摩擦生热问题的深度剖析

徐华兵

[摘 要]摩擦生热问题是高中物理的难点问题，不少学生在解决此类问题时没有头绪，逻辑混乱。为了让学生厘清摩擦生热的本质，掌握摩擦生热问题的解决方法，教师从常见的皮带传输问题出发，深入剖析摩擦生热的微观本质和宏观表现，并从做功角度和能量守恒角度分别介绍摩擦生热问题中的热量计算方法。

[关键词]摩擦生热;功;能量守恒;滑动摩擦力

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）02-0035-04

日常生活中有很多实例与摩擦生热有关，如两个手掌相互摩擦时手掌发热等，且相关问题常涉及摩擦生热的计算。分析近几年的高考物理试题发现，摩擦生热问题备受命题者青睐。因此，摩擦生热问题是中学阶段的热点问题。摩擦生热与摩擦力做功息息相关，但它又不与摩擦力做功一一对应，所以一些学生在辨析摩擦生热与摩擦力做功间的关系时思路不清、逻辑混乱，而在解决摩擦生热问题时更是无从下手。笔者在讲授摩擦生热问题时常有学生不甚理解，提出诸多疑惑，这让笔者深感有必要深入分析摩擦生热问题，厘清摩擦生热与摩擦力做功间的关系及归纳总结摩擦生热问题中的热量计算方法。

一、问题提出

题目：如图1所示，传送带与水平面的夹角[θ=30°]，传送带两端[A]、[B]间的距离[L=5 m]，传送带在电动机的带动下以[v=1 m/s]的速度沿顺时针方向匀速转动。现将一质量[m=10 kg]的小物块（可视为质点）轻放在传送带上的[A]点，已知小物块与传送带间的动摩擦因数[μ=32]，[g]取10 m/s2，在传送带将小物塊从[A]点传送到[B]点的过程中。求：（1）小物块与传送带间因摩擦所产生的热量[Q];（2）传送带对物块做的功[W]。

分析求解：（1）对小物块进行受力分析可知，小物块先在传送带上做匀加速直线运动，速度与传送带的速度相等后，与传送带间保持相对静止运动到[B]点。小物块在传送带上做匀加速直线运动时，受滑动摩擦力作用产生热量[Q=μmg⋅cos 30°⋅x相=15 J]。（2）传送带对小物块做的功，即传送带对小物块的摩擦力所做的功[W=Wf 1+Wf 2=12mv2+mgL⋅sin 30°=255 J]，即小物块从[A]点传送到[B]点的过程中，小物块增加的机械能。

笔者在讲授完这道题后，有一位学生提出了这样一个问题：传送带施加给小物块的摩擦力对小物块做的功为什么等于小物块机械能的增加量，而不等于小物块机械能和热能的总和，即总能量的增加量[W=12mv2+mgL·sin30°+Q=255 J+15 J=270 J ]？ 笔者觉得这个问题提得很好，就立即将它抛给了全班学生，询问他们这是为什么，又该如何解释。笔者询问了很多学生，他们都不知道是为什么。从学生对这个问题的反应看，笔者觉得他们并没有理解摩擦生热的本质。下面笔者对摩擦生热问题做进一步阐述。

二、摩擦生热的微观本质

两物体相互摩擦的实质是相互摩擦的物体表面分子相互碰撞。假定一个物体静止，另一个物体在其表面相对运动，则在此过程中静止物体中的分子被撞击，获得了运动物体分子的部分或全部定向动能，获得此定向动能的分子又会与周围的其他分子相互碰撞。分子间的碰撞极为频繁，而撞击的方向又是随机的，因此，原本的定向动能最终转变为无规则运动动能，即热运动动能增大，进而导致相互摩擦的物体表面在宏观上表现为内能增大、温度升高。

获得由定向动能转变而来的额外热运动动能的表面附近分子在物体内无规则运动，有可能会跑到物体内部与物体内部分子碰撞，以使物体内部分子的热运动加剧，进而导致整个物体变“热”。运动是相对的，因此，相互摩擦的物体实际上温度是同时升高的。宏观上看，相互摩擦的两个物体的温度都升高了，内能增大了，即相互摩擦的两个物体间产生了热量[Q]。结合摩擦生热的微观机理可以看出，两个物体相互摩擦产生的热量[Q]并不是其中某一个物体单独具有的，而是两个物体系统共同具有的。

三、摩擦生热的宏观表现

上述内容从微观角度阐述了摩擦生热的机理，通过摩擦生热的微观机理知道因相互摩擦而产生的热量应该是两个物体共同具有的。因摩擦所产生的热量[Q]在两物体间如何分配取决于两物体各自的质量和温度差。相互摩擦的两个物体经一段时间后温度应相同，即两物体间再不会发生热量传递。下面，笔者从摩擦生热与摩擦力做功间的关系和摩擦生热热量计算的角度进一步阐述摩擦生热的宏观表现。

（一）摩擦生热与摩擦力做功间的关系

摩擦力做功是指相互摩擦的两个物体间的摩擦力对其中某一个物体做功，该摩擦力做功的大小取决于摩擦力的大小和该物体在摩擦力作用下发生的位移，即[Wf=f x]，[x]一般都是物体相对地面的位移。摩擦力对物体做功的结果是改变了物体的机械能。“生热”的本质是相互摩擦物体的机械能向内能转化，若相互摩擦的两个物体间有热量产生，那么相互作用的物体系统的机械能一定会发生变化。摩擦生热的大小与一对相互作用的摩擦力所做功的代数和有关。为了进一步阐述摩擦力做功和摩擦生热间的关系，现通过一个常见模型予以分析。

常见模型：顶端粗糙且质量为[m]的小车静止放在光滑的水平面上，质量也为[m]的小木块以速度[v0]由小车左端滑上小车，如图2所示。当小木块与小车相对静止时，小木块相对小车的位移为d，小车相对地面的位移为[s]，小木块和小车间的滑动摩擦力为[f]。试分析：

（1）摩擦力对小木块做的功;（2）摩擦力对小车做的功;（3）小木块与小车间因摩擦而产生的热量[Q];（4）摩擦力做功与摩擦产生的热量间的关系。

分析求解：小木块滑上小车后因摩擦力而做减速运动，小车因摩擦力而做加速运动;当它们相对静止后以共同速度运动，易求得[v共=v02]。

（1）对小木块应用动能定理有：

[Wf=-f（d+s）=12mv2共-12mv20=-38mv20]

（2）对小车应用动能定理有：

[Wf'=f·s=12mv2共-0=18mv20]

（3）对小木块和小车组成的系统应用能量守恒定律，知因摩擦而产生的热量为：

[Q=12mv20-12⋅2m⋅v2共=14mv20]

（4）通过前面的计算结果易看出[Q=Wf+W'f=f d=14mv20]，即摩擦产生的热量等于一对相互作用的摩擦力做功之和的绝对值，也等于摩擦力乘以它们间的相对位移。

从上述模型求解中可以看出，摩擦力对某一个物体做的功改变的是该物体的动能，即改变的是该物体的机械能，起到传递机械能的作用;而一对滑动摩擦力做功之和的绝对值与摩擦产生的热量对应，即[Q=Wf+W'f=f x相]。

（二）摩擦生热的计算

通过对上述摩擦生热常见模型的分析求解可知，两个相互摩擦的物体产生的热量等于相互摩擦系统机械能的减少量，即[Q=E1机-E2机=-ΔE机]，也等于相互摩擦的两个物体间一对滑动摩擦力做功之和的绝对值，即[Q=Wf+W'f=f x相]。这也提供了两种摩擦生热问题的解决方法——能量法和摩擦力做功法。

应用能量法解决摩擦生热问题需要先求出相互摩擦系统的初始机械能和终了机械能，然后计算出系统机械能的减少量，此减少量即为系统因摩擦而产生的热量。应用摩擦力做功法解决摩擦生热问题可先求出相互作用的一对滑动摩擦力分别对两个物体所做的功，再求和取绝对值。因为相互作用的一对滑动摩擦力做功之和等于摩擦力與相对位移乘积的负值，即[Wf+Wf'=-f x相]，所以只需求出相对滑动的物体间相对位移即可快速算出一对滑动摩擦力做功之和。

相对位移的相关问题可选在地面参考系中求解，也可选在其他运动的参考系中求解。若选择在地面参考系中求解，要先分别计算出地面参考系中两物体的位移[x1]和[x2]，再计算出它们间的相对位移[x]。当个两物体同向运动时，相对位移[x=x1-x2];当两个物体反向运动时，相对位移[x=x1+x2]。若选两个相对运动的物体中的一个物体为参考系，相对位移的求解较为简单，即[x=v2相2a]。因为两个相对滑动的物体间相对位移的大小与参考系的选取无关，所以在任意一个参考系中求出的相对位移[x]都相同。

[例1]如图3所示，一水平方向的传送带以恒定的速度[v=2 m/s]沿顺时针方向匀速转动，传送带右端固定着一光滑的四分之一圆弧面轨道，并与弧面下端相切。一质量为[m=1 kg]的物块自圆弧面轨道的最高点由静止滑下，圆弧面轨道的半径[R=0.45 m]，物体与传送带之间的动摩擦因数为[μ=0.2]，不计物块滑过曲面与传送带交接处时的能量损失，且传送带足够长，[g=10 m/s2]。求：（1）物块第一次从滑上传送带到离开传送带所经历的时间;（2）物块第一次从滑上传送带到离开传送带的过程中，传送带对物块做的功;（3）物块与传送带间由于摩擦而产生的热量。

分析求解：（1）物块从圆弧面滑下后，向左滑上传送带，物块先向左做减速运动，后向右做加速运动，加速到速度和传送带速度相等后匀速运动。

物块在圆弧面运动时应用动能定理有[mgR=12mv02-0]，解得[v0=2gR=3 m/s]。

向左匀减速运动阶段的时间和位移为：[t1=v0a=v0μg=32 s]，[x1=v022μg=94 m];向右加速运动阶段的时间和位移为：[t2=va=vμg=1 s]，[x2=v22μg=1 m];匀速运动阶段的时间为：[t3=x1-x2v=58 s]。因此，物块从滑上传送带到离开传送带运动的总时间为[t=t1+t2+t3=258 s]。

（2）传送带对物块做的功即为传送带施加给物块的摩擦力对物块所做的功，即等于物块动能的变化量[W=Wf=12mv2-12mv20=-52J]。

（3）物块与传送带在相对静止阶段无相对位移并不产生热量，只有在相对滑动阶段才产生热量。

相对滑动阶段一开始为同向运动，后来为反向运动。计算摩擦产生的热量时，关键是要算出物块与传送带间的相对位移。若在地面参考系中计算相对位移需分为两个子过程，反向运动阶段相对位移[x′1=x1+vt1=214m]，同向运动阶段相对位移[x′2=vt2-x2=1 m]，全过程物块与传送带间的相对位移[x=x′1+x′2=254  m]。若在传送带参考系中计算相对位移则较为简单，即[x=v2相2a]。物块相对传送带的初速度[v相=v+v0=5 m/s]，代入公式得[x相=v2相2 μg=（v+v0）2-02 μg=254 m]，所以物块和传送带间因摩擦而产生的热量[Q=μmg⋅x相=252J]。

点评：本题是典型的摩擦生热问题，热量的计算选用的是摩擦力乘以相对位移的处理方法。因为要计算物块和传送带间的相对位移，而物块相对传送带先向左运动，后向右运动，经历两个子过程，在地面参考系中求解需分子过程，而在传送带参考系中可直接求解，所以在计算热量求解相对位移时应灵活选用参考系。

[例2]一质量为[M=2 kg]的物块随足够长的水平传送带一起运动，被一水平向左飞来的子弹击中并从物块中穿过，如图4所示。地面观察者记录了物块被击穿后的速度随时间的变化关系，如图5所示（图中取向右运动的方向为正方向），已知传送带的速度保持不变，g取10 m/s2。（1）简述物块被击穿后的运动过程，指出传送带的速度[v]的方向及大小。（2）计算物块与传送带间的动摩擦系数。（3）传送带对物块总共做了多少功？（4）系统有多少能量转化为内能？

分析求解：（1）从图5的[v-t]图像可看出，物块先向左减速到[v=0]，后向右加速到[v=2 m/s]，所以传送带的速度方向为向右，其速度的大小为[v=2 m/s]。

（2）由图线可知物块的加速度[a=ΔvΔt=2 m/s2]，由牛顿第二定律有[a=μ MgM=μg]，解得[μ=0.2]。

（3）传送带对物块做的功，即传送带施加给物块的摩擦力對物块做的功，可应用功的计算公式[W=Fx]求解，也可从能量的角度求解，即[Wf=-f x物=12Mv22-12Mv21=-12 J]。

（4）系统减少的能量转化为系统的内能，即产生热量[Q]，系统因摩擦而产生的热量可从能量守恒的角度求得，也可用一对相互作用滑动摩擦力做功（即[Q=f x相]）求得。由于物块先与传送带反向运动再同向运动，以地面为参考系计算相对位移时分解为两个子过程求解比较麻烦，若在传送带参考系中计算相对位移则较为简单，即[x相=v2相2 μg=622×2  m=9 m]，代入公式即得系统因摩擦而产生的热量[Q=μ Mg⋅x相=36 J]。

点评：解题时，可从题目所给图线中获取物块与传送带相对滑动前的初速度、传送带的速度。经分析发现物块在传送带上经历了两个运动过程——反向运动过程和同向运动过程，用相对运动（换参考系）求解相对位移，再由[Q=f x相]求解热量较为方便。

两个物体系统在相对滑动的过程中，功能关系和能量守恒是永远遵循的规律。对其中任何一个物体而言，其能量的转移和转化都是通过相应的力做功来实现的。滑动摩擦力对物体做的功改变的是物体的机械能，对应的是机械能的传递。摩擦生热则是通过一对相互作用的滑动摩擦力做功来实现的，通过这一对滑动摩擦力做功实现相互作用系统的机械能向内能转化，所以可从系统能量守恒的角度求得内能，即摩擦产生的热量。同时，根据一对相互作用滑动摩擦力做功的特点，可应用一对滑动摩擦力做功之和的绝对值计算摩擦产生的热量。

同时，在相互作用的物体系统内必定存在能量的转化和转移，须知在能量转化和转移的过程中，能量的总量是保持不变的，某种形式的能增加，必然会有相应形式的能减少，能的增加量和减少量必定相等。因此，从能量转化与能量守恒定律的角度分析，许多看似纠结的问题就会迎刃而解。

[   参   考   文   献   ]

[1]  季钟，姜胜，吴菊新.关于摩擦力做功与“摩擦生热”问题的讨论[J].中学物理，2015（15）：40-41.

[2]  张红燕，亚森江·吾甫尔.关于摩擦力做功与摩擦生热的分析[J].中国科教创新导刊，2012（16）：60.

（责任编辑 易志毅）

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