小学数学《图形与几何》的教与学

2022-03-18沈瑾瑜

读写算(中) 2022年4期

关键词：图形与几何度量立体

沈瑾瑜

小学数学《图形与几何》的教与学

沈瑾瑜

（江苏省南通市海门区三星小学，江苏南通226100）

“图形与几何”是小学阶段的重要教学内容，也是数学教学的疑难部分。为落实新课改要求，教师应当立足于教学内容，着眼于学生认知规律，从多元表征图形本质特征、多元维度度量图形大小、多样视角认识图形联系、多种方法表达图形位置，帮助学生形成空间观念。

小学；数学；图形；空间观念

在小学阶段，“图形与几何”这一部分知识是数学教学过程中比较难的部分。为落实《新课程标准》的要求，必须从动态和静态两个层面认识图形，从数量关系与空间关系两个方面刻画图形的性质，逐步建立起空间观念。

一、多元表征图形本质特征

（一）在静态观察中抽象出图形特征

对图形的认识基于对实物的观察，不仅从整体着手，感知图形的特征，还从局部着眼，分析图形的结构，最后建立整体与部分的联系，帮助学生从具体实物中提取出图形的空间形式。

视觉上的感官体验，向学生传达了现实生活中存在着的立体图形。在整体感知的基础上，学生抓住图形特征，构建起数学模型，进一步抽象过渡到平面图形。在这一过程中，需要舍去事物的颜色、材料等非本质属性，关注图形的形状、大小等本质属性。比如，橡皮檫可以看作是长方体，类似的还有字典、铅笔盒。这是对现实实物的整体认知，需要剥离某些无关因素，聚焦图形的本质特征，抽象出几何模型。从立体图形中可以剥离出许多平面图形，把复杂图形分解成简单图形。比如，在纸上把长方体的一个面拓印下来，可以得到平面图形——长方形，如果拓印不同的面，可以得到不同的长方形。把平面图形从立体图形中拓印下来，就是对立体图形的再抽象。

对分解出的简单图形，可以从细微处入手，提取图形关键特征。比如，长方体中提取出的6个面，能判断形状，比较大小；从长方体中提取出的12条棱，能比较长短，判断位置关系；把长方体变形，长方体能“变”成正方体……从局部认识整体，进一步归纳总结图形与图形之间的区别与联系。

对图形的认识，往往遵循“体——面——体”的认知顺序，在观察中洞察图形的本质属性，进一步提炼出图形特征，从笼统感知转为具体认知，从浅层建构逐步走向深层建构。

（二）在动手操作中抽象出图形特征

对平面图形的认识不能停留在视觉层面上，还应当与理性思考结合起来。只有把感官和思考有机融合，才能提升对图形的认识。操作的过程就是学生多感官协同活动，探索数学本质，促进知识形成的过程。

对图形的认识，不能满足于表象，还应该深入探究图形的特征。对图形的深层认知，往往从感官出发，从巧合着手，从操作着力，通过自主探究抽象出图形的性质，从表象走向深层，加深对图形特点的理解。

（三）在图形转换中发展空间观念

不管是从立体图形中剥离出平面图形，还是反过来由平面图形想象出立体图形，都是基于对图形的深层认知。二维图形与三维图形之间，不仅仅是从具体事物中抽象出图形，还包括从生活中寻找图形依附的物体；不仅仅是从立体图形中剥离出多个平面图形，还包括对平面图形之间的位置、结构的想象推理，重新构建出立体图形。图形之间的变换进一步建立现实生活与抽象图形之间的桥梁，沟通三维图形与二维图形之间的联系。

平面图形依附于立体图形而存在，立体图形的三视图、展开图就是最有力的证明。三视图就是对同一个立体图形采用3个不同视角进行观察，分成3个部分描述物体的形状和结构。反之，通过对三视图的空间重塑，想象出不同方向上的图形形状，整体考虑物体的大小、结构，就能描述实际物体，判断出各部分的位置关系，推理出物体的摆放角度。此外，如果需要整体描述立体图形各个面之间的关系，就需要借助展开图，它反映了立体图形中存在的多个平面图形之间的形状、位置、大小与结构关系。“图形与几何”的教学，实质是把立体图形中分解成平面图形，从平面图形中追溯重构立体图形，是立体图形与平面图形之间的双向转换。

由此可见，图形的认识是以定性的角度为切入口，深入认识立体图形与平面图形之间的关联，助力学生空间观念的养成。随后，图形的认识经由定性转向从定量的角度刻画图形的一些特征。

二、多元维度度量图形大小

（一）基于过程的优化看待图形的度量

对图形空间形式的量化，就是对图形周长、面积、体积的量与计算。图形的度量往往呈现出高度相似的结构：从概念的建立，经历标准多样化的单位度量，最终统一标准，形成固定的度量单位，进一步抽象出计算公式，回归解决实际问题。

对图形的度量，就是用一个标准的量（度量单位）度量图形。度量单位的形成源于人类生活实践中的比较，度量单位的统一源于对比较标准的优化。当不能通过重叠、观察等方法直接比较出物体大小时，就需要借助第三方物体作为测量工具，进行间接比较。由于每个人采用的工具不统一，会导致结果不一致。于是，需要统一比较的标准，逐渐诞生了统一的度量单位。为了满足精确度量的需要，进一步发展度量衡系统，采用更小的度量单位表示有关的量。

测量图形大小的过程，本质上是对度量单位的计量，通过对操作方法的不断优化与简化，建立起数与形之间的对应关系，最终表现为计算公式。比如，长方形面积计算公式的推导，就借助了正方形学具的不同摆法，从全部摆满优化为一行一列，以形助数，直观感受长方形的长与宽分别对应着正方形学具的每行个数与行数，再摆脱实物的束缚，以数解形，总结出面积计算公式。在对图形大小的计算公式上，进一步优化表现形式。比如长方形的周长公式，借助乘法分配律，从分别计算2条长和2条宽，优化为计算先计算一条长和一条宽的和，再乘2。

度量的关键是设立统一的度量单位，不管是度量单位的形成还是测量方法、结果，都体现了从多元走向统一的过程，体现出数学整体发展趋于统一，表现为数学表现形式上的高度简洁。

（二）基于思想的高度测算图形的大小

“图形与几何”的教育价值不仅仅聚焦于最终的知识成果，还包括隐藏在知识形成过程中的数学思想与数学精神。知识是人类探索活动的最终产物，但主导着数学探索活动的灵魂是数学思想，它是对知识形成过程中不同思维方式的高度概括，是突破惯性思维、开创数学新局面的高度抽象。

在一众图形中，圆的特殊性不言而喻。就以圆为例，对其周长的探索需要从分析圆的半径与周长的关系入手，通过用线绕、量长度、算比值、填表格，观察得出：圆的周长与直径之间存在固定的倍数关系，从而得出周长与直径之间存在确定性的函数关系，初步体会函数思想。

圆的周长化曲为直，圆的面积展现了从量变到质变的过程。通过有限次数地分割，观察其拼接后的图形，想象无限次分割后拼接而成的图形状态，化圆为方，化曲为直。在曲与直的矛盾中，激发无限逼近的极限思想，引导学生感受转化的数学思想。

与圆有关的立体图形——圆柱，可以看作是若干个完全相同的圆层层堆叠到一定程度形成的。教师在向学生传达微积分思想的同时，如果把计算长方体、正方体体积的方法迁移运用，就能类比得出圆柱体积的计算方法，进一步渗透类比思想。

由此可见，数学思想源于人类的思维活动，寓于知识的形成过程中，在高处指导具体数学知识的学习。“图形与几何”的教学不仅注重数学知识的传授，还紧扣知识形成的过程，让学生经历知识再创造、再认识，充分挖掘看似平常实则非凡的数学思想，使数学教学站上新高度。

三、多样视角认识图形联系

（一）基于变与不变动态认识图形

把一个图形拆分成几个部分或几何元素直接进行研究，就是从静态的角度看待图形的形成。如果从动态生成的角度看待图形的形成，就是追踪图形元素运动的轨迹，比如，点动成线、线动成面、面动成体。从这个角度来看，图形本身就存在运动属性。

研究图形运动，常常从生活现象入手，用数学的眼光认识和把握这些现象。通过观察，整体感知运动方式，比如，平移是沿一条直线移动；旋转是固定一头转动另一头；轴对称是翻折后图案完全重合。通过对运动过程的分析，思考运动涉及的几个要素，进一步认识图形的运动，比如，一个具体的平移运动，主要由其平移方向和距离确定；旋转运动是由旋转点、旋转方向、旋转角度决定；对称轴是轴对称变化的基本要素。

但是光感知运动方式还不够，还需要结合运动前后图形的变化，总结运动的特征。图形的运动，本质上是图形的变换。在平移、旋转和轴对称变换前后，图形只有位置发生了变化，其他一切如故，也就是说两个图形是全等关系，这种变换就是全等变换。但是在图形的缩放中，各边按比例放大，前后图形对应角的大小不变，也就是图形的形状不变，大小变了，两个图形是相似关系，这种变换就是相似变换。

图形的运动对于刻画图形的价值，就是研究运动中的不变量。在研究变与不变时，常常选取运动前后的图形对比分析，化动为静，将动态问题置于静态来思考。

（二）基于联系的观点重新认识图形

利用图形的运动认识图形，是一个将静态认识与动态认识相结合的过程。变换不同的角度分析同一个或同一类图形，做到横向对比，纵向联系，掌握运动前后图形之间或图形元素之间的变与不变，就可以动静结合，进一步掌握图形之间存在的区别与联系。

三角形的教学充分展示了动静结合的观念。教学首先从静态认识入手：通过静态观察，从边、角、顶点三方面总结出三角形的特征。其次，化静为动，从点的位置关系的角度动态认识三角形：让学生在方格纸或钉子板上探索在什么条件下形成三角形，思考三点不在一直线时，两边之和与第三边之间存在的大小关系，分别从点的位置关系和边的长度关系两个方面总结构成三角形的条件。这一过程在已经确定两点的基础上平移另一点的位置，展示不同情况下三点能形成什么图形，强调了三角形的点和边的位置关系，渗透了边的长短关系和高的定义，进一步巩固三角形的特征。再次，化动为静，从点和边的位置入手，探索三角形的三边关系。在已经确定一条边长度的基础上围绕这条边的两个端点，旋转另两条边，比较围成三角形时两边之和与第三边的关系，通过选取旋转过程中的三点（或三边）呈一直线的特殊瞬间，用反证法明确了围成三角形的三条边长度关系。

联系并不仅仅存在于动与静之间，还存在于整体与局部之间。对于图形的认识不仅可以从图形元素入手，也可以从运动特性入手，用联系的观点看待图形，就能多角度深入认识图形，就能全方位把握图形之间的联系。

四、多种方法表达图形位置

（一）基于点与点的位置关系描述图形的位置

图形与图形之间的联系，除了形状、大小，就是位置关系。描述图形的位置关系需要结合学生的生活经历，创设贴合生活的问题情境，让学生尝试描述物体或图形的位置，并对不同的描述方法进行对比分析，总结描述位置必需的基本要素。

对图形位置的描述，始于点与点之间的位置关系，为初中阶段学习平面直角坐标系和极坐标系做铺垫。平面直角坐标系的渗透是从教师的视角观察学生的位置展开的，将每个学生都抽象成点，接着在点上套上方格，引导学生建立数与形之间一一对应的关系，进一步统一表示方法——用数对确定位置，抽象出坐标。如果只确定数学中的行或列，只能确定物体在某条线上，对应的物体不唯一，描述的位置不够精确。因此，在“平面直角坐标系”中，“行”与“列”二者缺一不可，在用数对表示时，就需要用两个数字分别代表行与列。

极坐标系渗透在用方向和距离定位的过程中。在具体情境中将每个物体都抽象成点，选取其中一点为参照点，依据物体相对于参照点的方向和距离，描述物体的具体位置。在数学描述中，如果只确定方向，只能确定物体所在的区域；如果只知道方向及角度，只能进一步确定在一条射线上；如果只知道距离，只能确定在一个半径是定值的圆上。因此，“方向角”与“距离”相辅相成，二者是描述物体在平面中位置必不可少的要素。

描述图形位置的两种方法，都是从某人或某物的视角展开，即确定了参照物，那么对于图形位置的描述就是相对的。基于参照点具体描述图形的位置，本质上是确定从一点到另一点的路线。不同的是，在“极坐标系”中，如果切换了参照点，物体相对于参照点的方向和距离就会发生变化，对物体位置的描述也随之变化。

（二）基于线与线的位置关系描述图形的位置

小学阶段，线与线的位置关系在同一平面内的前提条件下重点研究两种特殊情况——平行与垂直。纵观整个教材体系，不难发现它的学习起着承上启下的作用，这是因为学习这部分内容必须要以直线和角的知识做基础，也为今后学习平行四边形、梯形等图形埋下伏笔。

平行与垂直的核心是感知两条直线的位置关系，并建立起正确的表象。在穷尽两条直线的位置关系的前提下，进行三层次的分类：第一层次的分类是直接根据两条直线有无交叉分成两类；第二层次先根据直线特征进行延长，再分成相不相交两类，复习直线两端可延长的特点，强调特殊情况——两条直线延长后才相交，反之，则顺势引出“平行”的概念，突出平行不相交的表象特征；第三层次是进一步研究两条直线相交的情况，通过测量相交形成的夹角，进一步细分为直角和不是直角两类，借机突出夹角为90°的特殊情况，引出“互相垂直”的概念。然后，找找生活中的例子巩固对“平行”“垂直”概念的理解，展示“平行四边形、梯形”等图形的构成过程。