左R-模上Riesz空间的相关性质研究

崔晓宇，周璞铉，汤建钢*，孙锐娟，王金萌，刘晓芳

（1.伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁 835000；2.伊犁师范大学应用数学研究所，新疆伊宁 835000）

0 引言

在20世纪二三十年代，F.Riesz等人分别将格序结构引入到向量空间，形成了Riesz空间的一些基础理论．由于它把具体的分析问题抽象在一种更加纯粹的代数、拓扑和序结构中进行研究，由此发展出的概念、定理和方法的应用也就更为广泛，更为深刻．文献［2］中提出Riesz空间是有代数结构的序结构．文献［6-8］中将格序结构引入到群、环中，得到了格序群、格序环，以及它们的一些基本性质．模是域上线性空间概念的推广．由于环的不一定可换，所以有了左模与右模之分．模的概念是19世纪提出来的，但到20世纪40年代才引起重视；到70年代，人们认识到模是当代最重要的代数结构之一，其重要性超过了线性空间．因此将格序结构引入到模的概念中，将Riesz空间推广到模很有必要．

本文在ℓ-群、ℓ-环和线性空间上的Riesz空间概念的基础上，引入左R-模上Riesz空间的概念，基于对具有代数结构序对象Riesz空间及其性质的研究，讨论了左R-模上Riesz空间的相关性质，进一步研究了序理想、带和投影．

1 预备知识

定义1.1设(L,≤)是非空偏序集.若对任意a,b∈L,a∧b,a∨b都存在，则称偏序集(L,≤)是一个格，也记作(L,∧,∨),简称ℓ-格.

定义1.2设(G,+)是一个Abelian群，≤是群G上的一个偏序关系，满足∀a,b,c∈G,a≤b⇒a+c≤b+c，则称(G,+,≤)是一个Abelian偏序群．

定义1.3设(G,+,≤)是一个Abelian偏序群，如果偏序集(G,≤)是一个格，则称(G,+,≤)是一个Abelian格序群，简称为Abelianℓ-群．

定义1.4设(R,+,·)是一个具单位元的环，≤是环R上的一个偏序关系，满足∀r,s,t∈R,(1)r≤s⇒t+r≤t+s，(2)0≤r,0≤s⇒0≤rs，则称(R,+,·,≤)是一个偏序环．

注1.1：记R+={r∈R|r≥0}，则定义1.4中的条件(2)等价于R+R+⊆R+．

定义1.5设(R,+,·,≤)是一个偏序环，如果偏序集(R,≤)是一个格，则称(R,+,·,≤)是一个格序环，简称为ℓ-环．

定义1.6设M为左R-模，(R,+,·,≤)是具单位元的偏序环，(M,+,≤)是Abelian偏序群.满足∀m,n,p∈M,∀r∈R(r≥0)，都有m≤n，则m+p≤n+p,rm≤rn，则称(M,+,≤)为左R-模上的偏序模，简称为po-模．

注1.2：记M+={m∈M|m≥0}，则定义1.6中的条件对∀m,n∈M,∀r∈R(r≥0)，若m≤n，r≥0，则rm≤rn等价于条件∀m∈M,∀r∈R，若m≥0,r≥0，则等价于条件R+M+⊆M+.

定义1.7设(M,+,≤)为左R-模上的偏序模，如果(R,+,·,≤)是具单位元的ℓ-环，(M,+,≤)是Abelianℓ-群，则称(M,+,≤)是左R-模上Riesz空间，也称为格序左R-模，简称为ℓ-R-模．

2 基本性质

定理2.1设(M,+,≤)是左R-模上Riesz空间，则有以下性质：

（1）∀m,n∈M,若m≤n,则0≥m-n,-m≥-n；

（2）∀m,n∈M,若0≤m,0≤n,则0≤m+n；

（3）∀mλ∈M(λ∈Γ),若n=sup{-mλ}存在，则-n=inf{mλ}也存在；

（4）∀n∈M,n+sup{mλ}=sup{n+mλ};∀r≥0,rsup{mλ}=sup{rmλ};∀r≥0,rinf{mλ}=rsup{rmλ},这里r∈R；

（5）∀m,n,p∈M,m∧n=-[(-m)∨(-n)],p+[(m-p)∨0]=m∨p,(m∨n)+(m∧n)=m+n．

证明：（1）（2）显然成立．

（3）因为n=sup{-mλ}存在，可知对∀λ∈Γ,有n≥-mλ或-n≤mλ,-n是下确界.假设p∈M使得对∀λ∈Γ，有p≤mλ,p是{mλ}的一个下界，那么对∀λ∈Γ,有-mλ≤-p.于是sup{-mλ}≤-p,即n≤-p,则p≤-n.因此-n=inf{mλ}存在．

（4）首先我们证明sup{n+mλ}存在.如果p=sup{mλ}，那么对∀λ∈Γ，有n+p≥n+mλ.如果u是{n+mλ}的另一个上界，那么对∀λ，有u-n≥mλ.从而可以推得u-n≥sup{mλ}，即u-n≥p.于是u≥n+p.因此n+p是{n+mλ}的最小上界.由此可得n+p=n+sup{mλ}=sup{n+mλ}.同理可证，∀r≥0,rsup{mλ}=sup{rmλ}；∀r≥0,rsup{mλ}=inf{rmλ}，这里r∈R．

（5）利用∀m,n,p∈M,m∧n=-[(-m)∨(-n)],p+[(m-p)∨0]=m∨p显然成立.一方面可得，(m∨n)+[(-n)∨(-m)]=(m+n+(-n))∨(m+n+(-m))=m∨n；另一方面可得，(m∨n)+[(-n)∨(-m)]=(m+n)-(m∧n).因此，(m∨n)+(m∧n)=m+n．

设(M,+,≤)是左R-模上Riesz空间，对m∈M，若m≥0，称m是一个正元素，m≤0，称m是一个负元素.自然地定义m的正部分是m+=m∨0，m的负部分是m-=(-m)∨0，M的绝对值是|m|=m++m-.从而可以写成两个正元素的减法形式m=m+-m-，此时-|m|≤m≤|m|.

左R-模上Riesz空间里的正负元素及元素的绝对值具有如下性质：

定理2.2（1）∀n,p∈M,n,p≥0,如果m=n-p,那么m+≤n和m-≤p；

（2）∀m,n∈M,(m+n)+=m++n+,(m+n)-=m-+n-；

（3）对于∀r∈R,m,n∈M,|m+n|≤|m|+|n|,|rm|=|r||m|；

（4）∀r≥0,(rm)+=rm+,(rm)-=rm-;∀r≤0,(rm)-=-rm-,(rm)-=-rm+,这里r∈R.

证明：（1）由m=n-p可得，n=m+p≥m.一方面，n=n∨0≥m∨0=m+.另一方面，p=n-m≥-m.因此p=p∨0≥(-m)∨0=m-.

（2）显然地，m+≥m和n+≥n，于是m++n+≥m+n.因此m++n+=(m++n+)∨0≥(m+n)∨0=(m+n)+.再用-m,-n分别代替m,n，可以得到(-m)++(-n)+=[(-m)∨0]+[(-n)∨0]=m-+n-≥(-m-n)+=[-(m+n)]∨0=(m+n)-．

（3）∀m,n∈M,|m+n|≤(m+n)++(m+n)-≤m++n++m-+n-=|m|+|n|．

定理2.3∀mλ∈M(λ∈Γ),如果n=sup{mλ}存在，那么

（1）m+=sup{mλ+},m-=sup{mλ-}；

（2）∀n∈M,n∧sup{mλ}=sup{n∧mλ},n∨inf{mλ}=inf{n∨mλ}.

证明：（1）先证明m-=sup{mλ-}：因为m≥mλ，对于∀λ，有m-≤m+.于是，m-是{mλ-}的一个下界.如果n是{mλ-}的另一个下界，那么n≤mλ-，并且对于∀λ，有mλ+-n≥mλ+-mλ-=mλ.可以推出sup{mλ+-n}≥sup{mλ}=m，并且sup{mλ+-n}=sup{mλ+}-n=m+-n，于是m+-n≥m.因此m+-m≥n，可得m-≥n.即证明了m-是{mλ-}的下确界.m+=sup{mλ+}同理可证．

（2）先证明n∧sup{mλ}=sup{n∧mλ}：对于∀n∈M，由定理2.1，2.2可得，m-n=sup{mλ}-n=sup{mλ-n};(m-n)-=inf{(mλ-n)-}.可以推出-(m-n)-=-sup{-(mλ-n-)}=sup{-(-(mλ-n)∨0)}，这等价于-(-(m-n)∨0)=sup{-(-(mλ-n)∨0)}.现在我们对此等式两边添加-n可得，-(-m∨-n)=sup{-((-mλ)∨-n)}.故对于∀n∈M，有n∧sup{mλ}={n∧mλ}.再证明n∨inf{mλ}=inf{n∨mλ}：设m=inf{mλ}，由定理2.1（3）（5）知，-m=-inf{mλ}=sup{-mλ};-n∧-m=sup{(-n)∧(-mλ)}.两边同时取负可得n∨m=n∨inf{mλ}=inf{n∨mλ}．

引理2.1设(L,∧,∨)是一个格，如果对任意x,y∈A,有x∧y∈A和x∨y∈A，可知对任意m,n,p∈M，满足分配律，n∧(m∨p)=(n∧m)∨(n∧p),n∨(m∧p)=(n∨m)∧(n∨p)，故ℓ-格是分配格.

定义2.1对于左R-模上Riesz空间中任意的元素m,n,如果|m|∧|n|=0.则称这两个元素是正交的，记作m⊥n.对于子集E,F⊆M，如果∀m∈E,∀n∈F,m⊥n，则称这两个子集是正交的，记作E⊥F．

如果m∈M,m的绝对值与自身是正交的，即|m|⊥m,那么|m|=|m|∧|m|=0.而|m|=m++m-，所以都是0，于是m=m++m-=0，这说明M里与自身正交的元素只有零元.同时，左R-模上Riesz空间中元素的正部分和负部分是正交的，即∀m∈M，m+⊥m-.左R-模上Riesz空间的元素如果可以表示成m=n-p，其中n,p≥0，如果n∧p=0，那么n=m+，p=m-.

定理2.4左R-模上Riesz空间(M,+,≤)中的“二重”分解定理：

（1）∀m∈M,m=n+p，其中n,p≥0；

（2）∀m∈M,如果m=n+p,m=m1+m2+…+mn，并且∀i=1,2,…,n，有mi=ni+pi，那么n=n1+

n2+…+nn,p=p1+p2+…+pn.

证明：用归纳法证明.假设n=2时，结论成立，即满足（1）m=n+p，这里n,p≥0；（2）m=m1+m2．

下证mi=ni+pi，ni≥0，pi≥0，这里i=1,2，并且n=n1+n2，p=p1+p2；令n2=m2∧n，那么有n2≥0，m1=m-m2≥(n-m2)∨0=n+[(-m2)∨(-n)]=n-(m2∧n)=n-n2≥0.现在令n1=n-n2，p1=m1-n1≥0.因此m1=n1+p1.于是有m2=n2+p2．

假设对于i=n时，定理成立.下证i=n+1时，定理成立：令m'=m1+m2+…+mn，那么m=m'+mn+1=n+p．由前边的证明，有m'=n'+p'，mn+1=n''+p''，n=n'+n''，p=p'+p''，这里n',n'',p',p''≥0，从而m'=m1+m2+…+mn=n'+p'.已知mi=ni+pi，ni≥0，pi≥0，这里i=1,2,…,n，而n'=n1+n2+…+nn，p'=p1+p2+…+pn.因此，如果m=m1+m2+…+mn+mn+1=m+n，那么m=m'+mn+1=n'+p'+n''+p''=(n'+n'')+(p'+p'')=n+p，这里n=n'+n''=n1+n2+…+nn+n''，p=p'+p''=p1+p2+…+pn+p''即证．

定理2.5设(M,+,≤)是左R-模上Riesz空间，则

（1）∀m,n,p∈M,m,n,p≥0时，m∧(n+p)≤(m∧n)+(m∧p)；

（2）∀i=1,2,…,n,mi≥0,mi⊥mj时，m1+m2+…+mn=m1∨m2∨…∨mn；

（3）当m⊥n时，(m+n)+=m++n+,(m+n)-=m-+n-,|m+n|=|m|+|n|；

（4）∀mλ≥0(λ∈Γ)，∀n∈M，mλ⊥n，如果m=sup{mλ}或m=inf{mλ}，那么m⊥n．

证明：（1）令u=m∧(n+p)，那么0≤u≤(n+p).应用定理2.4，令m1=u和m2=(n+p)-u=(n+p)-m1.从而m1+m2=n+p，我们可以表示m1=u=v+w，这里0≤v≤n和0≤w≤p，也有0≤v≤u≤m，0≤w≤u≤m.因此，有0≤v≤m∧n和0≤w≤m∧p.于是，有0≤v+w≤(m∧n)+(m∧p).故0≤u≤(m∧n)+(m∧p)，即m∧(n+p)≤(m∧n)+(m∧p)．

（2）用归纳法证明.当n=2时，m1+m2=m1∨m2+(m1∧m2)=m1∨m2+0=m1∨m2.假设对于i=n，结论成立，即m1+m2+…+mn=m1∨m2∨…∨mn，那么对于i=n+1，我们要证m1+m2+…+mn+mn+1=m1∨m2∨…∨mn∨mn+1.令m=m1+m2+…+mn，则有m⊥mn+1.因此m+mn+1=m∨mn+1，即m1+m2+…+mn+mn+1=m1∨m2∨…∨mn∨mn+1.从而有m1+m2+…+mn=m1∨m2∨…∨mn．

（3）因为|m|∧|n|=0，则有m+∧n+=0和m+∧n-=m-∧n+=0，从而有(m++n+)⊥(m-+n-).又由于m+n=(m+n)+-(m-n)-且m+n=m+-m-+n+-n-=(m+n)+-(m+n)-.故有(m+n)+=m++n+和(m+n)-=m-+n-．

（4）如果m=sup{mλ}，那么m-m1≥0.由定理2.1的(4)和定理2.2的(4)得，0≤m-m1=sup{mλ-m1}，那么0≤m-m1=sup{(mλ-m1)+}，从而对于∀λ，有n⊥(mλ-m1)．因此，有n⊥(m-m1).又由于n⊥m1，从而有n⊥m．

3 序理想、带、投影

定义3.1设(M,+,≤)是一个左R-模上Riesz空间，(N,+)是(M,+)的子模，如果(N,≤)是(M,+)的一个子格，并且R+N+⊆N+,则称(N,+,≤)是(M,+,≤)的一个子ℓ-R-模．

定义3.2设(M,+,≤)是一个左R-模上Riesz空间，N是(M,+,≤)的子模，如果N满足正规性条件，即∀m∈M,∀n∈N,若|m|≤|n|时，则m∈N,称(N,+,≤)是(M,+,≤)的一个（序）理想．

注3.1当p≤|n|,n∈N时，则p∈N一般不成立．

注3.2因为N是理想，当n∈N时，有|n|∈N.进而知，当n∈N时，有0≤n+≤|n|,所以n+∈N.同理n-∈N.

定理3.1设(M,+,≤)是一个左R-模上Riesz空间，则M里每一个序理想N也是M的子格．

证明：令m,n∈N,想证明m∨n∈N,m∧n∈N，令p=m∨n，那么有p+=m+∨n+和p-=m-∨n-，并且|p|=p++p-=(m+∨n+)+(m-∧n-)≤m++n++m-+n-=|m|+|n|.因为N是一个子模并且|m|∈N，|n|∈N，因此|m|+|n|∈N.由理想的定义，有p∈N.

如果令l=m∧n，那么-l=(-m)∨(-n).因为-m∈N,-n∈N，所以有-l∈N.因此l∈N，那么N是M的一个子格．

定理3.2设N是左R-模上Riesz空间(M,+,≤)的一个子模，如果N+是M的理想，那么N是(M,+,≤)的一个子ℓ-R-模．

证明：∀r∈R,n∈N,则rn∈N,即RN⊆N.所以R+N+⊆N+.

定理3.3设(M,+,≤)是一个左R-模上Riesz空间，如果mλ∈M，其中λ∈Γ,Γ是指标集，且存在m=sup{mλ∈M}∈N,那么m也是M的上确界．

证明：令n∈M使得∀λ,有n≥m（λ注意我们不能知道n≥m!或m≥n）．定义p=m∧n．那么m≥p，并且∀λ,有p≥mλ.因此m≥p≥mλ，有m+≥p+和m-λ≥p-，因此易得|m|+|mλ|≥|p|.现有|m|+|mλ|∈N，因此p∈N.又因为∀λ,有p≥mλ，所以p≥m.因此m=p.这意味着n≥m⇒m也是M里的{mλ}的上确界．

定义3.3设N是左R-模上Riesz空间(M,+,≤)的一个理想，如果M中任意一族元素的集合{mλ|λ∈Γ}，Γ是指标，在M中存在上确界(或下确界）m，那么m=sup{mλ}∈N(或inf{mλ}∈N),则称N是ℓ-R-模(M,+,≤)的一个带．

定理3.4设N是左R-模上Riesz空间(M,+,≤)的子模，N的正交补N⊥是一个带．

注3.3由于N⊥⊥是包含N的最小的带，所以可称N⊥⊥是由N生成的带.特别地，令p∈M,{p}⊥⊥是一个带，并且p∈{p}⊥⊥，称带{p}⊥⊥是由元素p生成的带，记作Mp.

注3.4设N1,N2是M的子模，且N1是一个带时，有N1=N1⊥⊥.当N1⊥N2时，N1⊥⊥⊥N2⊥⊥.

定义3.4设(M,+,≤)是左R-模上Riesz空间，N是(M,+,≤)的一个带，如果有0≤m∈M，那么N中的一个小于等于m的最大元素，称为m在带N上的投影，记作PrNm，即PrNm=sup{n∈N|n≤m}∈N.对于∀m∈M，我们定义PrNm=PrNm++PrNm-.

定理3.5设PrNm是带N上的m的投影，则有以下性质：

（1）对于0≤m∈M,0≤PrNm≤m；

（2）对于∀m∈M,|PrNm|=PrNm++PrNm-≤|m|；

（3）∀m∈M,m=PrNm+PrN⊥m.

证明：（1）显然成立．

（2）由（1）得，0≤PrNm+≤m+,0≤PrNm-≤m-，并且m++m-=0，有PrNm+∧PrNm-=0,则有|PrNm|=PrNm++PrNm-≤m++m-=|m|．

（3）假设m≥0，由定理3.4可知N⊥是一个带，PrNm，PrN⊥m都存在.令n=PrNm，那么n∈N并且m≥n≥0.令z=m-n≥0.我们要证z⊥N，因此z∈N⊥.假设w∈N和p=z∧|w|，那么z≥p≥0和|w|≥p≥0.因为N是一个带，有p∈N.因此n+p∈N和0≤n+p≤n+z=m.但n是(＜m)在N里的最大的元素，因此n+p≤n⇒p≤0.因此0=p=z∧|w|.即证明了z直交于N里的每一个元素w.因此z∈N⊥．

紧接着我们证z=PrN⊥m.现在证明z是N⊥里的最大的小于m的元素.假设t∈N⊥和0≤t≤m.现有t⊥n，故t=t∧m≤t∧(n+z)≤(t∧n)+(t∧z)≤0+(t∧z)≤z，即证z是N⊥里的最大的小于m的元素.因此z=PrN⊥m.因此m=n+z=PrNm+PrN⊥m.

定义3.5设1是左R-模上Riesz空间(M,+,≤)的一个正元素，如果∀m∈M，且m∧1≥0，则称1为左R-模上Riesz空间的一个单位．

定理3.6设N是(M,+,≤)的一个带，则有如下性质：

（1）u=PrN1是N里的一个单位；

（2）u=supλ{1∧λu},λ是自然数；

（3）∀m∈M,PrNm=supλ{m∧λu},λ是自然数．

证明：（1）根据投影的定义，知u=PrN1是比1小的且在N里最大的元素.现在证明u也是N里的一个单位.令0≤p∈N，定义n=p∧1＞0，那么0＜n≤1且0＜n≤p.因此n∈N.这意味着0＜n≤u和0＜n=n∧p≤u∧p，即证u=PrN1是N里的一个单位．

（2）因为u∈N和λu∈N，于是对∀λ,1∧λu∈N,显然supλ{1∧λu}≤1.由ProjN1的定义知，supλ{1∧λu}≤u.令0＜n∈N，使得0＜n≤1．又因u是N的一个单位，有n=supλ{n∧λu}≤supλ{1∧λu}.因此supλ{1∧λu}是小于1的N里的最大的元素，由此得出u=PrN1=supλ{1∧λu}．

（3）类似地可证∀m∈M,PrNm=supλ{1∧λu}.

定理3.7设N是左R-模上Riesz空间(M,+,≤)的一个带，则每一个带N都是由投影PrN1生成的，即u=PrN1，那么N=Nu．

证明：因为{u}⊆N，有{u}⊥⊇N⊥，需要证明{u}⊥=N⊥，令m∈{u}⊥，那么|m|∧u=0.现要证m∈N⊥．如果存在一些元素n∈N，使得p=|m|∧|n|＞0，那么|n|≥p≥0.因为N是一个理想，所以p∈N．又u是N的一个单位，那么0≤p∧u=|m|∧|n|∧u=|m|∧u∧|n|=0∧|n|=0，这是矛盾的.因此，对于n∈N有|m|∧|n|=0.于是对于m∈N⊥，有{u}⊥=N⊥，进而{u}⊥⊥=N⊥⊥.因为N是一个带，由定理3.4知，N=N⊥⊥，因此N={u}⊥⊥=Nu．

定义3.6设(M,+,≤)是一个左R-模上Riesz空间，如果e∈M，有e∧(1-e)=0，则称e为单位1的一个分支．

注3.5单位1的所有分支构成的集合，称为Riesz空间的基底，记做B(M)．

定理3.8设N是左R-模上Riesz空间(M,+,≤)的一个带，则u=PrN1是一个分支，即u=PrN1∈B(M).反之，任意一个分支都是单位1在某个带上的投影．

证明：令u=PrN1，m=1，n=u，那么对∀n1∈N,p=m-n=(1-u)⊥，因为u∈N，所以(1-u)⊥u或(1-u)∧u=0.因此u=PrN1∈B(M).反之，令e∈B(M)，有1=e+(1-e)和e∧(1-e)=0，所以{e}⊥是一个带，{e}⊥={e}⊥⊥⊥.考虑Ne={e}⊥⊥，因为e∈{e}⊥⊥,1-e∈{e}⊥={e}⊥⊥⊥，{e}⊥⊥和{e}⊥⊥⊥是两个正交集.令0≤n1≤1，令n1∈{e}⊥⊥，有n1=n1∧1=n1∧(e+(1-e))≤(n1∧e)+(n1∧(1-e))=n1∧e+0=n1∧e≤e≤1，即证e是{e}⊥⊥中小于1的最大的元素．因此e=PrN e1．

令N1-e={1-e}⊥⊥，知1-e是N1-e里小于1的最大元素，则1-e=PrN1-e1.从而得到1=PrN e1+PrN1-e1．