素数长理想平衡四元几乎失配互补对构造

彭秀平 郑德亮 李红晓

(燕山大学信息科学与工程学院 秦皇岛 066004)

(河北省信息传输与信号处理重点实验室 秦皇岛 066004)

1 引言

最佳序列[1](周期异相自相关函数值为0)由于其自相关特性广泛应用于无线通信和雷达系统中，如码分多址系统中最佳序列主要用于解决系统中的多径干扰和多址干扰，正交频分复用系统中，最佳序列主要用于降低峰均比。然而遗憾的是，已有的最佳2元、4元序列均存在长度上的缺陷，如最佳2元序列仅存在长度为4的情况，最佳4元序列已被证明不存在长度大于 2n(n>4整数)的情况且最佳平衡4元序列不存在[2]。为了获得更多符合实际需要的序列，学者相继提出理想的2元序列[3]、4元序列[4]和奇周期序列[5]等，但这些序列都使用自相关函数准则，要求发送端与接收端必须使用同一序列，这极大地限制了理想序列的存在空间。为了获得更多的理想序列，学者相继地提出更加广义的理想序列如零相关区序列[6]、低相关区序列[7]等。失配序列也是广义理想序列之一，失配序列设计原则是在通信过程中发送端和接收端采用不同的序列，这大大扩展了最佳序列和理想序列存在空间。近几年，关于失配序列的研究引起了广泛关注[8,9]，已经证实最佳2元失配序列存在周期为Q ≡0(mod4)情况[10]，理想二值自相关2元失配序列周期为Q ≡±1(mod4)[11]，最佳4元失配序列大量存在[12]，但是这些序列都属于单一序列，单一序列的相关性要受到Welch界的限制，不可能在整个周期内同时具有理想自相关和互相关性能。互补序列则通过各子序列的异相自相关和互相关的对消，可同时达到理想的自相关和互相关性能[13]，从而在理论上可以完全消除多载波码分多址系统的多址干扰和多径干扰及能显著降低正交频分复用(Orthogonal Frequency Division Multiplexing, OFDM)系统的峰值平均包络功率比(Peak-to-Mean Envelop Power Ratio, PMEPR)，但是最佳2元和4元互补对同样存在数量有限的缺陷，如2元最佳互补对周期在100以内仅有20种可用长度且都为偶数或者1[14]，现有的4元最佳互补对也大多只存在偶数长度并鲜有涉及序列平衡性的讨论[15]，基于此，通过将互补序列异相自相关函数和值为0条件放宽，文献[14]提出了几乎互补对这类新类型序列。

本文将失配序列设计思想引入互补对的研究中，并将平衡性纳入互补序列设计考虑范畴，提出了平衡4元几乎失配互补对的新概念。通过Gray映射对平衡的素数长4元几乎失配互补对的理论界进行研究，并基于4阶分圆类对满足理论界的素数长理想平衡4元几乎失配互补对的构造方法进行了研究，得到了周期长度为素数长Q ≡1(mod4)的理想平衡4元几乎失配互补对{(x1,y1);(x2,y2)}的设计方法。得到的4元几乎失配互补对用作训练序列可对OFDM系统的载波频率偏差进行估计和补偿，即在发送端采用序列x1,x2，在接收端采用序列y1,y2，只要保证(x1,y1)和 (x2,y2)两对失配互补对具有理想的自相关性能和平衡性，就可以很好地对OFDM系统的载波频偏进行估计和补偿，从而提高系统传输性能。所以通过本文研究，扩大了具有理想自相关特性的4元互补对的存在范围，同时也为不同应用场景下的OFDM系统提供更多的训练序列。

2 基本概念及引理

表1 p 为偶数时，4阶分圆数及计算式

表2 p 为奇数时，4阶分圆数及计算式

3 理想4元几乎失配互补对的构造

表3 p为奇数时，平衡4元失配序列(x1,y1)与 (x2,y2)的定义参数

图1 失配序列(x1,y1)与 (x2,y2)的自相关函数值及两者之和

通过计算，可分别求得

表4 p为偶数时，平衡4元失配序列(x1,y1)与 (x2,y2)的定义参数

图2 失配序列(x1,y1)与 (x2,y2)的自相关函数值及两者之和

4 结束语

本文提出了平衡4元几乎失配互补对新类型序列，通过Gray映射证明了平衡的周期为素数长Q ≡1(mod4)且maxk∈{±1,±i}Nk(0)−mink∈{±1,±i}Nk(0)∈{0,2,4}4元几乎失配互补对的理论界。基于此理论界，利用4阶分圆类，按p的奇偶性分别提出了周期为素数长Q=4p+1满足理论界的理想平衡4元几乎失配互补对的构造方法。表5列出了目前已有的4元周期互补对同本文得到的理想平衡4元几乎失配互补对在周期长度、构造方法和平衡特性等方面的对比结果。在周期长度上，除了文献[22,23]得到了奇数长4元周期互补对以外，其他文献得到的多数为偶数长4元互补对，本文的构造法弥补了奇数长4元周期互补对存在较少的不足；在构造方法上，文献[15,20-23]都是基于基序列进行扩展或Gray映射等间接方法，所以在周期长度上无规律，部分长度列举在表5中，而本文利用4阶分圆类提出了直接构造方法，序列长度有规律；在平衡性上，仅本文得到了平衡的4元互补对，文献[15,20-23]均未考虑平衡性且不能得到平衡的4元互补对。所以通过本文的研究扩展了4元互补对的存在范围并为OFDM系统提供了更多互补序列的选择，也为4元互补序列的研究提供了一个新的序列设计思路。

表5 4元周期互补对已有结果总结