部分预应力混凝土梁相对界限受压区高度取值分析

李少雄 尚仁杰

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引言

混凝土梁的受压区高度是控制结构延性的主要指标，对于框架梁的梁柱节点，混凝土受压区高度由框架抗震等级确定：一级抗震等级，受压区高度不大于0.25h0，二、三级抗震等级，受压区高度不大于0.35h0。对于框架梁的跨中以及非框架梁，相对界限受压区高度是混凝土结构设计的重要参数，本文将针对该类构件进行研究。构件达到界限受压区高度破坏时，构件正截面上受拉钢筋屈服与受压区混凝土破坏同时发生。对应于这一破坏状态，受压边缘混凝土应变达到εcu，对配置有屈服点钢筋的钢筋混凝土构件，纵向受拉钢筋达到屈服强度fy，对于配置无屈服点的预应力混凝土构件，预应力筋要达到条件屈服点，而条件屈服点在不同的国家有不同的取值［1］，有的国家取0.2%的残余应变对应的应力值，有的国家取0.1%的残余应变对应的应力值，不同的取值将影响界限受压区高度的计算值。分析表明，实际受压区高度比界限受压区高度稍小时，构件延性会提高［2］，但是，如果截面相对受压区高度取小值，在相同截面时构件承载力减小，如何权衡构件承载力和延性是设计的关键。

本文根据预应力钢绞线拉伸的应力-应变全曲线及《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）相对界限受压区高度计算公式，比较了相对界限受压区高度对承载力的影响，按有屈服点非预应力钢筋混凝土构件和预应力混凝土构件相对界限受压区高度的平均值设计构件，分析了该构件弯曲变形的弯矩-曲率关系，分析表明，钢筋屈服后构件刚度降低到屈服前的15%～18%，具有一定的延性变形，而承载力可提高10%以上。

1 预应力钢绞线拉伸全曲线试验

混凝土结构破坏需要有一定的延性，控制混凝土构件延性破坏的一个重要指标是控制相对界限受压区高度ξb，而ξb与钢筋的拉伸应力-应变关系曲线相关。

图1为普通钢筋拉伸应力-应变全曲线，从开始拉伸到A点呈线性，A点后明显屈服，取屈服下限B点对应的强度作为设计强度fy的依据，从C点开始强化，到D点达到最大值，很快下降到E点破坏（图1）。

图1 普通钢筋应力-应变曲线Fig.1 Stress-strain curve of regular steel bar

预应力钢绞线拉伸时没有明确的屈服点，我国采用0.2%残余应变时对应的应力σp0.2作为条件屈服强度［3］，条件屈服强度标准值作为钢绞线强度设计值fpy的依据，有的国家采用σp0.1作为条件屈服强度［2］。为了对预应力钢绞线和普通钢筋拉伸全曲线进行比较，对3根强度fptk=1860MPa，公称直径φ=15.20mm，截面积Ap=140mm2的钢绞线进行了拉伸试验研究，图2选取了1根拉伸全曲线，图2a为从开始拉伸到拉断，图2b为对应的从开始拉伸到残余应变超过0.2%的前半段放大。以便观察清楚从钢绞线弹性变形到条件屈服的过程。表1为三根钢绞线的拉伸全曲线试验数据，主要参数包括非比例应变开始点应力、非比例应变为0.05%、0.10%、0.20%时应力以及破断应力及破断时伸长率。可以看出从非比例极限0.05%到0.10%应力提高约4%，从非比例极限0.05%到0.20%应力提高约7%。

图2 钢绞线拉伸应力-应变曲线Fig.2 Stress-strain curve of prestress strand

表1 钢绞线力学参数实测值Tab.1 Experimental value of prestress strand

预应力筋在张拉后有效预应力值一般在1000MPa左右，处于开始线弹性阶段，要达到条件屈服强度还要发生很大的应变，结构还要有很大的变形。

3 相对界限受压区高度对比

《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）明确给出了混凝土受弯构件相对界限受压区高度的限制，也就是纵向受拉钢筋屈服与受压区混凝土破坏同时发生时的相对界限受压区高度ξb=x／h0。

有屈服点普通钢筋混凝土构件：

预应力混凝土构件：

式中：fy为预应力筋抗拉强度设计值；fpy为预应力筋抗拉强度设计值；Es为钢筋弹性模量，普通钢筋取2.0×105MPa，预应力钢绞线取1.95×105MPa；σp0为受拉区纵向预应力筋合力点处混凝土法向应力等于零时的预应力筋应力；εcu为非均匀受压时的混凝土极限压应变，混凝土强度等级不超过C50时取0.0033；当混凝土强度等级不超过C50时β1取0.80。

当截面受拉区内配置有不同种类或不同预应力值的钢筋时，受弯构件的相对界限受压区高度应分别计算，并取其较小值。目前，预应力混凝土梁都采用了配置一定数量非预应力筋的部分预应力混凝土配筋方式，且非预应力筋强度占的比例常常大于预应力筋强度，根据《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010），混合配筋的部分预应力混凝土构件相对界限受压区高度只取决于预应力筋拉伸全曲线中σp0.2的取值。

以经常采用的混凝土强度等级C40为例，当采用最常用的普通钢筋HRB400、HRBF400和RRB400时，抗拉强度设计值fy=360MPa，算得相对界限受压区高度ξb=x／h0=0.518。

当采用强度级别fptk=1860MPa钢绞线时，设计强度fpy=1320MPa为非比例应变为0.2%时的应力值。张拉控制应力取0.75fptk，预应力损失近似考虑30%，可以得到考虑预应力损失后的有效预应力值为σpe=1860×0.75×0.70=976MPa，假设预应力筋位置由预应力产生的压应力σpc约为10MPa，可得到σp0=σpe+αEσpc=1036MPa，其中αE为预应力筋与混凝土弹性模量比值，由公式（2）可得到相对界限受压区高度ξb=x／h0=0.417。

如果采用部分预应力混凝土结构，不论预应力配筋占的比例多么小，只要有预应力筋，其相对界限受压区高度就要从ξb=0.518降低到ξb=0.417，没有任何中间变化过程。

有的国家用σp0.1作为条件屈服强度，对应的设计强度约为fpy=1280MPa，公式（2）将变为：

可见，条件屈服强度的取值有一定人为因素，取σp0.1和取σp0.2作为条件屈服强度，相对界限受压区高度将有很大的差别。

4 不同界限受压区高度的承载力对比

以一个算例对不同相对界限受压区高度的承载力进行比较，采用b×h=400mm×600mm单筋矩形梁，普通钢筋混凝土梁钢筋采用HRB400，混凝土为C40。

对于普通钢筋和预应力筋混合配筋的混凝土梁，如果取相对界限受压区高度ξb=0.518，as=50mm，h0=550mm，受压区高度为x=0.518×550=285mm；

采用混合配筋形式，预应力配筋ap=100mm，按预应力筋和非预应力筋具有相同的配筋强度值，得到h0=525mm，如果σp0.2作为条件屈服强度，受压区高度为x=0.417×525=219mm；如果σp0.1作为条件屈服强度，受压区高度为x=0.508×525=267mm，非预应力和部分预应力混凝土梁承载力分别为：

普通钢筋混凝土梁：

预应力混凝土梁σp0.2作为条件屈服强度：

预应力混凝土梁σp0.1作为条件屈服强度：

如果相对界限受压区高度稍作放宽，取0.417与0.518之间的值0.456，此值比按σp0.1作为条件屈服强度得到的相对界限受压区高度0.508还要小，得到受压区高度x=0.456×525=240（mm），承载力为：

比按相对界限受压区高度ξb=0.417对应的承载力Mu=695.2kN·m提高7%。

因此，同一截面b×h=400mm×600mm的混凝土梁，如果按普通钢筋混凝土单筋梁设计，承载力为832.9kN·m，如果按预应力筋和非预应力筋混合配筋的部分预应力混凝土结构设计，承载力为695.2kN·m，承载力减小约17%，普通钢筋混凝土梁承载力比预应力混凝土梁承载力提高20%，这就造成了只要采用了高强度预应力钢绞线，不论预应力筋占的比例多么小，其截面承载力却减小17%的悖论，这也是设计中经常遇到的问题。如果按σp0.1作为条件屈服强度，承载力为798.6kN·m，承载力比按σp0.2作为条件屈服强度提高15%左右。

5 部分预应力混凝土构件弯曲性能非线性分析

如果相对界限受压区高度取ξb=0.456，非预应力筋和预应力筋在强度上各占50%，得到普通钢筋和预应力筋截面积分别为：

下面根据材料非线性本构关系分析该配筋部分预应力混凝土梁弯曲过程的延性。按《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）第6.2.1条给出的混凝土单轴受压应力-应变曲线公式［4］，混凝土按C40，得到公式（3），fc，r可按fc，r=fck=26.8MPa计算标准值，也可按fc，r=fc=19.1MPa计算设计值。

当εc≤ε0=0.002时：

混凝土压力值：

混凝土合力点距受压边缘距离：

当0.002＜εc≤εcu=0.0033时：σc=fc，r

混凝土压力值：

混凝土合力点距受压边缘距离：

为了分析截面平衡，做如下假设［5，6］：

（1）截面变形保持平截面；

（2）钢筋按理想弹塑性应力应变曲线，预应力筋按线弹性不屈服近似，混凝土应力应变关系按式（3）；

（3）受拉区混凝土没有拉力，只有普通钢筋和预应力筋受拉。

在以上三条假设下，可建立如下方程组：

x0为截面平衡时的受压区高度，εcm为混凝土受压边缘的压应变值，将b×h=400mm×600mm，as=50mm，ap=100mm，εcu=0.0033，As=2546mm2，Ap=695mm2，Es=2×105N／mm2，σp0=1046MPa带入方程组（8），得到不同x0时的σs、σp，并得到对应的弯矩M值。

定义曲率：

根据M和φ得到图3混合配筋预应力混凝土梁弯矩-曲率M-φ关系图。开裂前曲率用φ=dε／d x表示（沿截面高度应变变化率），由于有预应力，不计结构自重，M为0时梁向上弯曲，曲率为负：

图3 部分预应力混凝土梁弯矩-曲率关系Fig.3 Moment-curvature relationship of partial prestressed concrete beams

曲率φ=0时，M近似按：

当混凝土和钢筋强度按标准值计算时，构件在弯矩M=834kN·m时普通钢筋达到屈服标准值400MPa，预应力钢绞线应力为σp=1373MPa，此时混凝土受压边缘的压应变为0.00201，受压区高度为276mm，继续加载，当弯矩M=914 kN·m时，混凝土受压边缘的压应变达到0.0033，受压区高度为256mm，预应力钢绞线应力为σp=1678MPa，钢筋屈服后的构件弯曲切线刚度为屈服前的17%。其实，这个阶段预应力筋已经进入非比例阶段，应变在0.05%和0.2%之间，构件弯曲切线刚度还要更低，结构延性变形更大。

试验测得预应力混凝土梁开裂后刚度降为开裂前的16%左右［7］，与本文提高相对界限受压区高度后的17%基本一致，说明界限受压区高度提高后的延性基本不受影响。其他试验研究也表明［8～10］，配置一定非预应力筋的部分预应力混凝土结构具有很好的延性，超静定结构内力重分布可以满足规范的要求。

6 结论

本文给出了试验测得的预应力钢绞线拉伸应力-应变曲线，分析了不同条件屈服强度得到的相对界限受压区高度值以及界限受压区高度对构件承载力的影响。考虑混凝土材料非线性本构关系计算了部分预应力混凝土构件弯曲时的弯矩-曲率关系，得到以下结论：

1.以非预应力配筋为主，适当配置少量预应力筋的部分预应力混凝土梁，因为采用预应力混凝土构件的相对界限受压区高度而承载力比相同截面的非预应力混凝土梁要低17%，相对界限受压区高度没有过渡的设计方法需要进一步研究。

2.在预应力筋和非预应力筋配筋强度基本相同时，采用介于有屈服点钢筋和预应力混凝土之间的相对界限受压区高度进行设计，受弯构件在钢筋屈服后明显刚度降低，切线刚度降低到原来的15%～18%，延性变形明显，可以满足超静定结构调幅要求，且承载力也可以提高10%以上。

3.按σp0.1作为条件屈服强度与按σp0.2作为条件屈服强度相比，同一截面承载力可提高15%左右，混合配筋预应力混凝土受弯构件相对界限受压区高度可以考虑相对界限相对受压区高度适当提高。

4.本文未考虑框架梁抗震要求的受压区高度限制，对于框架梁支座截面，混凝土受压区高度一般由抗震要求控制，而非本文相对界限受压区高度限制。