谈谈比较函数式大小的技巧

李新霄

比较函数式大小问题的难度一般不大，常以选择题、填空题的形式出现，侧重于考查一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质和图象的应用.解答此类问题的常用方法有函数单调性法、比较法、构造法、导数法等.那么如何选用合适的方法，才能正确、快速地比较出两个函数式的大小呢？下面结合实例来进行探讨.

一、比较同类型函数式的大小

同类型的函数式是指要比较的函数式的类型相同，如同为二次函数式、同为指数函数式.

（一）比較指数式的大小

对于比较指数式的大小问题，往往要分以下两种情况：（1）比较底数相同的两个指数式的大小，可以直接利用指数函数的单调性来比较它们的大小；（2）比较底数不同的两个指数函数式的大小，通常要通过研究指数函数图象的变化规律，或者将函数式转化成对数函数，再根据对数函数的单调性来进行比较.若要比较三个底数不同的指数函数式的大小，还需借助中间值.

例1（2022年全国甲卷）已知9m =10， a =10m -11，b =8m -9， 则（  ） .

A. a >0> b          B. a > b >0

C. b > a >0           D. b >0> a

a 、b 均为指数函数式，且其底数均不相同，但其指数相同，需先利用换底公式和基本不等式，求得关于 m 的范围；然后通过指对数互化，将三个函数式变形为同底数的对数函数式；再根据对数函数的单调性进行比较.

（二）比较对数式的大小

比较对数式的大小，要分为三种情况：（1）比较两个底数相同的对数式的大小，可根据对数函数的单调性：当底数 a >1时，对数函数 y = loga x 为增函数；当底数0< a <1时，对数函数 y = loga x 为减函数来进行比较；（2）比较两个底数不同、真数相同的对数式的大小，可根据两个对数函数的图象进行比较，也可先利用换底公式将两个对数式变形，然后利用对数函数的单调性来进行比较；（3）若两个对数式的底数和真数均不相同，通常要引入中间变量来进行比较.

例2.已知55<84 ， 134<85 ，设 a = log53， b = log85，c = log138， 则（  ） .

a 、b 、c 均为对数式，其底数、真数均不相同，可先利用作商法，根据换底公式以及基本不等式来比较 a 、b 的大小.对于 b 、c ，则可通过指对数互化，将其化为指数式，利用指数函数的单调性来进行比较.

二、比较不同类型函数式的大小

若要比较的函数式为不同类型的函数式，往往可以通过适当的变形、化简，先初步确定其大致的取值范围；然后利用作差（商）法、函数单调性法、中间值法、构造法等来比较两函数式的大小.此类题目较为复杂，需根据函数式的特点来选择合适的方法.其中较为常用的是中间值法、构造法.

例3.（2022年新高考Ⅰ卷）设 a =0.1e0.1，b = ，c =-ln 0.9，则（  ） .

我们先将 a、b 相除，然后构造函数，对其求导，利用作商法和导数法比较出 a、b、c 的大小.在构造函数时，可先将两式变形，如作差、作商，也可构造两式的同构式，这样便可利用函数的单调性快速比较出函数式的大小.

三、比较抽象函数式的大小

由于抽象函数没有具体的函数解析式，所以比较抽象函数式的大小问题的难度通常较大.在比较函数式的大小时，往往要充分利用函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性、周期性等，以将各个函数式的自变量转化到同一个单调区间内，这样便可根据函数的单调性脱去函数符号“ f”，将问题转化为比较常规函数式的大小问题.

例4.设 f（x）是定义域为 R的偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则（  ） .

仔细观察，可发现要比较的函数式为f（2-3）、f（2-2）、 f（log3），需先根据偶函数的性质，将三个函数式的自变量转化到（0，+∞）内，然后根据增函数的性质比较它们的大小.抽象函数问题看似很复杂，其实只要把握函数的性质，问题就变得容易得多.

一般地，若要比较三个不同类型函数式的大小，往往要先比较其中两式的大小，再根据不等式的传递性比较出三式的大小.从上述分析中可以发现，有时比较函数式的大小，要同时用到两种或者两种以上的方法，才能顺利解题.这就要求同学们在解题时，要做到灵活变通.

（作者单位：江苏省扬州市江都区丁沟中学）