多思维切入 多方法破解

万再兴

[摘 要]双变元或多变元函数代数式的最值问题是历年高考数学的常见题型之一，在解决此类问题时应合理变形，巧妙转化，构建题目已知关系式与所求代数式之间的联系，找准思维视角切入，进而获得相关解题思路与方法技巧，从而有效解决问题。

[關键词]函数;不等式;思维;方法

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）02-0023-03

函数是高中数学的重要组成部分，双变元或多变元函数代数式的最值问题是函数的一个重要题型，也是历年高考数学的热点问题，其变化多端，形式各样，难度较大，备受关注。

一、试题呈现

【试题】（2021年4月浙江省高考科目考试绍兴市适应性数学试卷（二模）·8）已知[a>0]，[b>0]，[a2+b2-ab=3]，[a2-b2≤3]，则[a+b]的最小值是（ ）。

A. 2[2] B. 3 C. 2[3] D. 4

二、试题分析

这是一道限制条件下求解双变元函数代数式的最值问题，这类问题在浙江省高考试卷以及全国各类数学竞赛试卷中经常出现。此题以两正数所满足的二次关系式、二次绝对值不等式为问题背景，进而确定一次双变元函数代数式的最小值。

如何找到题目已知关系式与所求代数式之间的联系，找准思维视角合理切入最为关键，其中合理的变形与转化是发现规律的重要一环。

三、破解方法

思维视角一：不等式角度

方法1：配方法一

解析：由[a2-b2≤3]，两边平方并配方整理可得[（a2+b2）2-4a2b2≤9]，

结合[a2+b2=ab+3]，可得[（ab+3）2-4a2b2≤9]，即[3a2b2-6ab≥0]，解得[ab≥2]，

又结合基本不等式有[ab+3=a2+b2≥2ab]，解得[ab≤3]，即[ab∈2， 3]，

所以[（a+b）2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，

则[a+b]的最小值为3，故答案选B。

方法2：配方法二

解析：由于[a>0]，[b>0]，[a2+b2-ab=3]，[a2-b2 ≤3]，

结合基本不等式有[3+ab=a2+b2≥2ab]，解得[ab≤3]，当且仅当[a=b]时等号成立，

则有[（a+b）2=3+3ab]，[（a-b）2=3-ab]，

由[a2-b2≤3]，可得[（a+b）（a-b）≤3]，即[（3+3ab）（3-ab）≤9]，解得[2≤ab≤3]，

所以[（a+b）2=a2+b2+2ab=ab+3+2ab=3ab+3∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，

则[a+b]的最小值为3，故答案选B。

点评：配方法处理，主要是根据题目中代数式的结构特征，有效结合平方、等量变换、基本不等式等相关知识以实现巧妙配方。从不同视角来合理配方，借助条件关系式的变形代入，结合不等式的求解确定对应的不等式，是解决问题的关键所在。

方法3：单变量换元法

解析：设[t=a+b >0]，

由[a2+b2-ab=3]，配方可得[（a+b）2-3ab=3]，即[ab=（a+b）2-33=t2-33]，

而[a2-b2=（a+b）a-b=t（a+b）2-4ab=tt2-4×t2-33=t4-13t2]，

则有[t>0，t2-33>0，t4-13t2≤3，]解得[t≥3]，则[a+b]的最小值为3，故答案选B。

点评：单变量换元法，往往是对所求的代数关系式或题目条件中的特殊代数关系式进行整体化换元处理，合理引入参数进行换元，进而将相关其他变量均转化为同一参数，结合关系式的变形与转化，再加以分析与处理。以上方法中，引入参数[t]来表示所求的代数式[a+b]，借助单变量换元，结合已知条件中的关系式，合理构建[a2+b2]，[a+b]，[a-b]及[ab]之间的关系，并全部表示为关于参数的关系式，再进行分析与处理。

方法4：双变量换元法

解析：设[x=a+b>0]，[y=a-b]，则有[2a=x+y>0]，[2b=x-y>0]，则有[-x<y<x]，即[y<x]，

由[a2+b2-ab=3]，可得[x2+3y2=12]，即[y2=4-13x2]，而[a2-b2=（a+b）a-b=xy≤3]，即[y≤3x]，

则有[x>0，4-13x2<x2，4-13x2≤9x2，]解得[x≥3]，则[a+b]的最小值为3，故答案选B。

点评：双变量换元法是解决复杂代数式问题的一大方法技巧。关键是应用整体思维，通过双变量换元进行化归与转化，进而通过不等式组的求解来确定有关参数的最值。以上方法中，引入参数来表示所求的代数式，并借助双变量换元，及结合已知条件中的关系式，合理构建两变量之间的关系，为进一步的分析与处理打下基础。

思维视角二：函数角度

方法5：三角换元法

解析：因为[a2+b2-ab=a-b22+34b2=3]，令[a-b2=3cos θ]，[32b=3sin θ]，

解得[a=3cos θ+sin θ，b=2sin θ，] [θ∈0， 2π]，

因为[a>0]，[b>0]，所以[3cos θ+sin θ=2sinθ+π3>0]，[2sin θ>0]，

所以[sinθ+π3>0，sinθ>0，]即[0<θ+π3<π，0<θ<π，]解得[0<θ<2π3]，

因为[a2-b2≤3]，所以[a2-b2=3cos θ+sin θ2-] [4sin2θ=3cos2θ-sin2θ+23sin θ cos θ=3cos2θ+][3sin 2θ=23sin2θ+π3]，

因为[0<θ<2π3]，所以[π3<2θ+π3<5π3]，

结合[a2-b2≤3]，可得[-3≤23sin2θ+π3≤3]，所以[-32≤sin2θ+π3≤32]，[2π3≤2θ+π3≤4π3]，[π6≤θ≤π3]， 故[a+b=3cos θ+3sin θ=23sinθ+π6∈3， 23]，

则[a+b]的最小值为3，故答案选B。

点评：三角换元法是处理一些代数关系式问题时比较常用的一种方法，也是从函数角度处理此类问题的最常用方法之一。三角换元法往往利用双变元的平方和为1等结构特征加以合理构建，配方处理是解决问题的关键。三角换元后，合理的三角恒等变形以及三角函数的图像与性质的应用是关键。以上方法中，根据题目条件中的平方关系式合理配方，进行三角换元处理，为问题的进一步处理提供条件。

方法6：比值换元法

解析：不失一般性，不妨设[a≥b>0]，

根据已知条件可得[a2-b2≤3=a2+b2-ab]，解得[a≤2b]，即[0<b≤a≤2b]，

设[t=ab∈1， 2]，则有[（a+b）2=3（a+b）2a2+b2-ab=3（t+1）2t2+1-t=31+3tt2+1-t=31+3t+1t-1]，

因为双勾函数[y=t+1t]在区间[1， 2]上单调递增，

所以[（a+b）2=31+3t+1t-1∈9， 12]，即[a+b∈3， 23]，則[a+b]的最小值为3，故答案选B。

点评：比值换元法是处理一些双变元代数式关系时经常用到的一种方法，技巧性强，通过比值换元以及变量代换，结合齐次化处理以及函数单调性的应用，很好地融合了相关的数学知识与能力。以上方法中，通过比值的设置，平方化处理所求的代数关系式，借助齐次化处理，转化为对应的函数关系式，进而巧妙利用相应的函数来分析与处理。

思维视角三：几何角度

方法7：构造三角形法

解析：构造[△ABC]，其中[c=3]，则有[a2+b2-ab=3=c2]，

结合余弦定理可知[cos C=12]，即[C=π3]，

又由[a2-b2≤3=c2]，可得[a2+c2≥b2，b2+c2≥a2，]结合余弦定理可得[cosB≥0，cosA≥0，]

则有[-cos A+π3≥0，cosA≥0，]即[cos A+π3≤0，cosA≥0，]解得[A∈π6，π2]，

根据正弦定理[asinA=bsinB=csinC=3sinπ3=2]，

[所以a+b=2（sin A+sin B）=2sin A+sinA+π3=23sinA+π6∈3， 23，]

则[a+b]的最小值为3，故答案选B。

点评：合理联想，结合代数关系式的结构特征，巧妙构造相应的平面几何、平面向量、空间向量等相关模型，把代数问题几何化。直观分析，数形结合，是解决问题的常用方法。以上方法中，结合条件中的关系式联想到三角形的余弦定理，构造对应的三角形，把代数问题转化为平面几何问题来分析与处理，思维巧妙，视角特殊。

四、规律总结

破解双变元或多变元函数代数式的最值问题时，应利用题目已知关系式与所求代数式之间的联系合理配凑与巧妙转化出满足条件的关系式，从而有效破解问题。其中，比较常用的解题通法以及思维角度主要有以下几种：

（1）不等式角度：分析题目条件或结论中对应代数式的结构特征，合理配凑，利用不等式的基本性质、基本不等式、求解不等式（组）、一些重要不等式（柯西不等式、权方和不等式等）等来分析与转化，进而确定对应函数的最值。

（2）函数角度：根据题目条件，通过巧妙转化或合理换元处理等引入新参数，构建关于某个变量的函数关系式，利用函数（如二次函数、三角函数等）的图像与性质等来分析与求解函数的最值。

（3）几何角度：根据题目条件，结合代数式的几何性质或几何意义，合理抽象，以“形”助“数”，通过数形结合，将抽象的数量关系直观形象化，从而分析与求解函数的最值。

从代数角度（函数或不等式等）或几何角度等进行分析与处理，是解决双变元函数代数式的最值问题的常见技巧方法。具体解决问题时，要正确分析题目条件，从正确的思维视角切入，匹配与之对应的特殊数学模型，从而形成技巧方法与解题策略，这才是解决问题的根本与目的所在，也是解题研究的最高境界。因而，教师应引导学生在解题后学会举一反三，灵活变通，真正达到融会贯通，从而有效提升学生的思维品质和数学能力，培养学生的数学学科核心素养。

（责任编辑 黄春香）

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