组合梁中性轴位置确定方法及应力分析1)

赵俊青 甄玉宝 周 鹏 王 军 胡恒山

(哈尔滨工业大学航天科学与力学系，哈尔滨 150001)

在工程实践和应用中常见到组合梁，如钢木组合梁、钢混凝土组合梁，工程中常见的组合梁由2～3种不同材料组成。组合梁的分析对深入理解弯曲及弯曲应力的概念起到加深和巩固的作用。组合梁分析通常是对2 种不同材料组成的梁进行分析。全国周培源大学生力学竞赛个人赛题组合梁的分析：第8届第3 题顶部增强的悬臂梁是分析2 种材料组成的组合梁的中性轴和切应力[1]；第12 届第2 题分析2种材料组成的三层复合梁的中性层、曲率及弯曲正应力问题。授课时结合赛题进行分析，使学生对组合梁截面的几何性质及弯曲的概念有了新的认识，夯实了学生的基础知识，提高了学生思辩和深入准确理解概念的能力，激发了学生对学习过程中遇到问题思考和讨论的积极性，培养学生逻辑思维和解决问题的能力。

1 中性轴位置确定方法

1.1 相当截面法

相当截面法是将组合梁截面转换为仅由一种材料构成的截面[2-4]。即保持组合材料的截面高度不变，根据弹性模量确定被转换材料的相当宽度。

例：图1 矩形截面简支梁承受集度为q的均布力，梁由1 和2 两种材料胶结在一起，已知E1=2E，E2=E，b，h1=h/2，h2=h，求中性轴z轴位置；分析梁的正应力与切应力。

图1 两种材料组合梁应变与应力

采用相当截面法，将材料2 转换成材料1，则材料2 转换成材料1 后其相当宽度为

1.2 加权平均法

加权平均法是将不同材料的弹性模量作为各自的权重，确定组合梁中性轴位置的方法。将材料的静矩乘其权重弹性模量作为加权后的静矩，将材料的面积乘其权重弹性模量作为加权后的面积。以图1(b) 的z轴为参考轴，由组合截面静矩的概念，采用加权平均法，则图1 组合梁中性轴位置为

式中，SZi为材料i对z轴的静矩。

组合梁中性轴的位置也可用轴力分析法确定：即梁弯曲时，根据横截面上轴力的合力为零的概念[2-4]求得。由FN=0，可得a=5h/8，a与yc之和等于截面的高度1.5h。

相当截面法和加权平均法确定中性轴位置：是以组合梁的上底边或下底边为参考轴，依据相当和加权的概念确定中性轴的位置，与轴力分析法相比算式简洁、计算简便，其中加权平均法最为简单。相当截面法可演化为加权平均法，两种方法均可以求多种不同材料组合梁的中性轴位置。加权平均法求n种不同材料组合梁的中性轴位置计算公式为

2 应力分析

2.1 正应力分析

弯曲梁的线应变ε与y和曲率半径ρ有关，组合梁截面的线应变是协调的，见图1(c)；梁的正应力与弹性模量E和线应变ε有关，组合梁横截面上的正应力因材料性质差异在结合处将发生突变[2,5]，见图1(d)。依平面假设，梁弯曲时横截面似刚性平面绕中性轴转动了一个角度，转动后依然保持为平面。线应变只有是y的线性函数，平面假设才能成立。梁弯曲时材料遵从胡克定律，因此在异质材料结合面上，正应力发生突变。

在组合梁的分析与思考讨论中，采用相当截面法分析组合梁正应力时，同学会出现图2(b)的问题。其原因是将不同的材料转换成同一材料后，同学将组合梁习惯性地看作是同一材料的梁得出的。采用加权平均法分析时，可避免此种情况的发生。在组合梁的研讨过程中，教师应启发引导学生，学生经过思考推理得出正确结论，这一过程往往促使学生进一步思考问题，从而加深对不同材料组合梁概念的正确理解。

图2 相当截面正应力

组合梁1 和2 两种材料的正应力分别为

式中，IZi为材料i对中性轴zc轴的惯性矩。

根据式(6) 和式(7) 可计算出图1 组合截面上各组成部分任一点的线应变与正应力值。梁的最大曲率发生在简支梁的跨中，梁跨中弯矩值为ql2/8。

2.2 切应力分析

根据力的平衡分析，材料1、材料2 在dx微段梁上(图1(a))正应力的差值将由界面上的切应力平衡。两种材料的弯曲切应力分别为

S∗Zi为材料i所求应力的点横线以外的所有面积对中性轴zc轴的静矩。ki为材料i的弹性模量与材料1 的弹性模量之比。

在梁的左半段截取dx微段(图1(a)) 研究异质材料界面处的切应力，根据切应力互等定理，无论由何种材料求界面上的切应力，得到的切应力值必然相等。依据式(8)和式(9)由两种材料分别求界面上的切应力，若

则在界面上τ1与τ2相等。

由图1(b)与图3(b)材料1 对中性轴zc轴静矩，得

图3 两种材料组合梁截面切应力

因此无论取何种材料求界面上的切应力都是相等的。

现在分析异质界面上切应力的方向，图3(b) 所示的材料1 块体位于中性轴zc轴上方，材料1 是受压的，由于FN2>FN1，因此界面上切应力的合力dT指向dx微段右侧横截面；图3(c) 所示的材料2块体，中性轴z轴上方部分受压，下方部分受拉，但因z轴下方材料高度大于z轴上方材料高度，材料2 总体是受拉的，由于FN2>FN1，因此界面上切应力的合力dT指向dx微段左侧横截面。根据切应力互等定理，由图3(b)与图3(c)都可得到两块体右侧横截面上的切应力与y轴同向且平行，且与梁的切力方向一致。组合梁截面上的最大切应力可据式(8)计算获得。梁截面上的切应力分布见图1(e)。

3 组合梁附加分析

例：若图1 梁由3 种不同材料组合在一起，已知E2=k2E1= 1.5E1，E3=k3E1= 2E1，b，h1=h2=h，h3= 2h，求中性轴zc轴位置，分析梁的正应力与切应力。

相当截面法：将材料2 和3 均转换成材料1 后其相当宽度为

组合梁的线应变、正应力及切应力分析结果见图4(b)～图4(d)。三种材料的弯曲正应力分别为

图4 三种材料组合梁截面应变与应力

3 种材料组合梁的分析可比照本例进行。

4 结论

采用相当截面法与加权平均法对2 种材料组合梁中性轴的位置、正应力与切应力进行了分析，并对3 种材料组合梁进行了附加分析。其中加权平均法使组合梁的分析更加简化。本文的方法可用于工程中常见组合梁的分析。在组合梁的分析讨论中，可引导学生一步一步地展开分析，并且在这一过程中加深对弯曲与截面几何性质之间关系的深入理解，准确理解相关概念，为今后的工程应用打好基础。