静电场对冷冻食品冰晶生长影响的相场法模拟

甄 仌

苏格毅

张 雪

孙惠蕾

(哈尔滨商业大学能源与建筑工程学院，黑龙江 哈尔滨 150028)

冷冻猪肉等食品具有易贮藏、易运输、高安全性的优势，行业在快速发展中得到了多数人的认可[1]。在冷冻过程中，冰晶多位于组织细胞外且连成片[2]，大冰晶的形成会损伤肌肉组织，造成汁液的流失，而汁液流失率越大，冷冻食品容貌及品质越差。为控制大冰晶的形成，在食品冷冻过程中辅助静电场的技术成为了研究热点之一[3]。

Orlowska等[4]发现在一定过冷度下，随着电场强度的增大，冰晶初始成核时的温度升高，并指出通过静电场控制晶核的形成是一个可行的方法。Xanthakis等[5]研究了静电场对猪里脊肉冷冻的影响，发现在静电场冷冻情况下，猪里脊肉形成的冰晶尺寸显著减小。李侠等[6]发现使用静电场辅助牛肉的冻结—解冻，与自然冻结—解冻相比，在冻结过程中生长的冰晶体积小，均匀分布在肌肉组织内，对肌肉组织损伤小，改善了解冻牛肉的品质。魏国平等[7]发现猪肉置于静电场环境下冻结解冻可提高猪肉品质。以上研究均以试验为主，未从微观数值模拟的角度分析静电场对冰晶的影响。

相场法凭借其避免复杂界面追踪的优点，被广泛用于研究微观组织模拟[8-9]。Kobayashi[10]数值求解了各向异性条件下的二维相场模型，得到了过冷纯金属凝固的二维复杂枝晶生长形貌。Wheeler等[11]对相场模型进行了渐近分析，再现了界面厚度逐渐消失的经典自由边界问题，并提出了WBM模型，定量模拟了纯镍枝晶的形成。Karma等[12]对尖锐界面模型进行了薄界面厚度限制条件下的渐进分析，提出了界面厚度可大于毛细长度的思想，将尖锐界面模型与相场模型联系在一起。Kim等[13]建立了可用于合金模拟的相场模型(KKS模型)，并消除了WBM模型中界面厚度限制。龙文元等[14]模拟了三元合金凝固过程中的界面形貌，得到了二次甚至高次枝晶臂的复杂枝晶形貌。

近年来，国内学者开始将相场模型运用到冰晶生长，并得到了良好的发展。陈梅英等[15-17]利用相场法模拟了纯水、糖水中的冰晶生长，探讨了过冷度、过冷时间以及各向异性强度对冷冻浓缩过程冰晶生长的影响。杨燕等[18]对食品速冻保鲜过程中冰晶的生长进行了相场模拟，探讨了冷冻时间步长对尖端生长速率和曲率半径的影响。韩端锋等[19-20]通过运用Wheeler相场模型模拟了海水六角冰晶的生长，揭示了冰晶形成机理。白旭等[21]基于Wheeler相场模型，使用有限差分法对不同过冷度下海水凝固形状进行模拟。将海水视为盐和纯水的二元混合物，讨论了不同过冷度对冰晶生长的影响。

研究拟借助相场模型来研究静电场作用下的冰晶微观生长过程，分析外加静电场的冷冻对食品品质的改善作用，以期为以后冷冻食品的研究提供理论基础和技术支持。

1 模型的建立

(1)

式中：

T——系统的温度，K；

TM——熔化温度，K；

T0——系统的初始温度，K。

在建立模型前考虑Ginzburg-Landau型自由能，并引入电场能密度[22]：

(2)

式中：

F(φ,m)——总的自由能密度函数；

δ——各向异性强度，常数；

j——各向异性模数，对于六重对称结构值取6；

θ——界面法向与参考坐标轴的夹角，rad；

θ0——初始偏移角，rad；

α——过冷系数，常数；

γ——温度放大系数，常数；

Teq——无量纲平衡温度。

这里假设外加电场为恒定电场，电场正方向增加[23]，无量纲电场强度可由式(3)求得。

(3)

式中：

Ea——无量纲电场强度；

E——外加恒定电场的电场强度，V/m；

a0——现象系数，m2·N/C2；

P0——自发极化矢量的模，C/m2。

在参考Kobayashi模型[10]的基础上，由式(4)得出外加静电场的相场控制方程见式(5)。

(4)

(5)

式中：

τ——时间演化系数。

根据焓守恒定律，得出无量纲温度的热扩散方程[24]：

(6)

式中：

κ——潜热常值。

式(5)展示了界面层的形状、运动和位置，式(6)给出了界面层的温度[19]，二者构成了相场模型。

2 数值求解过程

2.1 初始条件与边界条件

设置液体区域初始无量纲温度为0，而无量纲融化温度为1，并在计算区域中心设置固定大小为10个网格数的圆来引入晶核。在计算区域边界，相场和温度场都采用zero-Neumann边界条件[17]。并设置初始条件：

(7)

2.2 离散形式

为简化计算和便于编程，用有限差分法中的向前差分形式得到了相场变量的时间离散，用中心差分格式得到了相场变量的空间离散，用五点差分格式离散了相场控制方程中出现的拉普拉斯算子。分别表示为：

(8)

(9)

(10)

(11)

温度场方程离散形式与上述相场方程的离散形式相似。

3 模拟结果

3.1 模拟结果与试验结果对比

先对不加电场的冰晶生长进行了模拟。如图1所示：冰晶的生长起初是一个圆形冰核，当生长到一定半径时，逐步变为边缘光滑的正六边形，随后6个边的中间位置开始出现凹陷，6个顶点处生长优势明显，逐渐发展为主枝，且边缘也较为光滑，随着时间步长的增加，冰晶形状明显变大，6个主枝沿着轴方向延伸出边缘较为粗糙的2次分枝，同时主枝根部出现缩颈，主分枝变得更细，相邻主分枝的侧分枝间距变大。在模拟冰晶生长过程中，冰晶形貌具有典型的六重对称性。

陶乐仁等[25]利用低温显微镜观察了冰晶由晶核向雪花状生长的过程。通过图1与图2的对比发现，采用相场法进行模拟得到的冰晶形貌与试验结果高度相似。此外还与韩端锋等[19]采用Kobayashi模型模拟的六角冰晶进行了对比，如图3(a)与图3(b)所示，两个模拟图在形态样貌上高度相似，只有主枝生长角度、二次分枝有所不同；经对比后发现初始角度和潜热常值在数值上有所差距，初始角度影响冰晶主枝的生长方向[24]，潜热常值解释了扩散层的热量释放影响着冰晶主分支的粗细和主分支间的间距[19]，它们的数值对冰晶生成细节有所影响，但对冰晶相貌生成规律并无影响，图3(c)为在编程里改变了初始角度及潜热常值后的冰晶生长图，与图3(a)相比两个六角冰晶的形态样貌及角度基本一致。模拟结果与试验结果及其他模拟结果基本一致，这也验证了试验模型的正确性，于是开始了进一步的研究。

图1 不加静电场的冰晶生长过程图

图2 低温显微镜下冰晶生长观察图[25]Figure 2 Observation of ice crystal growthunder cryomicroscope

图3 相场法模拟的冰晶充分生长后的样貌图

3.2 加静电场的冰晶生长

3.2.1 冰晶生长形貌分析 通过分析不同电场强度条件下冰晶生长的形貌来探讨无量纲电场强度对冰晶生长的影响规律。在其他条件一定的情况下，选择外加无量纲电场强度大小为0，0.01，0.03，0.05，各无量纲电场强度对应实际电场强度分别为0.0，1.3，3.9，6.5 kV/mm。如图4所示，在无量纲电场强度为0.01时冰晶充分生长后的形貌，与不加电场的冰晶充分生长后的形貌相比，冰晶形貌为六角星状，主枝生长速率较慢，且无二次分枝出现，根部也未发生缩颈现象。当无量纲电场强度增加到0.03时，主枝生长速率明显减慢、优先生长方向未发生改变，但主枝出现竞向生长，各个主枝生长速率明显不同，六角星状对称冰晶形貌遭到破坏，变为不规则的六角形。随着无量纲电场强度的进一步增加，图4(d)中主枝生长速率进一步减慢，且主枝逐渐消失，无明显的优先生长方向，冰晶形状由不规则的六角形变为边接近圆弧状的“四边形”。模拟结果与陈程等[26]在外加静电场为40，100，160 kV/m时观察到的红细胞悬液中冰晶的生长受到抑制、形状逐渐变为块状的试验结果一致。

图4 加电场与不加电场冰晶充分生长后的形貌对照图

3.2.2 冰晶生长温度场分布 通过分析不同电场强度条件下冰晶充分生长后的温度场来探讨无量纲电场强度对冰晶生长的影响规律。从图5可以看出，随着无量纲电场强度的增加，晶核生成所处的温度越来越高，且对应的主枝的生长速率越来越低，意味着随着电场强度的增加，冰核的长大与冰晶主枝的生长都受到了抑制。这也验证了Orlowska等[4]试验得到的结论。

图5 加电场与不加电场冰晶生长后的温度场对照图

4 结论

(1) 将相场法Kobayashi模型进行编程并计算，再将数据进行可视化，成功地再现了冰晶形态生长演化过程。模拟结果和其他模拟结果以及试验结果呈现的冰晶组织特征一致，冰晶形态具有典型的六重对称性。

(2) 将电场自由能密度引入相场模型，成功探讨了无量纲电场强度对冰晶生长的影响规律。随着无量纲电场强度的增加，冰晶的主枝生长速率和成核生长都受到了抑制。外加无量纲电场强度为0.01时，冰晶形貌为六角星状，无二次分枝出现，根部也未发生缩颈现象。当无量纲电场强度加到0.05时，冰晶无明显的优先生长方向，形状也由不规则的六角形变为边接近圆弧状的“四边形”。

(3) 在一定过冷度下，随着无量纲电场强度的增加，冰晶的生长受到抑制，形状逐渐变为块状，冰晶初始成核时的温度升高。根据模拟结果推测：在食品的速冻过程中，加以一定的电场强度，将会抑制食品中冰晶的生长，有望减少食品中细胞的机械损伤，更好地保留食品的品质和风味。