关注二项式定理与其他知识的交会

杜保华

(山东省枣庄市薛城实验中学)

二项式定理是近年高考数学中的高频考点,将二项式定理与其他知识巧妙地融合在一起,既体现了试题设计的创新亮点,又体现了新课标高考理念——“要注重学科的内在联系和知识的综合性,不刻意追求知识的覆盖面.要从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题,在知识网络交会点处设计试题,使对数学基础知识的考查达到必要的深度”.赏析以下归类解析,有助于我们进一步提高对所学数学知识和思想方法的综合运用能力.

1 考查二项式定理与函数的交会

1.1 以“分段函数”为载体,考查与二项式定理的交会

本题设计较为新颖,凸显以分段函数为切入点,灵活考查函数与二项式定理的交会.

1.2 以“幂函数”为载体,考查与二项式定理的交会

例2已知可将幂函数f(x)＝xn(n≥3,且n∈N)表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋an(1＋x)n,其中a0,a1,a2,…,an∈R.若a3＋3a2＝0,则n＝_________.

因为f(x)＝xn＝[－1＋(1＋x)]n＝(－1)n－1(1＋x)1＋(－1)n－3(1＋x)3＋…＋(－1)0·(1＋x)n,所以a3＋3a2＝＝0,即,解得n＝11.

本题设计较好,解题关键是先对幂函数f(x)＝xn(n≥3,且n∈N)的底数进行合理的“加减”变形,再利用二项式定理加以求解.

1.3 考查二项式定理的应用,涉及与“二次函数”的交会

例3已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m,n∈N*)展开式中x的系数为11,当展开式中x2的系数最小时,求(x2＋)3n＋1展开式中的常数项.

又n∈N*,所以当n＝3时,该系数取最小值.

本题具有一定的综合性,解题关键点:一是结合题意,准确分析当展开式中x2的系数最小时,n的取值;二是需要借助消元策略,转化为求二次函数在约束条件下的最小值.

2 考查二项式定理与导数的交会

设函数f(x)＝(ax＋b)n,n∈N*,则由二项式定理可知f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.于是,借助求导、赋值的处理技巧可得许多有用的结论.例如,求导得

取x＝1,则有

取x＝－1,则有

对式①两边同乘x得

求导得

又[xf′(x)]′＝f′(x)＋xf″(x),所以取x＝1,则有

按照这样的处理思路(乘x、求导、赋值),有兴趣的读者还可以继续探究.

2.1 直接利用相关结论,巧解展开式中有关系数和问题

例4若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5,则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝_______,a1＋4a2＋9a3＋16a4＋25a5＝_________.

设函数f(x)＝(2x－3)5,求导得f′(x)＝10(2x－3)4,f″(x)＝80(2x－3)3.根据式②得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝f′(1)＝10,根据式④得a1＋4a2＋9a3＋16a4＋25a5＝f′(1)＋f″(1)＝10＋(－80)＝－70.

本题还可以利用二项式定理先将(2x－3)5展开,分别得到a1,a2,a3,a4,a5的值,然后再求解目标问题,但整个求解过程较烦琐.

2.2 借助求导与赋值的灵活性,巧解展开式中有关系数和问题

例5已知(1－x)2022＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋…＋a2022(x－3)2022(x∈R),则a1－2a2＋3a3－4a4＋…＋2021a2021－2022a2022＝_____.

设函数f(x)＝(1－x)2022,求导可得f′(x)＝－2022(1－x)2021.又对f(x)＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋…＋a2022(x－3)2022求导得f′(x)＝a1＋2a2(x－3)＋3a3(x－3)2＋…＋2022a2022(x－3)2021.

取x＝2,得

本题具体求解时,也可以这样处理:直接对已知等式两边求导,然后再赋值.显然,整个解题的关键在于:先求导(以x为自变量),再赋值.

3 考查二项式定理与定积分的交会

例6当x∈R,|x|＜1 时,有如下表达式:1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.两边同时积分得

从而得到如下等式:

本题求解的关键在于结合题意厘清解题思路:先对等式两边同时积分(积分上限取,下限取0),再利用微积分基本定理化简.

二项式定理与其他知识的交会,具体还涉及二项式定理与数列、基本不等式等知识的交会,此处不再一一举例剖析.总之,对所学知识、方法的交会考查,是一种新的命题趋势,需要我们平时加强训练,有意识地去提高综合运用能力以及探究、创新精神,有利于帮助我们进一步提升数学核心素养.

(完)