具有五阶色散项的Van der Waals方程波前解的持续性

杨思源，傅仰耿

（华侨大学数学科学学院，福建 泉州 362021）

引 言

近年来，对由非弹性碰撞粒子所组成流体的研究引起了人们的广泛关注。在流化粒状的流化状态中，粒状物质被连续的能量注入而流化，呈现出类分子流体传播、图形形成和相变等丰富的运动，引起了人们对这种类似于分子流体现象的关注。在这种情况下，Abourabia 等[1]认为粒状物质的颗粒可视为类似于流体的分子，并试图利用动力学理论来描述介质的行为。当粒状流动在接近临界点时，用Van der Waals 方程可以很好地描述相分离的流态化颗粒体系。而在准声速极限下，可以用两个KDV方程来描述这种运动[2-3]。

Van der Waals方程如下所示：

该方程为物理学中非常重要的一类非线性偏微分方程[4]，其精确行波解在对这些方程的研究中起到了重要的作用，可以提供更多的信息来理解这些物理现象。这也促使学者们为了获得该方程的行波解而提出多种方法，例如双曲正切函数法[5]、Painlevé 分析法[6-9]、Jacobi 椭圆方法[10-12]以及tanh 展开方法及各种推广[13-14]。通过这些方法，已找到了一些行波解。例如2006年Marcel等[4]找到式(1)的精确孤立波解，并指出式(1)有两个波前解，但没有找到波前解的精确形式。

2015 年Abourabia 等[1]通过Painlevé 分析方法得到了式(1)的两个波前解：

其中ξ=kx+ωt。

的情况下，用动力系统理论与分支方法得到了式(1)的两个波前解：

其中ξ=x+ct。

在行波理论中，行波解的存在性是一个基本问题。非线性发展方程的波前解与行波系统的异宿轨是相对应的，所以通常将方程波前解的存在性转化为相空间上异宿轨的存在性进行研究。当发展方程存在高阶项时，相对应行波系统的相空间是高维的，异宿轨存在性的研究通常非常困难。但在小参数情况下可以利用几何奇异摄动理论[16]降低相空间维数，进而证明异宿轨的存在性，例如含有时空延迟的KPP 方程波前解的持续性[17]、Generalized Burger-Huxley方程波前解的持续性[18]等研究。

本文研究如下具有五阶色散项的Van der Waals方程的波前解的存在性：

其中a、b、ε都是正常数，分别刻画了有效粘度、与压缩系数成正比的分叉参数和五阶色散[19]的效果。利用动力系统和几何奇异摄动理论证明了当ε充分小时，式(2)的波前解是持续存在的。

1 动力系统的刻画

对式(2)进行行波变换，也就是将u(x,t)=U(ξ),ξ=x-ct代入式(1)，并且积分两次可以得到：

在式(3)中，积分常量为0。令U'=v、v'=w以及可以将式(3)改写为：

当c2-b> 0时，显然系统(4)有3个平衡点：

接下来主要讨论Y0和Y1。系统(4)在Y0处的线性化矩阵为：

对应的特征方程为：

类似的，系统(4)在Y1处线性化矩阵为：

对应的特征方程为：

从而有如下定理：

定理1如果c2-b> 0且c＜ 0，那么式(3)中Y0的不稳定流形是一维的,Y1的稳定流形也是一维的。

证明定理1 的证明是基于辐角原理得到的。式(5)所决定的是Y0附近线性化的谱，所以把式(5)进行改写，改写后变成m0(λ) = 0，其中：

需要证明的是m0( )λ= 0 在右半复平面只有一个根。由于m0( )λ是解析函数，所以它在右半复平面的根的个数为：

其中周线c0作为半径为R的有向边界，其方向是逆时针的，中心是原点。∆c0argm0(λ)代表m0(λ)的辐角沿着c0转一圈的改变量。式(7)就成为1.5 +其中中括号里面的量表示当R从∞到-∞时，辐角argm0(iR)的改变量。因此，上述问题转化为计算m0(iR)的像绕着原点转了多少圈。注意到：

其次考虑R从0 到-∞的情况，Rem1(iR)从(c2-b)单调递减到-∞，Imm1(iR)从0 递增到∞。当，R2= 2(c2-b)，所 以，当R从0 到-∞时，m1(iR)的像在复平面上从出发，方向逆时针，经过第一象限，与虚轴交于( )0,y0，到达第二象限并停留在第二象限，有如下渐进行为当R→-∞时，同 理 可 得因此，式(5)在左半复平面根的个数也是1，定理1得证。

从定理1可以看出，当相空间是三维时，稳定流形Ws(Y0)的维数和不稳定流形Wu(Y1)的维数之和是2。因此，在R3中Y0和Y1有可能会相交于一条一维的曲线，也就是系统(4)的一条异宿轨。下面运用几何奇异摄动理论严格地证明相交的存在性。

2 小耗散波前解的存在性

这里考虑ε充分小的情形，来证明具有色散项的方程波前解的持续性。当0ε≪1 时，系统(4)可以改写为如下形式：

令η=，则与系统(8)对应的快系统为：

在系统(8)中令ε= 0，则U和v满足下面这个系统：

系统(8)中w限制在下面这个集合中：M0=易见M0是在R3中的一个二维子流形。根据文献[15]中的定义可知，若限制在M0上的线性化快系统有M0维数个特征值在虚轴上，剩下的都是双曲的，则称流形M0为法向双曲流形。限制在M0上的快系统(9)的线性化系统的矩阵如下：

计算可知这个矩阵的特征值为0、0、1，故M0为法向双曲的。因此由Fenichel 稳定流形理论可知：对于足够小的ε> 0，有一个二维子流形Mε存在于R3中，使得它在M0的ε邻域内，并且对于系统(8)的流是不变的。

为了确定Mε上的动力学行为，记：

其中g(U,v,ε)光滑依赖于ε并且满足g(U,v,ε)= 0。把式(11)中w的表达式代入系统(8)的第三个方程，得到：

再在ε处将g(U,v,ε)进行泰勒展开，可以得到：

将g(U,v,ε)代入式(12)并且比较ε同阶项的系数。ε零次幂的系数为g(U,v,0) = 0；比较ε的一次幂的系数：

这样将系统（8）改写为：

式(13)决定了Mε上的动力学行为。

下面将给出持续性定理并证明。

定理2如果方程utt+(uxx-aut-u3-bu)xx=0 存在一个严格递增的波前解u0(x,t) =U0(ξ)，并且满足那么对于足够小的ε> 0，式(2)的波前解持续存在，即对具有五阶色散项的式(2) 也存在一个波前解u(x,t) =U(ξ)，并 且 满 足

证明当ε= 0 时，系统(10)有波前解U0(ξ)，其对应的异宿轨连接平衡点Y0和Y1。

对于充分小的ε> 0，容易验证Y0和Y1也同样是系统(11)的平衡点。下面证明系统(11)也存在异宿轨将Y0与Y1连接起来。将式(12)改写为如下形式：

其中Φ(U,v,c,ε)满足Φ(U,v,c,0) =u3-(c2-b)u-cav。

故U0(ξ)是严格递增的，从而可以被刻画成为某个函数的图像，把该函数表示为v=f(U,c0)。通过稳定流形理论知，对于充分小的ε> 0，Y0的不稳定流形可以被函数v=f1(U,c,ε)的图像刻画出来，其中f1(0,c0,0) = 0。由解对参数的连续依赖性定理可知，当ε充分小时，此流形一定过直线上的某一点。类似的，在Y1处的稳定流形用v=f2(U,c,ε)来进行刻画。显然有f2(,c,ε) = 0，这个流形在ε充分小的情况下，一定也过直线U=上的某一点。由于

因此，要证明式(14)在ε> 0 时存在一条异宿轨，只需证明在c0的附近存在唯一的函数c=c(ε)，使流形f1和f2在直线上相交于同一个点即可。定义函数：

注意到v=f1(U,c,ε)和v=f2(U,c,ε)全都满足下面这个方程：

故

因此：

同理可得：

因为U0(ξ)严格递增,所以对任意的0U都有f(U,c0)＜ 0存在。于是有：

因此由隐函数定理知，对于充分小的ε> 0，G(c,ε) = 0 在c0附近存在唯一的解c=c(ε)。由此证明了在直线U=上流形f1和流形f2有一个交点，也就是说系统(13)存在一条连接Y0和Y1的异 宿 轨。 即 式(1) 存 在 满 足ξl→im-∞U0(ξ) = 0，的波前解。

3 数值模拟

现在数值模拟五阶Van der walls 方程的波前解。取显然要找系统(13)的解u(ξ)满足边界条件：

考虑由式(13)和式(22)组成的在有限区间[L1,L2]上的边界问题，要求当L1→-∞和L2→∞时，近似解收敛到一个实际解[20-21]。根据文献[22]中的方法，要求解于ξ=L1处在Y0的稳定流形和于ξ=L2处在Y1的不稳定流形都没有投射。易知因此为了解决这个问题，还必须增加一个条件。由于系统(13)的平 移 不 变 性 以 及 观 察 到u(ξ)从0 增 加 到1，故u( 0 )= 0.5。

关于求常微分方程边值问题的数值解，Matlab提供了一个有效方法[23]，即利用程序bvp4c 使用配置方法并要求提供一个近似解，用

作为近似解，其数值模拟如图1所示，其中相对容忍误差为10-3，绝对容忍误差为10-6。

图1 五阶Van der Waals方程的近似解

4 结束语

本文研究具有五阶色散Van der Waals 方程波前解的持续存在性，利用动力系统与几何奇异摄动理论，证明在充分小色散情况下，其波前解是持续存在的。值得注意的是几何奇异摄动理论是抽象的、严格的且不需要未扰动系统波前解的精确表达式，能把高维相空间问题转化为低维问题，从而大大降低了难度。目前，对于高价偏微分方程波前解的存在性，几何奇异摄动理论已是一重要方法。本文的结果丰富和推广了前人的研究成果，具有一定的理论意义。