二元计算全息法产生复杂无衍射光束

杨婧羽，任志君，黄文俊，许富洋

（浙江师范大学 浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室，浙江 金华 321004）

1 引 言

不同的科学研究实验，要求激光束有不同的空间形态分布。调控产生具有不同空间结构的激光束，是激光技术的重要研究内容。在光与物质相互作用的许多研究中，常常需要一类光学结构稳定或尽可能稳定的光束。在这种情况下，无衍射光束应运而生。常见的无衍射光束有贝塞尔光束（包括涡旋光束）[1-3]、马蒂厄光束[4]、抛物光束[5]、以及艾里光束[6]等。过去调控产生无衍射光束，主要是利用相位调制法和振幅调制法。早期用于产生贝塞尔光束的Durnin环缝法就是典型的振幅调制法[1]。后来采用的全息法[7]和利用锥镜来产生贝塞尔光束的方法[8]，则属于相位调制的方式。2007年诞生的艾里光束是一种具有加速传输特性的无衍射光束。艾里光束主要采用立方相位调制的方式产生[6,9]，近年来，研究者又采用振幅调制法[10]以及基于超表面技术[11-12]产生了艾里光束。此外，Pearcey光束的产生，既有振幅调制法[13-15]，也有相位调制法[16]。事实上，不论采用相位调制法还是振幅调制法操控光束，技术上都不难实现。这是因为现有的商用化调制元件，既有相位型，也有振幅型。利用这些调制元件，既能实现单纯的相位调制，也能实现单纯的振幅调制。

基于波动方程在不同坐标系下的特解，研究者还陆续发现了几簇具有复杂光学形态的无衍射光束。包括马蒂厄光束[17]、非对称贝塞尔光束[18-19]、Lomme光束[20-21]等。要产生这类具有复杂光学形态的无衍射光束，必须构建既能调制光束振幅也能调制光束相位的复振幅调制元件。也就是说，经典的相位调制法或振幅调制法并不能调控产生这类具有复杂结构的无衍射光束。而采用复振幅调制法调控光束，却并非易事。为此，人们不得不采用振幅和相位分开调制的方式来产生复杂结构无衍射光束。以马蒂厄光束为例，Anguiano-Morales等利用扇形透光屏（振幅调制元件）结合锥镜（相位调制元件），产生了近似零阶马蒂厄光束[22]。任志君等采用锥镜（相位调制元件）结合振幅胶片（振幅调制元件），也近似产生了马蒂厄光束[23]。采用振幅和相位分开调制的方式，虽然可以产生一簇具有复杂光学形态的无衍射马蒂厄光束，但采用分离的振幅和相位调制元件调控光束，在实验中存在调节难度大、难以准确对位的问题。因此，之前的研究者只能产生低质量的无衍射马蒂厄光束。

有研究者在振幅型空间光调制器[24-25]与相位型空间光调制器[26]上使用不同编码方式实现了光束的复振幅调制，比如采用超像素编码的方式，产生了非对称贝塞尔光束[27]和Lommel光束[28]。不同于超像素编码，本文主要采用罗曼型迂回相位编码的方法，设计、构建了马蒂厄二元计算全息图(Binary Computer Generated Hologram, BCGH)。之后通过投影成像光刻系统，将BCGH加工为实振幅掩膜板，制作出像素数高达28 000 pixel×28 000 pixel的掩膜板，这为高质量产生复杂结构的马蒂厄光束奠定了基础。实验结果也证实基于二元计算全息编码全息图是一种能够产生具有复杂光学结构无衍射光束的新途径。

2 二元计算全息图的制备

随着计算全息技术的发展[29]，人们发现，通过编码的方式，可以在同一块掩膜板上同时编码光波的振幅信息和相位信息。此外，不同于传统只能记录实际物体的全息图，计算全息图[30-31]还可以编码综合复杂的、由计算机计算的全息图。计算全息图由于是利用计算机替代了激光器和其他光路，使用LCD等成像设备替代了传统的全息干板，这使得全息图的加工过程方便快捷，更加灵活。鉴于计算全息技术能够灵活地对振幅和相位进行同时调制的优势，本文基于罗曼型迂回相位编码全息图的原理，利用全息直写打印系统，以马蒂厄光束为例，进行复杂结构无衍射光束的调控。

计算全息图的制作大致可以分成以下几个步骤：（1）对于所需的物面或者波面信息进行数学描述，提供离散的数据信息；（2）计算波面在全息图上的复振幅光场分布；（3）将光场分布编码成全息图的透光率变化；（4）全息图进行数据输出；（5）加工计算全息图，实现目标光场。

计算全息图本质就是将二维光场的复振幅转换成二维实振幅透过率函数，即：

式中，hi(x,y)表示二元全息函数，它是实值非负函数，f(x,y)是所需变换的复值函数，Ci表示相应编码的编码算法，i表示采用的编码技术。

利用计算机进行全息计算时，需要对数据进行抽样处理，假设需要记录的复振幅函数为

对其进行傅里叶变换，变为

利用梳状函数对连续复振幅函数f(x,y)抽样，抽样函数fs(x,y)由 梳状函数的 δ函数的整列构成：

根据抽样定理，抽样间隔应满足以下条件：

其中，δx、δy、δu、δv分别是波面在空域和频域的抽样间隔，Δx、Δy、Δu、Δv分别是波面的空间和频带宽度，抽样单元的总数为M×N=Δx·Δy·Δu·Δv。

对于待转换的离散复振幅函数，本文主要采用罗曼型迂回相位编码法，将其复振幅函数转换成实值非负函数。下面主要介绍罗曼型迂回相位编码原理[32-33]。

由图1所示，设光栅的栅距为d，第k级光栅的衍射角为 θk，那么由光栅方程可知，在 θk方向上相邻光线的光程差为Lk=dsinθk=kλ。当使用平面光波垂直照射光栅时，如果光栅的栅距相等，即为等距光栅，那么第一级衍射是平面波，等相位面是垂直于这个传输方向的平面。如果光栅的栅距有变化，例如某一位置处栅距变化Δ，则此位置上沿θk方 向相邻光线的光程差变为Lk′=(d+Δ)sinθk。衍射角为 θk方向上的第k级衍射光波在该位置处会带来相应相位超前或者延迟（Δ为正值表现为相位延迟，Δ为负值表现为相位超前），栅距变化导致的相位额外变化大小为 φk=2πk|Δ|/d， φk被罗曼称为迂回相位，迂回相位的值与栅距的偏移量和衍射级次成正比，而与入射光波波长无关。从迂回相位效应可知，通过改变光栅各个局部的栅距，可制作出各处栅距都满足要求的非等间距光栅，从而在某个衍射方向上得到目标相位。

图1 不规则光栅的衍射效应Fig. 1 Diffraction effect of irregular grating

基于上述不规则光栅的衍射效应特征，如图2所示，利用罗曼型迂回相位编码法设计二元全息图时，需在全息图每个抽样单元内开一个矩形通光孔径。即，通过改变通光孔径的面积来对复值光波的振幅进行编码，通过改变通光孔径中心偏离抽样单元中心的距离，对复值光波的相位进行编码。图2中，矩形孔径的宽度为Wδx，W为一常数，矩形孔径的高度是Labδy，与归一化后振幅Aab成 正比，Lab的 取值范围为0～1。Pabδx是孔径中心与单元中心的距离，与抽样单元的相位 φab成正比，取值范围为−0.5～+0.5。Lab和Pab的具体取值为

图2 抽样单元Fig. 2 Sampling cell

过去的研究表明，马蒂厄光束是一种具有复杂光学结构的无衍射光束，经典贝塞尔光束只是马蒂厄光束的一个特例。产生马蒂厄光束，需要如式(7)所示的复振幅调制函数[23]：

式中，C(φ,q)为 角向马蒂厄函数，q为椭圆度参数，n为锥镜的折射率，θ0为锥镜底角（锥镜入射平面和出射锥面间的夹角），R为锥镜的入瞳半径。式(7)是一个复振幅函数，这意味着，入射的平行光只有经过具有复振幅分布（包括振幅和相位信息）的调制元件，才能够产生马蒂厄光束。

为产生马蒂厄光束，基于前述的二元全息编码原理，将式(7)的二维复振幅分布变换为二维实振幅非负分布，流程图如图3所示，最后得到输出的马蒂厄光束二元数字全息图如图4所示。图4中，构建了两种产生马蒂厄光束的二元计算全息图，分别为椭圆系数q=10，拓扑荷数m=0,1的马蒂厄光束。

图3 构建马蒂厄光束二元全息图过程Fig. 3 The process of constructing a Mathieu beam binary hologram

图4 产生马蒂厄光束的二元计算全息图。(a)m=0, q=10;(b) m=1, q=10Fig. 4 Binary computer-generated hologram of a Mathieu beam. (a) m=0, q=10; (b) m=1, q=10

3 实 验

基于上述的罗曼型迂回相位编码技术，本文设计构建了具有复振幅调制功能的二元实振幅非负计算全息图，如图4所示，放大后的部分细节如图5所示。之后采用实验室自制的投影成像光刻系统[34]，将图4左侧的二元全息图加工成振幅掩模板，如图6所示，其上6个点为光刻时的调焦点。投影成像光刻系统的工作原理详见参考文献[34]。首先，将设计好的28 000 pixel×28 000 pixel的光刻文件（即全息图）自动分割成一系列600 pixel×600 pixel的单元图形。将这些图案按照顺序自动输入到数字显微设备（Digital Micromirror Device，DMD）中，然后逐行扫描，在银盐干板上进行投影曝光。当光刻完成后，银盐干板被加工以获得振幅掩模板。

图5 放大后的计算机全息图部分结构Fig. 5 Computer-generated hologram

图6 掩模板实物图Fig. 6 Physical picture of the mask plate

实验光路如图7所示，He-Ne激光器经准直扩束之后，用加工好的的振幅掩模板作为调制元件对衍射光做滤波，用科学CCD记录+1级光束，CCD上记录的光束如图8所示。q=10，m=0, 1的两块掩模板的光能透过率分别为15.65%与21.95%。图9给出了模拟的马蒂厄光束，可以看出实验与理论吻合很好。

图7 实验光路图Fig. 7 Optical path of experimental system

图8 采用掩模板产生的马蒂厄光束。(a) m=0, q=10; (b)m=1, q=10Fig. 8 Mathieu beam produced by the mask. (a) m=0,q=10; (b) m=1, q=10

图9 理论模拟产生的马蒂厄光束。 (a) m=0, q=10; (b)m=1, q=10Fig. 9 Mathieu beam generated through theoretical simulation. (a) m=0, q=10; (b) m=1, q=10

为了对比实验效果，图10给出了过去采用分离的振幅和相位元件产生的具有相同参数的马蒂厄光束[23]。对比图8和图10，不难发现，本文的二元计算全息图所产生的马蒂厄光束，质量明显好于过去采用振幅调制元件和相位调制元件分离调制产生的马蒂厄光束。原因容易理解，采用振幅调制元件和相位调制元件分别调制的方式，需要采用位移平台对二者进行精确对准。这在实验过程中不仅耗时耗力，而且，不可避免地会存在对准误差，最终使得实验结果很难理想。本文所述的采用二元计算全息编码法，通过采用罗曼型迂回相位编码方式，将振幅和相位信息，以非负实振幅的方式，编码在同一块调制元件上。采用单一调制元件产生马蒂厄光束，不仅在根本上避免了振幅和相位分开调制时引起的实验误差，显著提高了所产生光束的质量，而且实验过程更加简单快捷。特别重要的是，利用本文所述方法产生的高质量无衍射马蒂厄光束，为将其更好地用于实际的科学研究奠定了基础。

图10 采用振幅与相位分开调制产生的马蒂厄光束。 (a)m=0, q=10; (b) m=1, q=10Fig. 10 Mathieu beams produced by modulating amplitude and phase separately. (a) m=0, q=10; (b) m=1,q=10

4 结 论

基于二元计算全息原理，采用罗曼型迂回相位编码方法，以椭圆系数q=10，拓扑荷数m分别为0和1的马蒂厄光束的产生为例，通过编码产生非负的实振幅分布二元全息图。使用投影成像光刻系统将全息图加工成二元振幅掩模板，用二元振幅掩模板调制光束，实验得到了高质量的马蒂厄光束。实验结果证实了采用二元计算全息原理，通过编码的方式，产生具有复杂光学结构无衍射光束的可行性。该方法也为后续产生包括非对称贝塞尔光束、Lommel光束、抛物线光束等其他几簇具有复杂结构的无衍射光束，奠定了理论和技术基础。