收发分置雷达圆周栅栏覆盖的优化布站方法

李海鹏, 冯大政, 周永伟, 董普靠, 张 军

(1. 西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室, 陕西 西安 710071; 2. 西安电子工程研究所, 陕西 西安 710100)

0 引 言

在无线传感器网络(wireless sensor networks,WSNs)中栅栏覆盖已广泛应用于区域监控、国防安全等领域,为了能够检测到以任意路径入侵的目标,需要利用传感器的覆盖区域构成一个连续的栅栏覆盖。随着雷达技术的发展,基于收发分置雷达的WSNs引起了广泛关注。相比于发射器和接收器共置的单基地雷达,收发分置雷达是由空间上分开的多个发射器和接收器组成的雷达系统,其具有抗干扰能力强、抗反辐射导弹能力强、反隐身能力强、反低空突防能力强等优点。因此,收发分置雷达传感器在工程上、性能上和成本上相比于单基地雷达具有明显的优势。对于领海、无人区、污染区等区域的内部,由于人员和设备不易到达或者环境不适合工作,因此需要在这些区域边界上构建栅栏覆盖,对于具有不规则边界的区域,用其最小外接圆代替其自身边界,在外接圆边界上利用雷达构建圆周栅栏覆盖,用以检测以任意路径通过区域的目标。文献[23]针对监控区域内随机分布的多个静态目标优化传感器布站位置,以使用尽可能少的传感器在目标周围构建环形栅栏覆盖,但是当目标移动后传感器构成的栅栏不能包围该目标,因此该方法不适用于覆盖区域内的动态目标。文献[24-25]将布站总成本最小作为优化准则,分别针对多层和单层圆周的情况,采用收发分置雷达构建圆周栅栏覆盖。并且均先采用尽可能多的同构布站模式构建覆盖区域,仅在最后剩余未覆盖区域部署一个异构模式,这样的解一般只是局部最优解,而非全局最优解;同时采用穷举算法求解优化问题以及确定最优布站中发射器和接收器的个数与位置,并未给出如何确定部署模式中接收器个数上限阈值的方法,而从本文仿真实验可知,当圆周半径与探测阈值比较大时,穷举法的搜索范围很大,导致算法计算量大幅增加。

鉴于已有方法的不足,针对收发分置雷达圆周栅栏覆盖的优化布站问题,本文首先在理论证明的基础上,建立该问题的优化数学模型,进而给出一种计算量更小、优化结果更好的求解算法。最后通过仿真结果验证了本文方法的有效性。

1 基本概念与记号

由1个发射器和若干个接收器(=1,2,…,)组成的收发分置雷达记为=(,,,…,),这种类型的收发分置雷达可以看成由多组双基地雷达构成,即双基地雷达是其基本单元。因此，单发多收的收发分置雷达的覆盖区域是多组双基地雷达覆盖区域的组合。如图1所示,对于其中一组双基地雷达,位于点的目标到发射器和接收器的斜距分别记作()和(),简记为和,为双基地雷达的基线,矩形代表发射器,圆代表接收器,星形代表目标。

图1 收发分置雷达几何结构Fig.1 Geometry configuration of bistatic radar

由相干脉冲雷达的基本雷达方程可得双基地雷达的最大距离积,即

(1)

式中:是在干扰和杂波的环境中,接收器天线接收机的灵敏度,即最小的信干噪比(signal to interference plus noise ratio,SINR);表示发射机的平均功率;表示相干积累时间;()表示个脉冲的累积效率;和分别表示发射天线和接收天线的增益;表示信号波长;表示目标的雷达散射截面积;和分别表示发射方向图传播因子和接收方向图传播因子;是玻尔兹曼常数,=138eJ/K;表示系统噪声温度;表示系统损耗。

图2 不同参数下双基地雷达的覆盖区域Fig.2 Coverage area of bistatic radar under different parameters

将待覆盖区域的边界用其最小外接圆替代,并把收发分置雷达的发射器和接收器都部署在圆周上,同时假定在圆周上不存在信号遮挡,若外接圆半径为,以圆心为原点建立直角坐标系，如图3所示。

图3 收发分置雷达圆周栅栏覆盖布站Fig.3 Placement of btistatic radar for perimeter barrier coverage

由于在圆周上要部署多组收发分置雷达,因此在本文中,假设所有的发射器均以相互正交的频率来发射工作信号,接收器通过改变工作频率来与不同的发射器进行匹配,即接收器只处理与其配对使用的发射器的信号,避免了其他发射器的影响。当目标位于点时,其相对各双基地雷达的空间位置不一样,因此各双基地雷达接收的SINR也不会都一样。用能获得的最大SINR来衡量收发分置雷达对点目标的覆盖能力。记该最大SINR为(),则

(2)

由于目标检测概率是SINR和虚警概率的函数,因此本文假设在给定恒虚警概率和所需检测概率的情况下,若SINR()≥,则目标就处于收发分置雷达的覆盖范围内;反之,目标在雷达覆盖区域以外。

又由式(1)可知,SINR与距离积成反比,因此定义目标易损性为

(3)

易损性反映了目标对雷达系统探测的敏感程度,目标易损性越大,目标越早处于雷达覆盖区域内,越容易受到损失。

为了便于说明,做以下定义。

图4 布站模式Fn覆盖角Fig.4 Coverage angle of placement pattern Fn

本文研究的问题为:在给定的圆周上如何部署发射器及接收器,构建圆周栅栏覆盖,即覆盖序列中需要多少个发射器与接收器,其位置如何放置,并使得总布站成本最小。

2 基础理论与优化模型

2.1 基础理论

由文献[25]可知,模式中相邻节点的站点覆盖角如下。

(1) 若为奇数,则=+1=,==,…,(+1)2=(+3)2=(+1)2;

(2) 若为偶数,则=+1=,==,…,2=2+2=2,…,2+1=2+1。

(4)

式中:=。

模式覆盖角()计算公式为

(5)

由式(5)可知,在模式中使用的接收器数量越多,则模式的覆盖角越大。但是通过引理1可知,随着接收器数量增加,覆盖角增加的幅度在减小,即效费比在减小。

证毕

设为自然数,且≤4,那么,

(6)

当=1时,式(6)显然成立。假设当=-1时式(6)成立,即

而当=时,

由归纳假设,有:

因此可得

进一步由式(5)和式(6)可知:

模式的覆盖圆心角为

证毕

(1) 若+=2,为偶数,则()+()≤2()当且仅当,均为偶数且=,或,均为奇数,且|-|=2时等式成立。

(2) 若+=2,为奇数,则()+()≤2()当且仅当=时等式成立。

(3) 若+=2+1,则()+()≤()+(+1)当且仅当|-|=1时等式成立。

(1) 不妨设=-,=+,先证明,为偶数,此时为偶数,于是由式(5)有：

于是有:

(7)

由式(7)及序列{}的递减性可知,()+()≤2(),且当且仅当=0,即=时等式成立。

再证明,均为奇数,此时为奇数,类似地推导有:

(8)

由式(8)有()+(,)≤2(),当且仅当=1,即=-1,=+1时等式成立。

(2) 同样不妨设=-,=+,先证明,为偶数,此时为奇数,于是,由式(5)有:

(9)

由式(9)可知,()+()<2()。

再证明,均为奇数,此时为偶数,类似地推导有:

(10)

由式(10)有()+()≤2(),当且仅当=0,即=时等式成立。

(3)+=2+1,不妨设,=+,=+1-,为奇数,为偶数。首先证明若为奇数,此时,为奇数,于是由式(5)有：

于是有:

()+()=()+(+1)-

(11)

由式(11)可知，()+()≤()+(+1),当且仅当=1,即=+1,=时,等式成立。

下面再证明若为偶数,此时,为偶数,同理可得

于是有：

()+()=()+(+1)-

(12)

由式(12)可知,()+()≤()+(+1),当且仅当=0,即=,=+1时,等式成立。

证毕

由引理3(1)易得(2+1)+(2-1)=2(2),这表明用两个模式2-1与2+1覆盖的和可用两个相同的模式2等量替代。

由引理3(2)易得(2)+(2+2)<2(2+1),这表明模式2与2+2的覆盖和不可用两个相同的模式2+1等量替代。

2.2 优化模型与算法

由引理3可知圆周上的最优覆盖序列中最多只有两种覆盖模式,且这两种覆盖模式中接收器的个数相差为1,即最优圆周覆盖序列是由个模式与个+1模式构成。于是最优布站问题转化为如下数学模型：

(13)

且∈,为自然数。式(13)是一个含有3个变量的非线性整数规划问题,直接求解难度较大,且考虑到变量的可行解取值范围一般较大(特别是在实际问题中),且变量的最优解往往取值较小,因此采用如下算法。

首先,对{|≤4}进行循环。即对给定的自然数≤4,考虑如下子优化问题:

(14)

但是,以上算法中(≤4)的循环范围往往很大,比如圆周半径=40,=2时,=1 600。

为了缩小循环范围,减少计算开销及计算量,为此,给出引理4如下。

(15)

即有:

证毕

(16)

由引理2可知，接收器上限确定方法可以由下式确定:

=4-1

(17)

将式(16)和式(17)确定模式中接收器上限的方法分别称之为“方法2”与“方法1”。下面给出不同实验条件下的仿真结果:已知=2,=30,圆周半径变化;已知=2,=40,而发射器与接收器费用比变化;以及已知=50,=50,探测阈值变化时的仿真结果,结果分别如图5～图7所示。

图5 接收器数量上限随半径变化情况(α=30,Lmax=2)Fig.5 Variation of upper limit of receiver number with radius (α=30,Lmax=2)

图6 接收器数量上限随费用比变化情况(r=40,Lmax=2)Fig.6 Variation of upper limit of receiver number with cost ratio (r=40,Lmax=2)

图7 接收器数量上限随探测阈值变化情况(α=50,r=50)Fig.7 Variation of upper limit of receiver number with detection threshold (α=50,r=50)

由图5～图7可以看出,由方法2确定的上限要远远小于方法1确定的上限,由此也就显著减小了计算开销。

根据以上分析,下面给出圆周栅栏覆盖最优布站算法。

探测阈值,发射器与接收器成本之比,圆周半径。

输入,,,计算=,并由公式(16)计算布站模式中接收器个数上限。初始化集合=∅。

for=1:

对求解子优化问题式(14),该问题是含有两个变量的整数线性规划问题,直接求解得到局部最优圆周覆盖模式,+1及对应的个数,。

=∪{(+)+(+1+)}

end for

3 仿真实验

本节通过仿真实验比较本文所提方法与文献[25]方法的优化结果,实验的基本条件同文献[25],其他参数假设为:探测阈值=2 km,发射器与接收器费用之比分别为5,10,20,50。定义两种优化方法所得布站参数的变化率为

(18)

图8 不同费用比下部署成本变化率Fig.8 Change rate of deployment cost under different cost ratios

图9 不同费用比下发射器改变量Fig.9 Variation of transmitter number under different cost ratios

图10 不同费用比下接收器改变量Fig.10 Variation of receiver number under different cost ratios

由图8可知,在大多数情况下,成本变化率大于零,这说明本文方法的部署成本通常小于文献[25]方法的优化结果。特别地,当较小时,比如分别为5和10时本文方法有较明显的优势,这是因为本文方法与文献[25]相比采用了多种布站模式,进一步优化了布站的效费比。本文实际讨论的是单层圆周栅栏覆盖,当采用多重圆周覆盖时,成本降低优势会更加明显。

值得注意的是，当较大时,比如=50,优化结果的提升不如较小时明显。其原因是为了减少布站成本,应尽可能多用低成本的接收器而少用发射器,所以当=50时布站序列的长度较小,如图11所示,同时布站模式的长度较大,导致布站模式中接收器的平均费效比较小。比如=50,=33时,两种方法均用了5个布站模式,其中本文方法用了3个模式及2个模式,即最优的覆盖序列是{,,,,};文献[25]方法使用了4个模式及1个模式,不管哪种方法每个模式中接收器的个数均多达50多个,而由引理3可知,覆盖序列{,,,,}不是最优布站方式,由于模式中接收器个数较多(50以上),从而接收器的平均费效比较小,加之模式个数又少(仅有5个),因此改变最优覆盖序列中部分布站模式的接收器数量也能达到覆盖圆周的要求。实际上,布站序列{,,,,}的覆盖角为36032°,而最优覆盖序列{,,,,}覆盖角为360329 1°。当=33,=5时,本文方法共使用了18个布站模式,其中使用15个模式及3个模式,而文献[25]中的方法共使用了19个模式,其中18个模式及1个模式,每个模式中接收器的个数最多4个。此时,模式中接收器的平均效费比较大,改变最优覆盖序列中部分布站模式的接收器数量就不能达到覆盖圆周的要求了。

由图9和图10可知,本文方法与文献[25]方法相比:使用的发射器更多,使用的接收器更少,当较小时情况更明显。由前文分析可知，这样做可以提高接收器的效费比。

图11 不同费用比下最优布站覆盖序列长度Fig.11 Optimal coverage sequence length under different cost ratios

下面给出了最优覆盖序列中发射器、接收器及总成本随发射器与接收器成本之比的变化情况,如图12～图14所示。

图12 发射器数量随α变化图(r=30)Fig.12 Variation of transmitter number with α(r=30)

图13 接收器数量随α变化图(r=30)Fig.13 Variation of receiver number with α(r=30)

图14 布站成本随α变化图(r=30)Fig.14 Variation of placement cost with α (r=30)

从图12～图14可以看出,在圆周半径不变的条件下,随着的增大,布站所需的发射器数量与接收器数量在较小时(2～20)变化快,周期短;而在较大时(20～50),相应的变化慢,周期长;布站成本也随之增加。其根本的原因是:越大,布站模式的长度就越大,覆盖序列的长度越小,导致平均效费比降低,换而言之,接收器的效用变低。因此,要减少布站成本,需要尽可能地降低发射器的成本,使之与接收器的成本接近。

4 结束语

本文首先从理论上证明了收发分置雷达圆周栅栏覆盖序列中,最优覆盖序列应具备的条件。接着通过最小化布站成本,优化发射器与接收器的数量和位置。并提出最优覆盖序列中接收器数量的取值上限,缩小算法的取值范围,减少算法计算开销。由于本文针对单条圆周栅栏覆盖进行优化,在圆周上会存在栅栏宽度很小的点,当目标快速穿越这些点时,就有检测不到的风险,因此,在实际应用中往往采用多条圆周栅栏覆盖。这种情况下,相比已有文献,本文优化方法的优势会更加显著。

本文假设目标处于雷达覆盖范围时检测概率为1,实际中检测概率是SINR和虚警概率的函数,因此将检测概率作为影响优化的一个因素是今后研究的一个重要方向。