建模课堂话“建模”——小学数学知识建模深度教学的设计与实施策略

徐丽华

新课标强调从学生已有的经验出发，通过亲身实践，将自己所遇到的许多同类的实际问题抽象成数学模型加以解释再应用［2］。那么，如何在实际的教学中帮助学生建构知识模型呢？

一、在课前的引领中建模，让学习自然发生

数学建模的目的是让学生主动参与学习、探究活动，获取新知识，也是为了将所建构的模型更好地运用到实际生活与实践中，更好地体现模型的价值。如何帮助学生在课前自主建构模型，让学生的学习真实自然地发生呢？

教师在教学新知前，不妨可以尝试转换学习方式。例如，在学习苏教版《义务教育教科书·数学》五年级下册《圆的认识》一课之前，笔者根据以往学习长方形、正方形、三角形等平面图形的知识经验，设计了一系列问题引领学习单。这些学习单要求学生回顾：

1.在学习圆之前已经学过哪些平面图形？

2.仔细回想一下我们是怎样学习这些平面图形的？

3.思考一下：以前所学的这些平面图形与今天所要学习的圆之间又存在哪些异同？

4.你想学习有关圆的什么知识呢？

5.你准备怎样学习圆？又会运用到哪些学习方法呢？

学生在一系列问题引导下，会调动已有知识经验尝试自主建构新的知识模型，例如，有的学生归纳如下：圆与原先所学图形最大不同在于，它是曲面图形，根据以往学习平面图形的过程，我想了解圆的画法、圆的各部分名称、圆的周长、圆的面积等。学生在笔者精心设计的问题引领下寻求各种途径（书本、网络、同伴、教师）的帮助，对自主建构的问题进行深入研究。在这种教学方法中，教师会在教学新知识前，引导学生主动建构知识体系，学生在以后学习新知识时，自然而然会尝试运用已有知识经验，拓展学习新知的方法，学生在问题引领中自我构建新知体系，达到了最佳的学习效果。

二、在新课的探究中建模，让过程内需生成

以生为本的课堂，就是要让学生经历数学知识的形成过程，让学生在自主探究中建构模型，这就要求学生清楚知识发生、发展的过程，让学生透过不同的直观或贴近生活的实例进行综合比较。

例如，在解决下面这一问题时，有许多学生在画图时会遇到一定的困难：学校长方形植物园原来长20米、宽15米，扩建后长增加5米、宽增加3米。那么，扩建后面积增加了多少？实践表明，相应的教学对策之一是分解难点，教师可先让学生解答两道类似的准备题：（1）学校长方形植物园原来长20米、宽15米，扩建后长增加5米、宽不变；扩建后面积比原植物园面积增加了多少？（2）学校长方形植物园原来长20米、宽15米，扩建后长不变、宽增加3米后，面积增加多少平方米？对于类似的准备题，大部分学生都能够根据已有知识经验独立完成图示。学生通过数形结合，建立起算式与图的对应关系，无形之中也就学会了怎样画图。同时，图示的直观性还能启迪学生想到多种解法：20×3＋15×5＋5×3；（20＋5）×3＋15×5；（15＋3）×5＋20×3等。然后教师可以再让学生解答相关情境变换题组：

①某音乐厅原来每排20座，有15排，扩建后每排增加5座，增加3排。那么扩建后一共增加多少个座位？

②学校原计划买20只皮球，每只15元，实际每只涨价3元，并且多买5只。实际比计划多花多少元？

③明明准备做一些数学趣味题，计划每天做25道，20天完成，实际每天多做了5道，又多做了3天。实际比计划多做了多少道？

这三道题的情节内容各异，它们的数量关系抽象归纳（即数学模型）之后却都是“因数变化前后的两积之差”。在此教学过程中，教师先引导学生运用解题策略构建面积问题的图形模型，然后再通过探究类似面积问题的其他情境变换题组，有效构建“矩形图”的数学模型，让学生主动经历了知识的形成过程，真正在内需中生成建模，加深了对知识的应用和理解。

三、在练习的反馈中建模，让研究走向深度

有些数学知识的概括、建模需要借助具体的实例，而单一的实例不足以提供概括、建模的条件。教师可让学生通过解答一组形式类似、难度不等、算法相同的练习题，内化计算的方法，积累活动经验，为概括、建模提供丰富的实例支撑，此后的建模过程可谓水到渠成。同时，教师还可以适时与相关旧知进行比较练习，把新知纳入学生已有的认知结构之中，可以减轻学生的认知负荷，促进深度理解。

例如：50千克芝麻可榨油10千克，照这样计算，榨200千克芝麻油需要多少千克芝麻？问题很简单，但这却是一道小学生易错的题，究其原因，主要是到了高年级阶段，由于学了小数除法之后，50÷10与10÷50都有意义，常有学生因此产生疑惑，造成列式错误。而教师如果采用列表法，帮助学生建构对应模型，并深度挖掘类似习题进行对比强化练习，则难点会消弭于无形。教师可在学生学完例题后，再次对比练习：一枚1元的硬币大约重6克，照这样推算，6千克硬币是多少枚一元硬币？600千克硬币是多少枚硬币？6吨硬币是多少枚硬币？实践表明，当练习不再拘泥于刻板的解题形式，能有效帮助学生积极建构数学化表达的解题模型，同时通过辨析也强化了对问题意义、概念本质的理解，更有利于激发学生思维的活力，提高学生解决问题的兴趣。

四、在课后的梳理中建模，让知识结构内化

数学是一门逻辑思维很强的学科，只有在不断的总结梳理中才能理清数学知识的精髓，从而顺利构建结构化知识体系。

例如：最经典的《烙饼》问题：客人和妈妈只要3张饼，如果每次只能烙两张饼，两面都要烙，每面3分钟，请问怎样烙才能尽快吃上饼？学生在分清条件、理解问题后，在猜测的基础上探究，最后得出结果，总时间=（饼的数量×2）/每锅可烙的面数×每面的时间。学生在课上经过一系列研究后，教师要引导学生课后对烙饼问题再次系统梳理，发现整个学习过程经历了“准备建模—模型假设—模型建构—模型求解—模型检验—模型应用”的过程。

在此基础上，教师可以让学生进一步思考生活中有没有类似的模型知识，由于学生对知识进行了系统梳理，脑海中已经形成结构化思维，很快就发现在实际生活中就有很多可以应用这一模型解决的问题。例如，有的学生发现一种电脑小游戏，玩1局要5分钟，可以单人玩，也可以双人玩，晓东和爸爸、妈妈一起玩，每人玩2局，至少需要几分钟？这样学生在解决“烙饼问题”的过程以及后续的知识拓展和迁移中，实现了“知识梳理”与“思维模型”的和谐统一。这种教学方法可以巧妙地将生活题材融入知识点，帮助学生在理解问题背景及其数学原理的基础上，深度理解所建构的数学模型并加以应用。

小学数学建模教学的方式并不是一成不变的，作为数学教师，应依据学科教学的特点，根据不同的教学内容和学生的学习状况，不断探索新的教学模式，帮助学生学习如何建构各类数学模型，并形成结构化、系列化的思维方式，从而提升学生的数学综合素质。