一维六方准晶中椭圆裂纹问题的三维热-弹性解

金晨淞，李佩栋，李翔宇

（1.西南交通大学力学与航空航天学院，成都 611756；2.四川大学建筑与环境学院，成都 610065）

引 言

1982 年，Shechtman 等[1]首次在铝锰合金中发现了准晶，他也因此获得了2011年诺贝尔化学奖。准晶的发现和制备[2]颠覆了人们对固体材料原子结构的原有主流看法，即只存在晶体和非晶体两种固体结构。与传统材料相比，准晶具有许多理想的特性，如低孔隙率[3-4]、低摩擦系数[5-6]、低导电性[7]、低热导率[8]和高耐磨性[9]等。与传统晶体不同，准晶的弹性场是由声子场和相位子场组成[10-11]。声子场与传统晶体的弹性场相同；相位子场位移可以理解为对基本晶格的另外一种扰动。由于相位子场的存在，准晶的弹性方程比晶体的弹性方程更复杂，而且很难得到解析解。

准晶制成的结构部件常需要在非室温情况下服役，此时温度载荷是不可忽视的。许多学者研究了准晶在温度载荷作用下的裂纹问题。比如，通过位移不连续分析方法，Zhao 等[12]研究了一维六方准晶在面内载荷作用下的裂纹扩展问题，得到了裂纹的应力强度因子和能量释放率；Li 等[13]研究了反对称热流载荷下一维六方准晶中的币状裂纹问题，得到了整个三维空间的热-弹性场。

在实际的工程应用中，椭圆裂纹比币状裂纹更具有一般性。Wu 等[14]利用广义势理论方法，在磁-电-弹性框架下研究了横观各向同性介质中的椭圆裂纹问题，并得到了解析解。最近，Li 等[15]沿用了文献[14]中类似的方法，研究了横观各向同性的热-弹性岩石中的椭圆裂纹问题，并得到了封闭形式的解。利用保角映射和复变函数法，Zhao 等[16]研究了纳米椭圆孔或纳米裂纹粘贴加固层的反平面剪切问题，并得到了一维六方压电准晶介质中的声子场应力、相位子场应力和电位移。

近些年，红外热成像技术被广泛应用于各种材料的无损检测。由于完整样品的导热性比裂纹处导热性高，存在裂纹的样品的表面温度会不均匀，因此可以通过红外热成像技术确定裂纹所在位置。同时，关于准晶在热-弹性耦合场下的椭圆裂纹问题的研究十分有限。因此本文将研究热-机械载荷下一维六方准晶中的椭圆裂纹问题。在一维六方准晶的热-弹性通解的基础上，结合椭圆裂纹问题的边界条件求解该问题。使用广义势理论方法研究混合边界值问题，求解问题的控制方程并推导三维热-弹性场的解析解。本文将介绍开裂平面上的一些重要物理量，包括：温度、裂纹面位移和应力强度因子等，然后进行数值计算，以验证求得的解析解的正确性，并展示热-弹性场的分布情况。

1 一维六方准晶热-弹性通解

在直角坐标系(x,y,z)中，假设一维六方准晶的原子排列在xoy平面内是周期性的，在z轴方向是准周期性的。上述一维六方准晶的热-弹性本构关系在文献[17]中给出。

针对一维六方准晶的热-弹性本构关系式和广义平衡方程，Li等[18]得到了如下的通解：

其中：U为xoy平面上的声子场位移，ux(uy,uz)为x(y,z)方向位移，wz为相位子场位移，T为温度载荷，σkj(Hzk)为声子（相位子）场应力，σ1和σ2为xoy平面上的声子场应力。

此外，Λ = ∂/∂x+ i∂/∂y；i 为虚数单位；αjk和γjk为与材料特征值和弹性常数有关的常数；ckj为声子场弹性常数。上述参数的表达式均来自文献[18]。Ψk为势函数并且满足：

其中nk(k= 1,2,3,4)与材料的弹性常数有关，其表达式来自文献[18]。

2 边界条件

假设一个平面裂纹S存在于准晶热-弹性介质中，同时采用直角坐标系(x,y,z)和圆柱坐标系(r,θ,z)描述，如图1 所示。其中，M(x,y,z) 代表半空间(z≥0)中的一个任意点，N(x,y,0)是裂纹区域S上的一个任意点，r表示N到原点的距离，θ为直线ON与x轴夹角。假设3 组广义载荷：声子力P1、相位子力P2和温度载荷Θ 对称地作用于裂纹上、下表面。平面裂纹S位于xoy平面（用I表示）内。

图1 广义载荷作用下的平面裂纹S的示意图

由于关于开裂平面的对称性，这个问题可以转化为关于半空间(z≥0)的混合边界值问题：

其中：S表示裂纹所占据的区域；I表示平面z= 0；Sˉ是平面I上除裂纹以外的区域，即S⋃Sˉ=I，S⋂= ∅。

3 广义势理论方法

对于一维六方准晶，现在的任务是找到5 个合适的准调和的势函数Ψk(k= 0,1,…,4)：

其中：hkj(k= 1,2,3,4;j= 1,2,3)为待定常数；主势函数Hj(j= 1,2,3)可表达为如下形式：

其中：dS0=rdr0dθ0，r0和θ0分别为柱坐标系中的径向坐标和角坐标；M(x,y,z)代表半空间(z≥0)中的一个任意点；N0( )x0,y0,0 与N(x,y,0)类似，是裂纹区域S上一个任意点；R( )M,N0表 示M(x,y,z) 和N0(x0,y0,0 )之间的距离；主势函数Hj(j= 1,2,3)中的w1、w2和w3分别表示声子场裂纹面位移、相位子场裂纹面位移和温度梯度∂T/ |∂z z=0。需要指出的是，H1、H2和∂2H3/∂z2是单层势，满足以下的性质：

通过式（1）、（5）～（7）和边界条件式（4b）、（4c），可以确定待定常数hkj（k,j= 1,2,3,4）：

其中δkj（k= 1,2,3）为Kroneckerδ函数。将通解式(1)代入边界条件式(4a)中，就可以得到：

将式(9b)代入式(9a)，可得：

其中

4 均匀广义载荷下的椭圆裂纹

假设上述平面裂纹是椭圆形的，其中心与直角坐标系(x，y，z)的原点重合。考虑温度载荷Θ0对称地作用于裂纹的上、下表面。椭圆裂纹示意图如图2所示。

图2 椭圆裂纹示意图

椭圆的长半轴为a，短半轴为b，分别位于x和y轴上。r和θ是两个极坐标，c(θ)表示原点O与极点之间的距离。

通过参考弹性力学中椭圆接触问题的结果[19-20]，温度梯度w3表示为：

其中ι表示椭圆偏心率，ι=。辅助函数Γ(⋅)表示为：

第一类椭圆积分F(⋅, ⋅)表示为：

为了得到裂纹面位移，将前文得到的积分微分式(10)定义为等效载荷，如下所示：

式（16）的解表示为[19,21]：

其中第二类椭圆积分E(⋅, ⋅)为：

将式(17)代入式(6)，可得：

其中

1.1.5 排除标准 非随机对照研究，患者为非慢性阻塞性肺疾病合并呼吸衰竭，对照组非无创正压通气治疗，两组常规治疗不一致，数据统计不完整，无有效数据提取，重复发表的研究，综述等。

根据Fabrikant[19,21]的解，积分函数MA(z) 和MB(z)可以显式地表示出来。

5 三维场变量的精确解析解

现在，得到了一维六方准晶中椭圆裂纹问题的势函数Ψk(k= 0,1,…,4)的精确表达式。将式(17)代入到式(5)和式(6)中可得：

从式(1)和式(21)中可得，无限空间中一维六方准晶的精确解析解为：

广义应力分量的形式如下：

其中：pk(z)和qk(z)(k= 1,2,…,5)是对应于MA(z)和MB(z) 的 导 数，表 达 式 来 自 文 献[15]；ak和bk(k=1,2,3,4)均是关于等效广义载荷的式子：

此外，可以推导出以下结果：

6 数值结果和讨论

本节用数值方法讨论前面的解，为此选择了一种特殊准晶材料—铝钯锰[22-23]，并使用表1所示的材料常数进行分析。

表1 准晶材料常数

图3 和图4 绘制了无量纲量，即法向应力-σz/(β1Θ)、温度增量-T/Θ、径向位移-E1|U|/(aβ1Θ)和垂直位移-E1uz/(aβ1Θ)在裂纹平面的分布（其中E1为所选准晶材料的弹性模量）。图3 和图4 中各图片右侧的标注表示不同颜色对应的无量纲量的大小。从图3(a)可见，无量纲量法向应力-σz/(β1Θ)在裂纹尖端具有奇异性，并且在Sˉ区域随着x a的减小明显减小，最后在无穷远处变为零。-σz/(β1Θ)在裂纹区域S中消失。由图3(b)可知，无量纲量温度增量在裂纹中心处取最大值，在无穷远处趋于零。根据已有的研究结果[13]，温度场仅取决于热传导系数和热模量。因此，当前温度场应与横观各向同性热弹性温度场一致。从图4 中可见，径向位移在裂纹中心处为零，垂直位移在裂纹中心处取得最大值，并在裂纹平面S以外的区域消失。

图3 无量纲量法向应力和温度增量在裂纹平面上随着坐标x a的分布

图4 无量纲量径向位移和垂直位移在裂纹平面上随着坐标x a的分布

图5(a)绘制了无量纲量温度增量-T/Θ 在半空间的分布。从图5(a)可见，裂纹区域S中的无量纲量温度增量等于常数；在其他区域，无量纲量温度增量-T/Θ 随着简化坐标x a的减小而减小，并且在无穷远处趋于零。将数值结果与式(22)对比可以发现，解析解中温度在裂纹面上是常量，并随着与裂纹之间距离的增加而减小，与图5(a)所示规律相符，验证了解析解的正确性。图5(b)绘制了无量纲量法向应力-σz/(β1Θ)在半空间中的分布。从图5(b)可以看出，法向应力在裂纹尖端是奇异的，在S区域内等于零。将数值结果与式(23)对比可以发现，解析解中法向应力在裂纹面上是常量，并随着与裂纹之间距离的增加而减小。数值算例中声子力P1设为零，与图5(b)所示规律相符，验证了解析解的正确性。

图5 无量纲量在半空间z ≥0上随坐标x a的变化曲线

7 结束语

通过解析方法研究了静力学框架下一维六方准晶的椭圆裂纹问题。基于一维六方准晶热-弹性问题的通解，采用广义势理论方法建立了相应的边界积分-微分方程，针对热-弹性椭圆裂纹问题，得到了整个三维空间的热-弹性耦合场，以及三维热-弹性场的精确解析解，并得到了裂纹面上的重要物理量，包括温度、裂纹面位移和应力强度因子等。

通过数值计算验证了该方法的有效性，并给出了热-弹性三维耦合场的分布。裂纹面上的法向应力和温度均随着与裂纹之间距离的增加而减小，并在无穷远处消失。径向位移在裂纹中心处为零，垂直位移在裂纹中心处取得最大值。数值结果验证了所得一维六方准晶椭圆裂纹问题热-弹性解析解的正确性，为红外热成像技术在准晶无损检测中的应用提供理论指导。