对合三元半环的几类理想*

冯军庆, 王 非，徐 慧

(空军工程大学)

1 引言与预备知识

若非空集合S上有两种运算，二元加法+和三元乘法·，其中(S,+)是交换半群，(S,·)是三元半群，且满足三元乘法对二元加法的分配律，即∀x,y,z,w,v∈S,有下列式子成立：

(xyz)wv=x(yzw)v=xy(zwv)

(x+y)zw=xzw+xyw,

x(y+z)w=xyw+xzw,

xy(z+w)=xyz+xyw,

则称S是三元半环[1].

含对合*运算的三元半环S，是指∀x,y,z∈S,有(x*)*=x,(x+y)*=y*+x*,

(xyz)*=z*y*x*成立，即*是S上的反自同构，*也可以看作半环上的一元运算，把含对合*运算的三元半环称为对合三元半环.

例如设Z是整数集，规定二元加法的三元乘法就是普通整数的加法和乘法，对合运算*是取相反数，则整数集Z在上述的运算下就是一个对合三元半环.

三元半环上的对合运算，有下列性质：

(1) (x+y)*=y*+x*

(2) (xyzwv)*=[(xyz)wv]*=

[x(yzw)v]*=[xy(zwv)]*=v*w*(xyz)*=v*(yzw)*x*=(zwv)*y*x*=v*w*z*y*x*.

三元代数在数学、物理及其理论计算机中应用越来越广泛，三元代数系统的概念最早是由Lehmer在1932年提出的，之后Banach给出了三元半群的概念, 1965年Sioson又研究了三元半环的理想理论[1]，三元半环的概念是由Dutta和Kar在Lister给出的三元环的基础上于2003年提出的[2].对合半环在代数学的不同领域和计算机科学中占有重要地位，在形式语言和自动机理论中语言对合半环丰富了Kleene循环运算理论.理想是半群代数理论中一个重要的概念，更是研究半环结构有力的数学工具,利用一些特殊的理想来研究对合半环的性质与结构，已成为许多专家和学者研究半环代数理论的一种常用方法.其中这些特殊的理想包括左(右)理想、*-理想、k-理想、素理想、k-素理想、*-素理想和*-k-素理想等[3-6].在文献[3]中，Dheena P等学者研究了对合半环中的理想.该文受上述这些理论的启发，在三元半环上引入对合*运算，称之为含有对合运算的三元半环，简称为对合三元半环.现就对合三元半环为主要研究对象，利用几类特殊的理想来研究三元半环的理想和这几类特殊的理想之间的关系.

该文在不引起混淆的情形下，文中的S均表示对合三元半环，其它的概念请参阅文献[7-10].

2 S的*-理想与*-k-理想

首先给出该文主要研究的*-理想的相关概念.

定义1 设对合三元半环S的子集为I，对∀a,b∈I,s∈S,若a+b∈I,sab∈I,称I是S的左理想.若a+b∈I,abs∈I,称I是S的右理想，若a+b∈I,asb∈I,称I是S的侧理想[3].

定义2 若I既是S的左理想，又是S的右理想，还是S的侧理想，则称I是S的理想[3].

定义3 设I是S的理想，记I*={a*|a∈I},若I*⊆I，称I是S的*-理想[3].

对于对合三元半环S而言，显然S*=S,也就是说,S本身就是S的一个*-理想，这说明*-理想是非空的.但是关注的对象除了S*之外，还有没有其它的*-理想，并且这些*-理想有哪些性质？这是下面研究的问题.

定理1 若I是S的理想，则I*是S的理想，且I*II,III*,I+I*是S的*-理想.

证明∀a,b∈I*,s∈S,则a*,b*∈I,由I是S的理想得:sa*b*,a*sb*,a*b*s∈I,故(sa*b*)*,(a*sb*)*,(a*b*s)*∈I*,即bas*,bs*a,s*ba∈I*,故I*是S的理想.

由于I*是S的理想，所以I*II,III*也是S的理想，又(I*II)*=I*I*I⊆I*II,(III*)*=II*I*⊆III*,因此I*II,III*是S的*-理想.

下面给出该文主要研究的*-k-理想的相关概念.

定义4 设对合三元半环S的子集为I，对∀a∈I,s∈S,若a+s∈I,则s∈I,称I是S的左k-理想.若s+a∈I,则s∈I,称I是S的右k-理想[3].

定义5 若I既是S的左k-理想，又是S的右k-理想.则称I是S的k-理想[3].

定理2S的两个k-理想的交也是S的k-理想.

证明设P,Q是S的两个k-理想，对∀a∈P∩Q,s∈S,若a+s∈P∩Q,则a+s∈P,a+s∈Q,又P,Q都是S的k-理想，故s∈P,s∈Q,于是s∈P∩Q,因此P∩Q是S的k-理想.

定理3 设S是对合三元半环，I是S的k-理想当且仅当I*是S的k-理想.

证明先证必要性，若I是S的k-理想，对∀a*∈I*,s∈S,若a*+s∈I*,则(a*+s)*∈(I*)*,于是s*+(a*)*∈I,即s*+a∈I,由于(S,+)是交换半群，所以a+s*∈I,再由

I是S的k-理想，因此s*∈I,所以s∈I*,即

I*是S的k-理想.

下证充分性，若I*是S的k-理想，对∀a∈I,s∈S,若a+s∈I,则(a+s)*∈I*,于是s*+a*∈I*,即s*+a*=a*+s*∈I*,由于I*是S的k-理想，因此s*∈I*,所以s∈I,即I是S的k-理想.

定理4 设S是对合三元半环，

(1)若A,B,C是S左(右)理想,则Il=

{s∈S|sBC⊆A}(Ir={s∈S|BCs⊆A})是S的理想；

(2)若A,B,C是S左(右)k-理想，则Il={s∈S|sBC⊆A}(Ir={s∈S|BCs⊆A})是S的k-理想.

证明(1)若A,B,C是S左理想，对∀a,b∈Il,由于A是S的左理想,故aBC⊆A,bBC⊆A,所以(a+b)BC⊆A,且a+b∈Il,对∀s∈S,则sabBC⊆saA⊆A,absBC⊆aBC⊆A,

故sab∈Il,abs∈Il，因此Ils={s∈S|sBC⊆A}是S的理想.

同理若A,B,C是S右理想时，Ir=

{s∈S|BCs⊆A} 也是S的理想.

(2)若A,B,C是S左k-理想，对∀a,b∈Il,s∈S若a+s∈Il,则(a+s)BC⊆A,即aBC+sBC⊆A,由于A是S的左k-理想，故sBC⊆A,因此s∈Il，故Il是S的k-理想.

同理若A,B,C是S右k-理想时，Ir={s∈S|BCs⊆A}也是S的k-理想.

定义6 若P既是S的k-理想，又是S的*-理想.则称P是S的*-k-理想[3].

定理5 若I是S的k-理想，则I*∩I是S的*-k-理想.

证明因为I是S的k-理想，由定理3可知，I*也是S的k-理想，因此I∩I*是S的k-理想.又(I∩I*)*=I*∩(I*)*=I*∩I,故I∩I*是S的*-理想，因此I*∩I是S的*-k-理想.

3 S的*-素理想

下面给出该文主要研究的*-素理想的相关概念.

定义7 设P是S的理想，若ABC⊆P,则A⊆P或B⊆P或C⊆P,称P是S的素理想[3].

定义8 设P是S的*-理想，若ABC⊆P,则A⊆P或B⊆P或C⊆P,称P是S的*-素理想[3].

由定义可知，若P是S的素理想且是*-理想，则P是S的*-素理想.但是S的*-理想未必是S的*-素理想.下面给出对合三元半环S的*-理想是*-素理想一个充要条件.

定理6 设S是对合三元半环，P是S的*-理想.则P是对合三元半环S的*-素理想的充要条件是若ABC⊆P,则A⊆P或B⊆P或C⊆P,这里A,B,C至少有两个是S的*-理想.

证明充分性根据*-素理想的定义可得，下面证明必要性.

设P是对合三元半环S的*-素理想，不失一般性，假设A是S的理想，B,C是S的*-理想，使得ABC⊆P,则由于B,C是S的*-理想，所以BCA*⊆P,从而(A*BC)3=A*BCA*BCA*BC⊆P*⊆P,于是A*BC⊆P,因此(A+A*)BC⊆P,又因为是素理想可得(A+A*)⊆P,B⊆P,C⊆P,从而A⊆P或B⊆P或C⊆P,于是P是对合三元半环S的*-素理想.

为了刻画*-素理想的特性，再给出主理想的概念.

定义9 对∀a∈S,是称由a的生成的理想为S的主理想，记作[3].

定理7 设S是对合三元半环，P是S的*-理想.则下列命题等价：

(1)P是S的*-素理想；

(2) ∀a,b,c∈S,若aSbSc⊆P,a*SbSc⊆P,则a∈P或b∈P或c∈P；

(3)设U,V,W是S的右理想，若UVW⊆P,U*VW⊆P,则U⊆P或V⊆P或W⊆P；

(4)设U,V,W是S的左理想，若UVW⊆P,U*VW⊆P,则U⊆P或V⊆P或W⊆P.

证明(1)⟹(2)若aSbSc⊆P,a*SbSc⊆P,由定理6可得，SS⊆P,SS⊆P, 于是(+

)SS⊆P,所以S(+

)SSSSS⊆P,再由P是S的*-素理想可得:

S(+)S⊆P,SS⊆P,SS⊆P.

从而+⊆P,⊆P,

⊆P,所以a∈⊆P,b∈⊆P,c∈⊆P.

(2)⟹(3)设U,V,W是S的右理想，且UVW⊆P,U*VW⊆P,假如U不包含于P,则存在u∈U,使得u∉P,设v∈V,w∈W.则

⊆UVW+SUVWS⊆P,

⊆U*VW+SU*VWS⊆P,所以⊆P或⊆P或⊆P，可是U不包含于P,所以⊆P或⊆P.

(3)⟹(4)由(3)的条件直接可得结论.

(4)⟹(1)由*-素理想的定义可得.