两道习题引发的对重力势能相对性的深度思考

董利普

摘   要：重力势能是物体处于一定高度所具有的能，其具有的相对性往往使学生困惑。结合教学实践和高中生在理解重力势能相对性上普遍存在的困难，结合教辅材料上的习题，从零重力势能面的选取多角度分析，得出了比较重力势能大小，必须明确确定零势能面，并结合重力对外做功的多少来比较。

关键词：重力势能;物理概念;相对性;深度认识

引言

高中物理概念教学过程中，对物理概念的溯源，认知、理解和运用是至关重要的[ 1 ]，这不仅能帮助同学们建立起某个物理概念，更能帮助同学们建立起新概念与其它概念的联系，有助于大物理观念的形成。但学生一般在学习新物理概念时，往往理解不够到位，比如对电场强度、磁感应强度、磁通量等等概念的理解。原因有三方面：（1）物理定义很少涉及具体客观的事物，让学生难以想象。在电场强度概念的引入中，电场已经是看不见，摸不到的物质，再用电场强度去描述电场的强弱和方向，学生就更加想象不出来了。（2）高中生的思维发展正处在由具体思维向抽象思维的过渡阶段，很明显地在解习题的过程中，很多同学对已知量为数字的题目解起来会更顺手，反而对已知量为字母的习题会感到为难，就说明了这一点。（3）教师在讲解概念时，照本宣科，没能联系实际具体的情境作类比，加之现在学生本身缺乏对生活中实际情境的接触，思维想象缺乏情境依据，就难达到对概念的彻底理解。因此，在概念教学上，教师要能做到深入浅出的讲解，从多方面，多角度阐释概念的内涵。如果在这种情况下，学生还是不能够很好的理解，最好的方法是通过有效的课后习题实现对概念的“再理解”，学习，直到掌握概念。

在进行高中物理鲁科2019版必修2第一章第4节“势能及其改变”时，教师一定会讲解重力势能的概念，并引导学生从重力势能的标量性，系统性，相对性等方面去理解概念。对于相对性，习惯从高度具有相对性上来解释，对于同一物体选择不同的零势能参考面，该物体具有不同的重力势能[ 2 ]。如果没有特别指明，一般选地面为零重力势能面。如果是两个物体去比较重力势能的大小必须选择同一零势能面，这里很多教师在讲课的时候都会提到，由于课堂时间的限制，往往鲜有例题来说明。下面以两道习题来阐释对重力势能相对性的深度认识。

1  问题的提出

物理必修2教辅材料《顶尖课课练作业本》（海峡出版发行集团，福建人民出版社2020年11月第一版）第5页第4题（习题1） [ 3 ]：甲、乙两个物体的位置如图1所示，质量关系m甲

A.Ep1>Ep2   B.Ep1

本题参考答案选A。给出的解析是这样的：以桌面为零势能面，小球甲相对于零势能面的高度为0，则甲的重力势能为 Ep1=0 [ 3 ];小球乙在零势能面的下方，重力势能比零小，为负值，即Ep2<0，所以有：Ep1>Ep2。故选：A。

无独有偶，同样的在物理必修2教辅材料《顶尖课课练》（海峡出版发行集团，福建人民出版社2012年版）第18页，有这样一道题目（习题2）[ 4 ]：如图2所示，长度均为L的三根轻杆构成一个正三角形支架，在A处固定质量为2 m的小球，在B处固定质量为m的小球，支架悬挂在O点，可绕过O点并与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB处于竖直方向。释放后开始运动，在不计任何阻力的情况下，有下列说法：①释放时，A球的重力势能比B球的重力势能多mgL;②释放时A球的重力势能比B球的重力势能多2 mgL;③当A球达到最低点时，A球重力势能的减少量等于B球重力势能的增加量;④当A球达到最低点时，A球重力势能的减少量大于B球重力势能的增加量。其中正确的是（ ）

A.①③        B.①④            C. ②③         D. ②④

教辅书中给出的答案为B。

分析：本题中的③④两个结论都在比较A下落到最低点时，A，B两个小球重力势能变化量的大小，而重力势能变化量的多少只需根据重力做功和重力势能变化量的关系来判断：A，B两球下落，变化的高度相同，WGA=2mg×=mgL，WGB=-，显然A球的重力势能减少了mgL，B球重力势能增加了，当A球达到最低点时，A球重力势能的减少量大于B球重力势能的增加量，根据机械能守恒，多出的部分转化成了A、B两球的动能。

这两道习题将不同质量的物体的重力势能拿来比较。习题1的参考答案认为重力势能为负值比重力势能为正值的重力势能小的解释看似很合理，但是从重力做功的角度分析，这种解释似乎又站不住脚。习题2在没有指明零势能参考面的前提下，得出结论①正确，也显得仓促。因此有必要进一步讨论重力势能的相对性及比较方法。

2  重力势能相对性问题的讨论

2.1  同一物體重力势能相对性的比较

高中物理鲁科2019版必修2第一章第4节“势能及其改变”在讲到重力势能大小的影响因素时，设计了这样的实验：准备两个大小相同、质量不同的光滑小球，在一盆中放入适量细沙。

（1）在沙盆上方同一高度由静止释放两小球，观察到质量大的小球陷入细沙的深度较大（对外做功多）。

（2）让同一个小球从不同的高度由静止落下，观察到小球释放高度越高，小球陷入细沙中的深度就越大。

显而易见，课本中的实验指出了同一物体高度越高重力势能就越大，零势能面以下的重力势能肯定比零势能面以上的重力势能小;对于习题1，2中质量不同，高度不同的物体重力势能又如何去比较大小，仍需继续讨论。

2.2  质量不同的物体重力势能相对性的比较

对于习题1中已规定桌面为零势能面，Ep1>0，Ep2<0，得出Ep1>Ep2。如果从重力做功的角度思考，就不见得。

能量是表示物体做功本领大小的物理量，能量可以用能够做功的多少来衡量[ 5 ]。重力势能是由于物体处在一定高度所具有的能量，是一种潜在的能量[ 2 ]。笔者认为，这种能量的大小如果只从位置高低来判断还不能令人信服。实际上在课本研究重力势能大小的影响因素时，已经提到了质量不同，高度不同的物体重力势能的比较方法，就是通过陷入细沙中的深度来比较，即通过重力对外做功的大小来确定。为了思考方便，对于该习题可以让甲、乙两球，只在在重力的作用下移动到乙球下方同一个位置，通过判断两球重力做功的多少，来判断两球重力势能的大小。本题中甲球下落的高度大但重力小，乙球下落高度小，但重力大，因此无法判断两个球对外做功的多少，笔者认为选D选项更合理。

对于习题2，现列举几种情况讨论如下：

（1）假设取B点所在平面为重力势能的零势能面，则EPB=0，EPA=mgL，显然释放前A球的重力势能比B球大mgL，习题2中的结论①这一判断和该假设相符。

（2）若取A球所在平面为参考面，易得EPB=-，EPA=0，则EPA-EPB=。

（3）假如取O点所在面为参考，则EPB=-mgL，EPA=-2mg×=-mgL，显然释放前，EPA=EPB。

（4）假设取B点以下h高处为重力势能的零势能面，则EPB=mgh，EPA=2mg（+h），EPA-EPB=mgL+mgh，当h=L时，习题2中的结论②也是正确的。

（5）假设取A点以上h高处为重力势能的零势能面，则EPB=-mg（+h），EPA=-2mgh，EPA-EPB=mg-mgh 当h=时，EPA=EPB;当h<时，EPA>EPB;h>时，EPA<EPB。

由以上假设可见，习题2在没有指明零重力势能参考面的情况下，盲目的给出参考答案B，显然是对重力势能的相对性考虑欠佳。根据上文（5）中假设，即使指明了零势能参考平面，也很难比较两个质量不同物体的重力势能大小，要确切比较还需要有具体数据支撑。

物体具有多少重力势能并不意味着就对外做相應数值的功，重力势能是相对值，一个物体在某一高度具有多少重力势能，只能说这个物体从该处到零重力势能面，重力做这么多功。从重力做功的角度比较，只能比较落到零重力势能面上的情况。比如，假设（5）中h>时，只能说明从两球所在位置到所选取的零重力势能面，A球克服重力做的功大于B球克服重力做的功，因此A球的重力势能小于B球的重力势能。

在习题2中，如果A、B质量互换，也可以根据以上（5）点假设来比较两物体重力势能的大小。通过这两道习题的辨析，必然让学生对重力势能相对性及功能关系的认识更加深刻。

3  结论

总之，对两个质量不同的物体在比较重力势能的大小时，在指明零重力势能面的同时还要结合重力做功来确定重力势能的大小。由Ep=mgh可知，选择合适的零重力势能面，必定会出现使两物体重力势能相等的零势能面，即m1gh1=m2gh2，这意味着从两物体所在高度到零势能面这个过程中，两物体重力（或克服重力）做的功是一样的。在学生对“功是能转化的量度”[ 6 ]有了正确认识的基础上，从WG=-ΔEp=mgh1-mgh2中去理解mgh这个量表示物体的重力势能是顺理成章的[ 6 ]，也由此可见相比重力势能的相对性来说，重力势能的变化是绝对的，我们应该更关注重力势能的变化和重力做功。

参考文献：

[1] 董开乐，华慧茹. 浅谈重力势能的教学[J]. 物理教学探讨，2004，22（211）：20-21.

[2]谢庆华. 后发展区域产业园建设后发优势与承接力研究[D]. 西安：西北工业大学，2018.

[3] 顶尖课课编写组. 顶尖课课练作业本[M].2020年版，福州：海峡出版发行集团，福建人民出版社，2020：5.

[4] 顶尖课课编写组.顶尖课课练[M].2012年版，福州：海峡出版发行集团，福建人民出版社，2014：18.

[5] 石弘. "动能和势能"知识点辨析[J]. 中学生数理化（八年级物理）（配合人教社教材）， 2013（5）：16-17.

[6] 王会德. 新课程理念下“重力势能”的教学探讨[J].物理教学探讨，2007（3）：27-29.

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