pre-拓扑群与余反射拓扑群的关系

吴 婷

（闽南师范大学数学与统计学院,福建 漳州 363000）

1985年,Doignon 和Falmagne 在文献[1-2]中提出了用来知识评估和辅助学习的知识空间理论.在知识空间的理论中,pre-拓扑[3]又称为知识空间.事实上,pre-拓扑与Császár[4]提出的强广义拓扑是相一致的.2005年,李进金[5-6]研究了pre-拓扑结构.随后,刘德金等[7-12]研究了pre-拓扑结构的一些拓扑性质.2021年,林福财等[13]较系统的研究了pre-拓扑空间的性质.目前,关于pre-拓扑空间的研究已经取得了一些较好的结果.

20世纪以来,代数与拓扑这两个数学分支不断地互相渗透,逐步形成了一个新的分支——拓扑代数.拓扑群是拓扑代数的重要研究内容之一,pre-拓扑群作为拓扑群的推广,研究其性质能够进一步丰富拓扑代数的内容.在文献[14]中定义了pre-拓扑群并研究了pre-拓扑群的一些性质,比如:T0的pre-拓扑群是正则的;其中也给出了pre-拓扑群的余反射群拓扑τ*的定义及τ*的基的形式.因此本文在此基础上进一步研究,探索了pre-拓扑群(G,τ)与余反射拓扑群(G,τ*)之间的一些拓扑性质关系,并得到了如下的结果:

1)(G,τ*)是正则的当且仅当(G,τ)是正则的.

2)若(G,τ)是第一可数的,则(G,τ*)是第一可数的;反之不成立.

3)若(G,τ*)是连通的,则(G,τ)是pre-连通的;反之不成立.

4)若(G,τ*)是Lindelöf的,则(G,τ)是Lindelöf的;反之不成立.

5)若(G,τ*)是可分的,则(G,τ)是pre-可分的;反之不成立.

1 预备知识

定义1[1]若集合X的子集的集族τ满足对任意的并封闭且X∈τ.特别地,∅∈τ.则称τ是X上的pre-拓扑,τ中的元素称为pre-拓扑的开集.

定理1[13]设B和B′分别是集合X的pre-拓扑τ和τ′的pre-基.下列条件等价:

1)τ′细于τ,即τ⊆τ′;

2）如果B∈B且x∈B,则存在B′∈B′使得x∈B′⊆B.

定义2[13]设X是pre-拓扑空间.如果X不能表示为两个不相交的非空开子集的并,则称X是pre-连通空间.

定义3[13]设X是pre-拓扑空间,x∈X.如果对x的每个邻域U,存在x的pre-连通的邻域V使得V⊆U,则称在点x是pre-局部连通的.如果X在它的每一点处是pre-局部连通的,则称X是pre-局部连通空间.

定义4[14]非空集合G是一个群同时又是pre-拓扑空间,使得乘法运算f(x×y)=x·y是G×G→G的pre-连续映射且逆运算g(x)=x-1是G→G的pre-连续映射,则称G为pre-拓扑群.

定理2[14]设G是pre-拓扑群.若Be是单位元e处的pre-邻域基,则对任意g∈G,g处的pre-邻域基为Bg={gU:U∈Be}或者Bg={Ug:U∈Be}.

定理3[14]T0的pre-拓扑群(G,τ)是正则的.

定义5[14]设(G,τ)是pre-拓扑群,若τ*是G上比τ细的最粗的拓扑群拓扑,则称τ*是τ的余反射群拓扑.

命题1[14]设(G,τ)是pre-拓扑群,则集族B={∩F:F ⊆τe,|F|＜ω}为余反射群拓扑τ*中单位元e的一个开邻域基.

定理4[15]每一拓扑群是T3空间.

命题2[16]离散拓扑空间X是可分的当且仅当|X|≤0.

本文用到的有关拓扑空间、pre-拓扑空间中一些未说明的定义和术语读者可以参考文献[13,16-17].

2 主要结果与证明

在文献[14]中给出了许多pre-拓扑群的例子,再由命题1有

例1在实数集R上赋予加法,使得(R,+)是一个群,定义R上的pre-拓扑τ的pre-基为

U={(-∞,a)：a∈R} ∪{(b,+∞)：b∈R},

则(R,+,τ)为pre-拓扑群.(R,+,τ)的余反射群拓扑τ*的基为U*={(a,b):a,b∈R}.

例2在群(R,+)上定义pre-拓扑τ的pre-基为

U={[a,b)：a,b∈R,b＞a} ∪{(b,a]：a,b∈R,b＜a},

则(R,+,τ)是一个pre-拓扑群.(R,+,τ)的余反射群拓扑τ*的基为U*={{a}:a∈R},则余反射拓扑群(R,+,τ*)是不可数的离散拓扑群.

下面命题说明pre-拓扑群的分离性与其余反射拓扑群的关系.

命题3pre-拓扑群(G,τ)是T0的当且仅当余反射拓扑群(G,τ*)是T0的.

证明 必要性对任意x∈G且x≠e.由pre-拓扑群(G,τ)是T0的,则存在U∈Be使得e∉xU,或者存在W∈Be使得x∉W.由τ⊆τ*,则 存在V∈Be

*使得V⊆U,于是e∉xV.或者存在O∈Be*使得O⊆W,于是x∉O.因此,(G,τ*)是T0的.

充分性对任意x∈G且x≠e.由余反射拓扑群(G,τ*)是T0的,则存在使得e∉xU,其中Ui∈Be,n∈N.于是从而存在i≤n使得x∉U-1i,即x-1∉Ui,所以e∉xUi.或者存在W=使得x∉W,其中Wi∈Be,n∈N.所以存在i≤n使得x∉Wi.因此,pre-拓扑群(G,τ)是T0的.

推论1pre-拓扑群(G,τ)是正则的当且仅当余反射拓扑群(G,τ*)是正则的.

证明由(G,τ)是正则的,则(G,τ)是T0的.由命题3知:(G,τ*)是T0的.因此余反射拓扑群(G,τ*)是正则的.相反,若(G,τ*)是正则的,则(G,τ*)是T0的.由命题3 知:(G,τ)是T0的.由定理3 知:T0的pre-拓扑群是正则的,所以(G,τ)是正则.

定义6设X是pre-拓扑空间.如果x∈X且x在X中具有可数的pre-邻域基,则称X在点x处是第一可数的.若X的每一点是第一可数的,则称X满足第一可数公理或X是第一可数空间.

命题4若pre-拓扑群(G,τ)是第一可数的,则余反射拓扑群(G,τ*)是第一可数的;反之不成立.

证明若pre-拓扑群(G,τ)是第一可数的,则(G,τ)在单位元e处具有可数的pre-邻域基Be.由命题1 可知,余反射拓扑群在单位元e处的邻域基Be*={∩F:F ⊆Be,|F|＜ω}.因为可数集的有限交仍是可数集,从而Be*是可数的,所以余反射拓扑群(G,τ*)是第一可数的.

相反,设G=A(X)是非离散的完全正则空间X上的自由群且τ1是其上自由交换拓扑群拓扑.由文献[18]可知,交换群G=A(X)存在拓扑群拓扑τ2使得τ1和τ2分别存在单位元e的一个开邻域U1和U2满足U1∩U2={e}.由文献[15]知τ1不是第一可数的,于是pre-拓扑群拓扑τ1∪τ2不是第一可数的.但余反射群拓扑τ*是离散的,从而是第一可数的.

命题5若余反射拓扑群(G,τ*)是连通的,则pre-拓扑群(G,τ)是pre-连通的;反之不成立.

证明若(G,τ)不是pre-连通的,则τ中存在既开且闭的非空真子集A.由τ⊆τ*,集合A也为τ*中既开且闭的非空真子集,这与(G,τ*)是连通的矛盾.所以pre-拓扑群(G,τ)是pre-连通的.

反之,由文献[18]知基数为c的Boolean 群G上存在两个连通的可度量化群拓扑τ1和τ2使得τ1和τ2分别存在单位元e的一个开邻域U1和U2满足U1∩U2={e}.显然,τ1∪τ2是pre-连通的pre-拓扑群拓扑.但因为τ*是离散的,所以余反射群拓扑τ*不是连通的.

命题6存在余反射拓扑群(G,τ*)是局部连通的,但pre-拓扑群(G,τ)不是pre-局部连通的.

证明例2 中,余反射拓扑群(R,+,τ*)是离散拓扑群,从而是局部连通的.但(R,+,τ)不是pre-局部连通的.事实上,对任意x∈R,存在x的一个开邻域[a,b)使得对x的任意包含于[a,b)的邻域[c,d)或者(c,d]都是(R,+,τ)中既开且闭的真子集.因此,(R,+,τ)不是pre-局部连通的.

定义7设X是pre-拓扑空间.如果X的每个开覆盖都有有限子覆盖,则称X是pre-紧空间.

命题7若余反射拓扑群(G,τ*)是紧的,则pre-拓扑群(G,τ)是pre-紧的.

证明设A为pre-拓扑群(G,τ)的一个开覆盖.由τ⊆τ*,则A也为(G,τ*)的一个开覆盖.由(G,τ*)是紧的,则A具有有限子覆盖.所以(G,τ)是pre-紧的.

问题1是否存在pre-拓扑群(G,τ)是pre-紧的,但余反射拓扑群(G,τ*)不是紧的?

定义8设X是pre-拓扑空间.如果每一点x∈X具有一个pre-紧的邻域,则称X是pre-局部紧空间.

命题8存在余反射拓扑群(G,τ*)是局部紧的,但pre-拓扑群(G,τ)不是pre-局部紧的.

证明例2 中,余反射拓扑群(R,+,τ*)是离散拓扑群,从而是局部紧的.但(R,+,τ)不是pre-局部紧的.事实上,对任意x∈R,对x的任意一个开邻域[a,b)或者(a,b],其中a,b∈R且a＜b.因为集族A={[a,x1),[x1,x2),…,[xn,xn+1),…,[x∞,b)}是[a,b)的一个开覆盖,但集族A没有有限子覆盖,所以x的开邻域[a,b)不是pre-紧的;同理可证(a,b]不是pre-紧的邻域.因此,(R,+,τ)不是pre-局部紧的.

注例1 中,pre-拓扑群(R,+,τ)不是pre-局部紧的.这是因为对单位元e的任意一个开邻域(-a,+∞)或者(-∞,a),其中a∈R且a＞0.集族A={(-∞,i):i∈N}是(-a,+∞)的一个开覆盖,但是集族A没有有限子覆盖,所以(-a,+∞)不是pre-紧的;同理可证(-∞,a)不是pre-紧的邻域.所以pre-拓扑群(R,+,τ)不是pre-局部紧的.因为(R,+,τ)的余反射群拓扑τ*是群(R,+)上的通常拓扑,所以(R,+,τ*)是局部紧的.

定义9设X是pre-拓扑空间.如果X的每个开覆盖都有可数子覆盖,则称X是Lindelöf空间.

命题9若余反射拓扑群(G,τ*)是Lindelöf的,则pre-拓扑群(G,τ)是Lindelöf的;反之不成立.

证明设A为pre-拓扑群(G,τ)的一个开覆盖.由τ⊆τ*,则A也为(G,τ*)的一个开覆盖.由(G,τ*)是Lindelöf的,则A具有可数子覆盖.所以(G,τ)是Lindelöf的.

相反,例2 中,(R,+,τ*)是不可数的离散拓扑群,从而不是Lindelöf.但(R,+,τ)是Lindelöf的pre-拓扑群.事实上,设A={Uα:α∈Λ}是(R,+,τ)的一个开覆盖.记U◦α为Uα在通常拓扑σ下的内部.令则U作为(R,σ)的子空间是第二可数的,于是U是Lindelöf的,从而U的开覆盖{U◦α:α∈Λ}具有可数子覆盖令F=R-U,下证:F是一个可数集.那么pre-拓扑群(R,+,τ)是Lindelöf的.

对任意a∈F,则a一定是集族{Uα:α∈Λ}中某个元的左端点或者右端点,否则a∈U,这与a的取法矛盾.不妨设a是集族{Uα:α∈Λ}中某个元的左端点,则存在xa＞a使得[a,xa)⊆Uα,于是就有(a,xa)⊆U,所以(a,xa)∩F=∅.记A′={(a,xa):a∈F},则A′为互不相交的开区间族并且是可数的,从而F是可数的.

定义10设X是pre-拓扑空间.如果X具有可数的稠密子集,则称X是pre-可分空间.

命题10若余反射拓扑群(G,τ*)是可分的,则pre-拓扑群(G,τ)是pre-可分的;反之不成立.

证明若(G,τ*)是可分,则(G,τ*)具有可数的稠密子集A.由τ⊆τ*,则A也是(G,τ)的稠子集.因此,pre-拓扑群(G,τ)是pre-可分的.

例2 中,显然(R,+,τ)是一个pre-可分的pre-拓扑群.但因为(R,+,τ*)是不可数的离散拓扑群,所以(R,+,τ*)是不可分的.