梳齿倾斜角对多自由度微陀螺动态性能的影响

张昆鹏， 郝淑英， 宋宇昊， 张琪昌， 冯晶晶

(1. 天津市先进机电系统设计与控制重点实验室， 天津 300384； 2. 机电工程国家级实验教学示范中心， 天津 300384；3. 天津理工大学 机械工程学院， 天津 300384； 4. 天津市非线性动力学与控制重点实验室， 天津 300072；5. 天津大学 力学系， 天津 300072)

1988年，美国德雷伯试验室研制出了世界上第一款微机械陀螺——双框架式微机械陀螺仪[1]，由此拉开了微陀螺的设计序幕。近年来，众多相关研究表明，微陀螺系统存在明显的非线性行为，其中刚度非线性和静电力非线性在微陀螺系统中最为常见。这些非线性因素将导致系统响应出现明显的频率偏移、多稳态解、刚度的软硬化特征以及软硬特性过渡[2-3]，发生分岔甚至混沌等振荡不稳定现象，对微陀螺的灵敏度、带宽和稳定性造成极大影响。由于微陀螺是由深反应离子刻蚀技术(deep reactive ion etching， DRIE)加工而成的一类MEMS惯性器件[4]，与理想结构相比，难以避免地存在着刻蚀误差，导致梳齿之间往往不相互平行[5]，并且支承微梁亦会出现过度刻蚀现象[6]，严重影响微陀螺的检测性能。因此，准确建立其理论计算模型，深入研究加工误差对微陀螺性能的影响规律，对提高微陀螺的整体性能显得尤为重要。

董林玺等[7-8]分析了三种电容驱动下，梳齿电容式传感器梳齿极板间的不平行对传感器的可靠工作范围及阶跃加速度信号作用下对可靠工作条件的影响。结果表明，倾斜角的变化会减小可靠工作的范围和降低传感器能够承受的临界阶跃加速度值。Guo等[9]在考虑了体加工过程和边缘效应的前提下，采用积分法和保角变换理论建立了梳状驱动器不平行板电容的理论模型，并通过有限元仿真和试验验证了理论模型的正确性。对带有倾斜梳齿MEMS电容式加速度传感器，董林玺等[10]分析了倾斜角影响自我标定精度的原因以及提出了开环自我标定时减小倾斜角误差的方法。Zhong等[11]通过控制微谐振器梳齿倾斜角以升高、降低或自平衡谐振频率，通过最大Lyapunov指数分析亦表明倾斜梳齿可以帮助增强微谐振器的运动稳定性，并避免吸合效应的发生。郝淑英等[12]研究了梳齿间距工艺误差对微谐振器动力学性能的影响。结果显示，梳齿偏移对驱动方向的影响很小，但梳齿垂直方向上受到了静电力的作用从而产生了微小变形；同时，梳齿偏移将使系统的吸合电压降低，但对微谐振器的模态没有任何影响。郝淑英等[13]研究了加工误差导致的微梁过度刻蚀对单自由度微陀螺动态性能的影响。结果表明，微梁刚度和微陀螺固有频率随着刻蚀角度的增大而增大，带宽随过度刻蚀夹角增大而减小，灵敏度随过度刻蚀夹角的变化而发生不规律变化。Yan等[14]对横截面呈梯形的高宽比电容式圆盘谐振器进行了研究，分析了由于静电力产生的静电刚度对谐振器的静电调谐机理，得到了谐振频率变化对倾角和直流偏压的依赖关系，以及倾斜角对机电耦合强度的影响，发现最佳调谐电压随倾角的增大而增加。上述研究主要集中在由于刻蚀加工导致的微梁、微梳齿误差对电容式传感器和微谐振器等动力学性能的影响。

由于微陀螺也是应用DRIE技术加工出来的MEMS器件，必然存在如梳齿不平行等常见的加工误差，严重影响微陀螺的静电驱动力以及静电弹簧刚度。为了消除或控制该类加工误差对微陀螺性能的影响，在动力学分析模型中应考虑非理想加工情况，建立更加贴近实际的分析模型，并对其影响机理进行研究，方能保证微陀螺设计的有效性，但目前对相关问题的研究还鲜有报道。

本文以一类双驱动双检测四自由度微陀螺为研究对象，建立了包含加工误差影响的非线性动力学分析模型，采用多尺度法对系统非线性动力学方程进行摄动求解，研究了梳齿倾斜角度类的加工误差与静电力非线性软特性之间相互作用的规律，以及对微陀螺固有频率、灵敏度和带宽的影响机理。

1 双驱动双检测微陀螺工作原理

考虑一类典型的双驱动双检测四自由度微机械陀螺仪[15]，其结构如图1所示，此类微陀螺主要由驱动质量、解耦质量、转换质量、检测质量、弹性微梁以及梳齿电极等组成。图1中，x方向为驱动方向，y方向为检测方向，Ωz为垂直于x-y平面的输入角速度，解耦质量mf和转换质量m2形成双级解耦结构，起到隔离驱动模块和检测模块的作用。

图1 双驱动双检测微陀螺结构示意图

四自由度微陀螺动力学模型如图2所示，其中驱动质量块m1为驱动一、转换质量块m2与解耦质量块mf组合为驱动二、转换质量块m2为检测一、检测质量块m3为检测二。

图2 四自由度微陀螺动力学模型

微陀螺工作时，驱动质量m1在梳齿驱动电极的作用下沿x方向振动，解耦质量mf由于梁k2的作用开始沿x方向振动；同时，转换质量m2在梁k4的作用下随解耦质量一起沿x方向振动。当系统在x-y平面垂直方向有角速度Ωz输入时，由于科氏效应，x方向的振动引起y方向的谐振，转换质量m2与检测质量m3在梁k4、k5和k6的约束下沿y方向振动。检测质量m3在y方向的位移即为微陀螺的检测输出位移，其随着角速度Ωz的增大而增大。由于结构谐振时检测输出幅值与输入角速度Ωz成正比，通过测量输出幅值即可测得载体的输入角速度Ωz。

考虑到此类微陀螺的工作环境为真空封装环境，空气阻尼相对较小，阻尼的非线性因素可以忽略，即假设系统中驱动和检测方向均为线性阻尼。由图2分别建立微陀螺系统驱动和检测方向的动力学方程，如式(1)、(2)所示。

驱动方向：

(1)

检测方向：

(2)

由于加工后的微陀螺梳齿之间通常是不完全平行的，将会产生如图3和图4的梳齿倾斜角。在具有较高宽深比的微陀螺梳齿结构中，这种不平行梳齿结构更加突出，对微陀螺的静电驱动力、带宽以及灵敏度产生较大影响。图3为不平行梳齿截面的电子显微镜图，图4为倾斜梳齿截面示意图，其中θ为由于刻蚀误差产生的梳齿倾斜角。

图3 不平行梳齿截面的电子显微镜图

图4 倾斜梳齿截面示意图

根据图4的梳齿倾斜角度及图5的梳齿结构，考虑边缘效应时变面积式电容的总静电力Fd的表达式如式(3)所示

4P2VdVacosω0t

(3)

图5 梳齿结构示意图

式(3)在x=0处进行四阶泰勒展开，得到：

O(x5)

(4)

其中，P1=nε0εrwh/2，P2=(nε0εr/π){1+ln[1+2πh/d+ln(1+2πh/d)]}，P3=hnε0εr，n为梳齿个数，ε0为空气的介电常数，εr为相对介电常数，Vd为直流偏置电压，Va为交流激励电压，ω0为静电驱动频率。

2 非线性摄动分析

静电力非线性引起的刚度软化特性会导致系统严重失稳并对灵敏度和带宽造成不良影响，所以分析和研究微陀螺动态性能时需要考虑驱动梳齿间存在的静电力非线性。

将式(4)代入式(1)中，并进行简化得

(5)

其中，

α1=k1+k2/m1,α2=k2/m1,

α3=c1+c2/m1,α4=c2/m1,

β1=k2/m2+mf,β2=k2+k3/m2+mf,

β3=c2/m2+mf,β4=c2+c3/m2+mf，

γ1=P1/m1，γ2=P2/m1，γ3=P3/m1。

式(5)可看作含阻尼的Duffing系统在简谐激励下的受迫振动。

由不产生永年项的可解性条件，可得到振幅和相位的平均方程

(6)

其中，φ=θ2-θ1，

为同时得到驱动静电力非线性条件下的检测输出响应，需对检测方向动力学方程进行求解。驱动二的位移x2的近似解为a2cos(ω0t-θ2)，因此科氏力可表示为2m2Ωza2ω0sin(ω0t-θ2)，令fc为科氏力的幅值，则fc=2m2Ωza2ω0，显然科氏力的幅值与驱动一的激励频率和驱动二的振幅有关。为了确定系统的稳态响应，采用复指数法进行求解，式(7)中b1,b2即为检测方向的稳态响应振幅。

3 梳齿倾斜角对微陀螺动态性能的影响

本节将具体分析梳齿倾斜角度θ对微陀螺动态性能的影响。微陀螺各物理参数的取值如表1所示。

表1 微陀螺结构参数值

(7)

3.1 线性条件下的动态响应

图6为Vd=40 V,Va=20 V且激励频率等于驱动一固有频率时，梳齿间距与驱动一响应幅值的关系曲线。由图6可知，当激励频率等于驱动一固有频率时，随着梳齿间距g0的增大，驱动一的振幅迅速升高，到达峰值后略有下降，之后逐渐趋于稳定状态，即系统的振幅不再受梳齿间距的影响。本文将驱动一达到最大振幅时所对应的梳齿间距值定义为临界间距。当g0小于临界间距时，系统出现静电力软化特性，一阶固有频率向左漂移，导致系统在原设计固有频率处响应的幅值大幅降低，且非线性软化特性的影响随g0的减小而不断增加；当g0大于临界间距时，驱动一的幅值不再受梳齿间距的影响。

图6 梳齿间距与驱动一振幅的关系

图7为不同直流偏置电压下的梳齿间距与静电力的关系曲线，可以发现：当Vd=40 V，g0≥15 μm时，静电力Fd随g0的变化并不明显，近似趋于一个恒定值。图8为Vd=40 V，g0=15 μm时梳齿结构电场分布，此时梳齿之间无边缘效应的影响。比较图6，7和图8可知，当g0大于临界间距时，系统的静电力非线性因素可忽略，微陀螺为线性系统。

图7 梳齿间距与静电力的关系

图8 梳齿结构的电场分布图

为揭示微陀螺在线性系统内工作时，梳齿倾斜角对其动态性能的影响规律。选择g0=15 μm,Vd=40 V,Va=20 V作为研究的工况参数，此时静电力为线性状态。

图9给出了驱动一在不同梳齿倾斜角下的幅频响应曲线。图9(a)首先通过数值仿真验证了近似解析解的准确性；由图可知，当微陀螺静电梳齿倾斜角θ=0.15°时，驱动一的第一共振峰值大幅下降、第二共振峰值大幅增加，且系统的共振频率出现向右偏移现象，没有出现非线性情况。若增加梳齿倾斜角θ=0.5°，幅频响应曲线与θ=0.15°时相近，此时共振频率偏移较不明显，第一共振峰值略有增加，第二共振峰值稍有减小。

(a) 驱动一

图9(b)、(c)、(d)中，驱动二、检测一、检测二也出现了与驱动一相似的灵敏度降低以及共振频率偏移的现象。图中BW标注的区域是驱动和检测输出响应的带宽，检测带宽即为微陀螺的工作带宽。当微陀螺静电梳齿倾斜角θ=0.15°和0.5°时，微陀螺的检测灵敏度最大值降低了约10.7%，但带宽基本没有变化。

综上，当微陀螺在线性系统内工作时，梳齿倾斜角会降低微陀螺响应输出的灵敏度，同时引起共振频率向右偏移，但对其响应输出带宽基本没有影响。因此，若所设计的微陀螺在线性系统内工作，应考虑刻蚀误差导致的梳齿倾斜角对微陀螺工作频率的影响。

3.2 静电力非线性条件下的动态响应

为揭示微陀螺在静电力非线性系统内工作时梳齿倾斜角对其动态性能的影响，图10给出了当g0=9 μm,Vd=50 V,Va=20 V时，不同梳齿倾斜角下微陀螺的幅频响应曲线。根据图10可知在梳齿间距为9 μm时系统已出现了明显的静电力非线性。

(a) 驱动一

图10(a)显示，数值仿真与近似解析结果具有较好的一致性，微陀螺驱动一的幅频响应曲线主要表现出静电力非线性导致的刚度软化现象。这是由于当活动梳齿靠近固定梳齿根部时，梳齿间横向静电力将会变得非常大[17]。但随着梳齿倾斜角的变化，系统的刚度软化特征出现被削弱的现象。

当θ=0.15°时，微陀螺驱动一的幅频响应曲线较θ=0°时向右明显偏移，原第一阶和第二阶共振频率处灵敏度随之增大，虚线部分的非线性区域变窄，非线性弹性力占比减小，这说明微陀螺系统出现的刚度软化特性被削弱，即梳齿倾斜角具有刚度硬化特性；当θ=0.5°时，微陀螺驱动一的幅频响应曲线也出现向右偏移的现象，但偏移量与θ=0.15°时相比较小。

图10(b)、(c)、(d)表明，当θ=0.15°时，微陀螺的驱动二、检测一和检测二均出现了与驱动一相同的幅频响应曲线向右偏移的现象，原第一阶、第二阶共振频率处灵敏度也大幅增大，虚线部分的多稳态解区域也随之减小，这也说明了梳齿倾斜角对驱动二、检测一和检测二均有刚度硬化影响。当θ=0.5°时，其幅频响应与前者相似，只是偏移程度相对较小。

值得注意的是，图10(b)中当θ=0.15°或0.5°较θ=0°时的响应带宽大幅减小，与此同时由静电力软化特性导致的多稳态解区域均出现在驱动二的带宽范围内，因此幅值跳跃导致的系统不稳定现象就会在带宽范围内发生。当微陀螺工作在其设计的带宽范围内时，其振动幅值就会出现大幅的跳跃，对应着微陀螺的灵敏度失稳；同时这种大幅值的跳跃有可能会对微陀螺的微梁造成破坏，进而导致微陀螺失效。但如果工作频率避开失稳区域，梳齿的加工误差由于弥补了静电力的软化特性，输出灵敏度较无刻蚀误差时显著提高，如图10(d)所示。

为更直观地分析梳齿倾斜角对微陀螺非线性系统的综合影响，图11给出了g0=9 μm，激励频率等于驱动一固有频率时，不同直流偏置电压下梳齿倾斜角与驱动一和检测二振幅的关系曲线。

(a) 驱动一

当θ=0.15°附近时驱动一振动的幅值达到最大值，即此时梳齿倾斜角产生的刚度硬化特性相对较强，意味着该角度下对静电力软化特性的抵消程度最强；之后，随着梳齿倾斜角度的增加，响应峰值大幅下降，说明刚度硬化特性又逐渐减弱。

对比图10(a)也可以看出，当Vd=50 V、梳齿倾斜角θ由0.15°增加到0.5°时，驱动一幅频响应曲线出现的刚度软化现象明显增强，驱动一固有频率所对应的响应幅值逐步减小。

图12 驱动一的立方刚度系数与梳齿倾斜角和直流偏置

4 结 论

本文采用多尺度法结合数值仿真等，深入分析了微加工误差导致的驱动梳齿倾斜角在线性以及非线性情况下对微陀螺动态性能的影响机理。主要结论如下：

(1) 当微陀螺在线性系统内工作时，梳齿倾斜角将导致微陀螺系统出现共振频率偏移现象，同时造成输出响应的灵敏度大幅下降，但对其工作带宽基本没有影响，未对系统造成非线性影响。

(2) 考虑静电力非线性情况时，梳齿倾斜角对微陀螺系统响应具有刚度硬化作用，对静电力非线性的软化特性具有抵消作用，且存在最佳硬化效果的倾斜角，在最佳倾斜角下工作的微陀螺较无刻蚀误差及线性系统的输出灵敏度均有显著提高。