因式分解的“庐山真面目”

袁瑞玲

因式分解是初中数学中的重要知识，在中考试题中经常见到。我们在学习时，首先，要熟记乘法公式，知道因式分解和整式乘法互为逆运算;其次，要能熟练运用乘法法则进行因式分解。下面以近三年的中考题为例，瞧一瞧因式分解的“庐山真面目”。

一、提公因式

例1 （2019·江苏苏州）因式分解：x2-xy= 。

【分析】通过观察，可知公因式是x，因此，提出x即可得出答案。

解：x2-xy=x（x-y）。

【点评】提公因式法因式分解是本题的考点，通过观察，正确找出公因式是解题的关键。

例2 （2019·江苏宿迁）因式分解：a2-2a= 。

【分析】观察原式，找到公因式a，提出a即可得出答案。

解：a2-2a=a（a-2）。

【点评】例1、例2两题主要考查了提取公因式法因式分解，正确找出公因式是解题关键。提公因式法因式分解的一般步骤是：一取多项式各项系数的最大公约数为公因式的系数，二把多项式各项都含有的相同字母（或因式）的最低次幂的积作为公因式的因式。

二、借助公式法

例3 （1）（2021·江苏苏州）因式分解：x2-2x+1= 。

（2）（2021·江苏连云港）因式分解：9x2+6x+1= 。

【分析】此例考查的是用完全平方公式进行因式分解。

解：（1）x2-2x+1=（x-1）2。

（2）9x2+6x+1=（3x+1）2。

【点评】此例主要考查了用公式法因式分解，我们要熟记并理解完全平方公式a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2，正确应用公式是解题的关键。

例4 （2020·江苏镇江）因式分解：9x2-1= 。

【分析】式子符合平方差公式的结构特点，应熟记平方差公式a2-b2=（a+b）·（a-b），利用平方差公式分解即可。

解：9x2-1=（3x）2-12

=（3x+1）（3x-1）。

【点评】本题考查用平方差公式因式分解，我们应熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反。

三、运用综合方法

例5 （2020·江苏无锡）因式分解：ab2-2ab+a= 。

【分析】先提取公因式a，再利用公式法继续分解。

解：ab2-2ab+a=a（b2-2b+1）=a（b-1）2。

【点评】本题考查了提公因式法以及公式法因式分解，正确应用公式是解题的关键。因式分解的一般步骤是“一提二看三查”。首先要看能不能提取公因式，如果有就要先提取，再观察所剩项数，最后要注意分解彻底。两项则考虑平方差公式，三项则考虑完全平方公式。

例6 （2021·江苏无锡）因式分解：2x3-8x= 。

【分析】先提取公因式2x，再利用平方差公式分解即可。

解：原式=2x（x2-4）=2x（x+2）（x-2）。

【点评】解决本题的关键是掌握提公因式法和平方差公式。一个多项式有公因式，应首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解。同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止。

四、明确因式分解的考查，“识得庐山真面目”

例7 （2019·江苏徐州）若a=b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为 。

【分析】由a=b+2，可得a-b=2，所求代数式变形后，整体代入即可。

解：∵a=b+2，

∴a-b=2，

∴a2-2ab+b2=（a-b）2=22=4。

【点评】本题考查了代数式求值，利用完全平方公式因式分解。熟记完全平方公式的结构特征是解决本题的关键。

例8 （2019·江苏南京）因式分解（a-b）2+4ab的结果是 。

【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法因式分解即可。

解：（a-b）2+4ab=a2-2ab+b2+4ab=a2+2ab+b2=（a+b）2。

【点评】本题主要考查了运用公式法因式分解，正确应用公式是解题关键。

总之，同学们要想在因式分解中不失分，就必须重视基础知识，真正地看清它的“庐山真面目”，才能做到有的放矢。

（作者單位：江苏省丰县和集初级中学）

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