中心循环的亚循环p-群

孙秀娟

（唐山师范学院数学与计算科学学院,河北唐山 063000)

在有限p-群的研究中,亚循环p-群是很重要的一类。文献[1]M.F.Newman 给出了亚循环p-群的分类,p是奇素数。文献[2]徐明曜给出了亚循环2-群的分类。文章主要研究亚循环p-群的中心循环的条件。

1 预备知识

定义1p-群G称为亚循环群,如果G有循环正规子群N,使商群G/N也是循环群。

定义2 有限p-群G称为p-中心p-群,如果对p＞2,有Ω1(G)≤Z(G),而对p=2有Ω2(G)≤Z(G)[3]。

引理1设p为奇素数,r，s，t，u为非负整数,且满足,则r≥1，u≤r，则

是亚循环群。对于参数r，s，t，u的不同取值,对应的亚循环群互不同构。用来表示这个群,且可裂⇔stu=0[1]。

引理2设G是亚循环p-群,p是奇素数,则G同构于引理1中的一个群[4]。

引理3设G是亚循环2-群,没有循环极大子群,则G有两种类型:

I型群（普通亚循环群）

其中r,s,t,u为非负整数，且满足r≥2,u≤r。

II型群（例外亚循环群）

其中r,s,t,t´,u为非负整数，满足r≥2，t´≤r，u≤1，tt´=sv=tv=0。若t´≥r-1，则u=0。不同类型或者相同类型但不同参数的群互不同构。又I 型群可裂当且仅当stu=0;II型群可裂当且仅当u=0[2]。

引理4设G是有限p-中心p-群,p＞2,则d(G)≤d(Z(G))[3]。

引理5设是有限的2-中 心2-群,则d(G)≤d(Z(G))[5]。

2 主要定理及其证明

定理1设G为引理1 或引理3 中的I 型群,则Z(G)循环的充要条件是u=r。

推论1（1）设G为引理1中的群或引理3中的I型群，u=r,则G不是p-中心p-群;

（2）设G为引理1 中的群,u＜r,则G是p-中心p-群。反之也成立。

证明(1)设G为引理1 中的群或引理3 中的I 型群,u=r,则Z(G)循环。这时2=d(G) ＞d(Z(G))=1,由引理4和引理5,G不是p-中心p-群。

(2)设G为引理1 中的群,由u＜r,有Z(G)不循环。又p＞2，故G为正则的亚循环群,于是

若G是p-中心p-群，那么Z(G)不循环，由定理1，得u＜r。

定理2设G为引理3 中的II 型群,则Z(G)是2 阶循环群的充要条件是u=0 且t´=r；Z(G)是高于2 阶的循环群的充要条件是u=1。

证明对于引理3中的II型群,有

分4种情况讨论:

情形1考虑s+t´+u=0、Z(G)循环且|Z(G)|=2。这时3个非负整数s,t´,u都是0。

因此满足s+t+u=0,Z(G)循环且|Z(G) |＞2的II型群不存在。

情形4考虑s+t+u≠0,Z(G) 循环且|Z(G) |＞2。

故Z(G)是高于2阶的循环群的充要条件是u=1。

推论2 设为G引理3 中的II 型群,则当u=0 且t´=r或者u=1时,G不是p-中心p-群。

证明当u=0 且t´=r或者u=1 时,G的中心循环，故G不是p-中心p-群。

3 结论

文章给出了亚循环p-群(p是奇素数)以及亚循环2-群（没有循环极大子群）的中心循环的充要条件。另外，亚循环p-群(p是奇素数)是p-中心p-群的充要条件是μ＜r。