怎样巧用椭圆的定义解题

陆凯

椭圆的定义主要包括第一定义、第二定义以及第 三定义.在解答有关椭圆的问题时，灵活地运用这三个 定义，能有效地简化运算，提升解题的效率.这就要求 我们深入研究椭圆的三个定义，探究其内涵和外延， 将其灵活地应用于解题中.

一、巧用椭圆的第一定义解题

若在平面内有两个定点 F1 、F2 ，动点 P 到这两 个定点之间的距离之和等于定值 2a（大于 |F | 1F2 ），那 么动点的轨迹方程就是椭圆，该定义为椭圆的第一定 义.这里， P 为椭圆上的任意一点，两个定点分别为椭 圆的焦点，记 |F | 1F2 = 2c .由该定义可以得出 | PF | 1 + | PF | 2 = 2a .若问题中涉及椭圆上一点到两定点之间的 距离，如有关焦点三角形、焦半径的问题，我们就可以 根据椭圆的第一定义，建立关于焦半径 | PF | 1 、| PF | 2 的关系式，从而使问题顺利获解.

例1.若 P 是椭圆 x 2 a2 + y2 b 2 = 1（a > b > 0） 上的任意一 点，F1 、F2 为椭圆的焦点，以 PF2 为直径作圆 M ，证 明：圆 M 必定与圆 x 2 + y2 = a2 相切

我们只要抓住关键信息： PF2 为圆的直径，PF1 是 椭圆的焦半径，根据椭圆的第一定义，建立关系式： | PF | 1 + | PF | 2 = 2a ，便可根据圆的性质和三角形中位线 的性质证明结论.

二、巧用椭圆的第二定义解题

若动点 M 到定点 F 的距离，与其到定直线 l 的距 离之比是一个常数 e = c a（e < 1） ，则点 M 的轨迹是椭圆. 这个定义是椭圆的第二定义，其中定点 F 为椭圆的焦 点、定直线 l 为椭圆的准线，常数 e 为椭圆的离心率. 若已知椭圆上动点到准线的距离，或已知动点的轨迹是椭圆，就可以根据椭圆的第二定义建立动点到定点 的距离以及动点到定直线的距离之间的关系式.

例2.若方程 m（x ） 2 + y2 + 2y + 1 =（x - 2y + 3） 2 表示 椭圆，则 m 的取值范围是 .

变形后的方程可看作椭圆上动点 （x，y） 到定点 （0，1） 和定直线 l：x - 2y + 3 = 0 的距离之比.根据椭圆的 第二定义可知 e= 5 m ，而椭圆的离心率 e ∈（0，1） ，据此 即可求得 m 的取值范围.

三、巧用椭圆的第三定义解题

若平面内的动点 P 与两定点连线的斜率之積等 于常数 e 2 - 1（e ∈（0，1）） ，则动点 P 的轨迹是椭圆.该定义 为椭圆的第三定义，其中的两个定点是椭圆的焦点，e 是离心率.若已知动点与椭圆的两焦点连线的斜率之 积，就可以判定该动点的轨迹方程是椭圆，建立关于 e 的关系式即可解题.

例3.在 ?ABC 中，B（6，0），C（0，-6），且 k AB?k AC =- 4 9 ， 求顶点 A 的轨迹方程.

由kAB?kAC = - 4 9 ，可联想到椭圆的第三定义，于是 将 B、C 看作椭圆的焦点，将 A 看作椭圆上的动点，根 据椭圆的第三定义，建立关系式 e 2 - 1 = - 4 9 ，便可求得 椭圆的方程.

总之，我们不仅要熟悉椭圆的三个定义，还要善于 挖掘题目中的隐含条件，寻找与焦点、准线、过焦点的 直线的斜率有关的信息，将其与三个定义关联起来， 这样才能灵活地运用椭圆的三个定义去解题.

（作者单位：江苏省盐城市龙冈中学）