高表现[37];李胜平认为数学问题解决是一种心理活动过程，它是利用解题者原数学信息库中的信息，将问题中的条件信息进行处理、编码、加工，采取一定的思维对策，运用数学来改变系统的初始状态，将之变为目标状态，使系统从不稳定状态向稳定状态转化的思维过程[38].义务教育课标（实验稿）以及课标（2011年版）中将解决问题视为课程目标及基本能力，普通高中课标（2017年版）将其视为四能之一，在更高层面界定数学问题解决是数学课程的核心要素，是通过数学问题解决使学生触摸数学本质，形成数学素养，感悟数学价值.总之数学问题解决是一项系统工程，与数学知识、能力、思想、方法、創造与应用融合在一起，通过一系列数学活动及教学活动，成为学习者与数学的链接桥梁，成为数学及数学教育系统中的一种关系性、生成性、创造性存在.

2.2 数学问题解决的因素分析

数学问题解决是一种复杂的活动，涉及众多因素，包含知识、能力、素养等，其中研究者从问题表征、问题情境、元认知等展开了分析.问题表征是问题解决者建构问题的自组织过程，调用自己内在的知识、识别问题的呈现方式与问题情境，进而探寻问题解决方法.问题表征即是对问题理解和内化的一种过程，也是问题解决的一种结果，问题表征质量的高低直接影响问题的解决[39]，因此表征及情境是影响问题解决的重要因素，是问题解决的中心环节.正确的语言表征是理解问题的第一步;数式表征是问题解决的信息储存和加工过程，适当的图式表征有助于“问题”的形象、直观地思考，合理地模式表征有助于简约问题解决的思维长度，问题表征的灵活调节有助于培养解题思维的深刻性[40].元认知也是数学问题解决的影响因素，朱德全发现，基于数学问题解决认知模型，元认知是数学问题解决认知的主要组成部分，对数学问题解决的各个阶段起着目标修正、策略激活、进程监控等作用[41];章建跃和林崇德通过实证研究发现数学学科自我监控水平较高者对学习情景中的线索及变化情况比较敏感，对问题中各条件及其相互关系、结论及其变形等都能较好地知觉和分析，并据此而调动起数学思维策略，达成对数学学习及时有效的调控[42].

2.3 数学问题解决的过程研究

数学问题解决的过程相当复杂，许多数学家、数学教育家、心理学家对数学问题解决过程做过深入的研究，提出了各种解决问题的过程模式，其中影响较大的有算子理论、模式识别、信息加工模式等.我国心理学家王甦、汪安圣根据问题解决模型与算子理论，将问题解决概括为四个步骤：问题表征、选择算子、运用算子、评价当前状态;喻平在此基础上建立了数学解题认知模式的“循环系统”，其过程分别为：问题表征、模式识别、解题迁移、解题监控，并进一步指出，学生是否识别应用问题的类型即模式识别是能否成功解决数学应用问题的关键;施良方把数学问题解决分为五个阶段：感觉到问题的存在，明确问题的各个方面、形成各种备择的问题解决方法、根据结果和相对收效来评价已形成的各种备择的问题解决方法、实施某种行为方针;何小亚提出解决数学问题的心理过程包括意识到问题的存在是问题解决的先决条件，表征问题是问题解决的中心环节，确定解决问题的策略并尝试决定着问题解决的方向与成败，评价与反思;张春莉根据信息加工理论提出了数学问题解决的信息加工模式以及问题解决的阶段理论;鲍建生等把解题策略分为四个层次：一般的思维方法，如分类与抽象、观察与实验、比较与概括、分析与综合、一般与特殊;一般的探索策略，如波利亚的“怎样解题表”以及匈菲尔德的研究;数学的思想方法，如中国的方法论研究;数学的解题技巧，如戴再平提出的枚举法、模式识别、问题转化等8个解题技巧等，都在不断促进数学问题解决过程的优化.

2.4 数学问题解决的价值研究

数学问题解决意识及能力的培养是数学核心素养的重要成分，也是数学教育目标从“知识量”到“实践力”转型的关键举措.数学问题解决不仅有利于强化“四基”，更有利于发展“四能”.具体而言，数学问题解决的价值之一是掌握数学方法、培养数学技能.数学问题解决帮助学生促进知识间的整合，学生在解决问题时能触发联想，综合运用知识，从而找到解题的途径.为了促进数学知识间的整合，在学习中利用概念图、结构图、类型题等串联在一起进行分析，通过对知识精加工、分析与把握概念间的联系，建立问题模型、探寻到解决问题的方法技巧，既深化了知识的理解，又形成了稳定的方法体系.价值之二是领会数学思想、训练思维品质.数学思想是数学的灵魂，正是数学问题的纽带将数学的知识、思想、方法、精神融為一体，特别是将数学的抽象、推理、建模思想渗透到数学问题的发现、提出、分析与解决的全程，通过对数学问题的表征、转化，将数学中的计算、推理和想象、综合、实践、应用纳入到数学问题解决系统，成为训练数学思维的主渠道，以养成精确、批判、反思的数学思维方式.价值之三是发展个性心理，形成创新精神.数学问题解决是一种个性化的思维过程，需要在一定的情境下进行创新性思维才能解决问题，更需要调动一切认知资源，去观察、探究、想象、分析、综合、再创造，这中间随着问题的难易程度会遇到种种挑战，惟有在挑战中才能促发思维品质的提升与创新精神、创新意识的形成.曹一鸣等人认为，数学问题解决既可以提高学生数学知识的掌握水平、学生运用数学知识解决实际问题的能力，又可以培养学生探索精神和创新能力、促进学生形成正确的价值观[43]，马云鹏等人将数学问题解决的价值概括为数学问题解决能力是学生数学核心素养的重要标志，解决问题意识的提高使学生更能体会数学的价值，促进数学各领域内容的理解和掌握[44].

3 “数学问题解决”研究的实践成果

数学问题解决能力形成的主阵地是数学教学、学习与评价，在数学教学中需要创新教学模式，在数学学习中需要变革学习模式，在数学评价中需要注重过程评价.

3.1 数学问题解决的教学探索

数学问题已经深深地嵌入到数学教学的设计、实施、评价、反思当中.周映平提出开展数学“问题解决”教学可以按照以下策略实施：动机激发策略、层次设计策略、主体发展策略、探究创新策略[45].这些教学策略适切运用，有利于学生数学问题解决能力的提高，也有利于教师盘活各种资源，助于数学问题解决价值的实现.数学问题解决需要开放型的教学模式，如研究者以“平行四边形面积”为例，在教学中探究思路开放，猜想与实验无缝对接;探究过程开放，特例与归纳内在关联;练习视角开放，传统与创生有机结合，通过这样的开放性活动促使学生巩固陈述性知识、发展策略性知识，形成事实性与概念性、反思性知识.数学问题解决一个重要方面是开展数学建模与数学探究教学，通过一些典型问题的案例分析，将现实问题、数学问题置于一种宽阔的素养视野，基于建模与探究去分析和解决问题，才能促使学生深入地认识数学对象的本质，发现数学规律和真理.

3.2 数学问题解决的学习探索

数学问题解决的真正受益者是学生，在数学问题解决过程中，一是可以加强数学语言转换训练，提高阅读审题能力.如有研究者认为关键信息的提取是提高解题能力的关键，而这些信息要在读中明确已知与未知的关系，在找中找到关键词句，在想中想到是否隐含其他信息，在理中理清与解题无关的因素，进而在反思中准确完成解题步骤.二是可以通过知识的重组与比较，提高模式识别能力.只有清晰问题中所蕴藏的模式才能有效地解决问题，在识别模式中能够将该问题归类，使得与自己认知结构中的某种数学模式相匹配，进而形成问题解决的思路并解决问题.三是可以加强数学灵活性培养，提高学生的数学运算和推理能力.思维的灵活性要求学生在解决问题时，思路清晰，能够根据具体问题具体分析，能够根据题目条件，灵活地进行计算和推理，多角度地分析问题，找出解决问题的最佳方案.四是可以注重解题思维的监控，进行归因分析.解题的成功与否，关键是思路的开通.这其中思维监控起着“导航”“调节”作用，需要及时信息反馈，克服思维定势，及时调整策略，提高解题行为的有效性与正确性，及时反思与监控，全方位诊断分析解决过程，以使问题解决更加科学、合理和简捷.

3.3 数学问题解决的评价探索

数学问题解决不能缺失评价的因子，需要探析数学问题解决中的评价工具、建构评价框架、科学进行评价.顾泠沅等人在2002年借鉴国外的评价模型建立了问题解决的综合难度模型，区分了5个难度因素，并将每个因素划分为若干个水平[46];段孝宇在此模型基础上编制了五年级问题解决能力测试题并进行实测，根据测试结果提出相应的教学建议[47].随后不同的学者结合PISA关于问题解决评价框架和美国学科能力表现标准中问题解决评价框架及问题内容的综合程度和难度，对学业考试、数学问题解决能力分级分类进行了研究，通过质性与量化的方法，构建了Q-C-Q数据整合分析模型，基于数学能力、思维水平、问题解决能力之间的内在关系，系统的对学生的问题解决能力进行评价.

4 “数学问题解决”研究的未来展望

4.1 系统规划，聚焦数学问题解决的理论与实践研究

数学问题解决在数学教育中的重要地位决定着新时代将更加聚焦于理论与实践研究.一是以数学问题为导向，以创新为契机，推进问题解决关键环节的理论探析.诸如数学问题发现的源与流及其形成机制，数学问题系统中的源问题与靶问题间的关系，问题与解之间的链接通道及辩证关系，数学问题解决的过程及创新机制探究等.二是以诊断评价为重心，以反思为抓手，推进问题解决实践路径探讨.数学问题解决要与学情、世情、人情相结合，与信息技术、情境创设、大脑机制相融合才能找到其价值功能发挥的实践逻辑，诸如数学教学设计中如何精巧的设计问题链、教学过程中如何破解和生发问题链、教学评价中如何利用问题链，教学反思中如何重构问题链，其实质就是透过问题解决这扇窗口，培养学生数学的“创新精神与实践能力”.

4.2 探索方向，明确数学问题解决的主题与方向趋势

数学问题解决需要探索新的主题和方向以回应立德树人根本任务的诉求.一是在关注学生成长上探索数学问题解决新主题，数学问题解决伴随着人的整全，助推着学生综合素养，因此要分阶段、分层次、分时空探析数学问题解决的类别、责任、权利与策略，紧跟时代脉胳，紧扣学习内容，有目标、有计划选择适宜于学生成长的问题域并让学生在问题解决中成长.二是在尊重学生主体上探索数学问题解决新方向，只有数学问题解决与学生主体相吻合，才能打开学生学习的视域，调动学习的动机，才能让学生具身探究，并立足于主体的发展去与数学问题接触，启动思维，探寻问题解决的路径与方式，进而在一些非常规的、复杂的、具有不同解决方法的、基于众多知识和技能的、要求使用不同表征方式的、具有多重情境的問题解决过程中提高学生数学素养.

4.3 拓展空间，精确数学问题解决的综合与渗透视域

随着数学问题解决研究的不断深入，数学问题解决的领域已不仅仅囿于数学世界，更关涉自然科学、社会科学.一是数学问题解决要基于数学世界及学习者数学素养的发展而启动，不断开创数学问题探究的新空间.二是数学问题解决大多与自然科学和社会科学息息相关，涉及航空航天、国防安全、生物医药、信息、能源、海洋、人工智能、先进制造、文化发展等领域，因此需要跨学科、跨领域去拓展数学问题空间，在与不同学科融合与渗透中培养学生的类比、分析、归纳、抽象、联想、演绎推理、准确计算、学习新知识、运用新软件等能力.因此要基于大单元、深度学习促进学生对遇到的问题以“数学方式”进行理性思维，从而对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型，有效提高综合素养.

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作者简介 张定强（1963—），男，教授，博士生导师;主要研究数学教育.

冯敏（1993—），女，博士研究生;主要研究数学教学论.

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