内共振对斜拉索面内瞬时相频特性的影响

2022-03-08杨汝东孙测世邓正科

地震工程与工程振动 2022年1期

杨汝东，孙测世，邓正科

（重庆交通大学土木工程学院，重庆 400074）

引言

斜拉桥已经成为最流行的桥梁类型之一，特别是在跨越宽阔的河流或山谷时。据不完全统计，世界范围内已建成158座主跨在400 m 及以上的斜拉桥，而我国就有97座，全球在建及拟建的主跨400 m 以上斜拉桥约60 余座，其中超过70%在中国［1］。然而，由于索的轻柔性以及低阻尼性，且随着跨度的增大，索的整体刚度显著降低，因此在环境激励下会产生不同机理的振动［2-5］，引起各种危害。克罗地亚Dubrovnik 斜拉桥拉索2次发生严重的振动，多根长索出现约180°的相位差（反相）从而引发了碰撞［6］。我国杨浦大桥、法国布鲁东桥、泰国Rama IX桥、日本名港西大桥等桥的拉索也均曾发生碰撞［7］。这种相邻索之间的碰撞可造成PE护套破裂，雨罩损坏，高强螺栓断裂等多种破坏［2-3］。

碰撞的原因：一是索在环境激励下产生较大幅值的振动；二是索振动有较大相位差。因此，研究相频特性是深入了解这类问题的关键之一。在单模态方面，Bossens 等［8］进行了大尺寸的主动控制模型试验，发现给予拉索的主动端部振动与拉索索力的相位差也随激励频率变化。Liu等［9］建立斜拉索的非线性运动方程，研究了超长跨径斜拉桥的拉索在轴向激励下的稳定性及其面内参数振动的特性，探明了相位受外部激励幅值和频率的影响，相频曲线与幅频曲线具有相同的跳跃特性。在多模态方面，结构不同模态之间的相位差也与激励频率有关［10-12］。文献［13］通过斜拉桥全桥模型试验验证了当激励频率达到一定值时，多根索发生大幅振动，相邻索的振动间均存在一定相位差，导致邻索之间产生碰撞。赵珧冰等［14］通过考虑4组垂跨比及4 种温度变化工况下探究了悬索受多频激励组合联合共振响应特性及其受温度变化的影响，证明了联合共振响应相位与温度变化密切相关。

以上研究表明，相位差的产生与激励频率有关。然而，目前各项研究中的响应相位均是指线性解中的相移值，并未考虑漂移项和倍频成分对相位的影响。同时，内共振是索结构中极为常见的振动现象，故文中主要研究1：1 内共振对拉索面内主共振响应与激励的瞬时相位差的变化特性及其成因影响，分析了面外引起的漂移项和两倍频成分对瞬时相位差的影响规律，研究了瞬时相位差在不同索力下的变化规律。

1 力学模型及控制方程

图1 给出两端铰接且受面内分布外激励的斜拉索简化模型，并建立如图1 所示直角坐标系。O为坐标原点，x为斜拉索弦线方向、y为索面内垂直弦线的方向、z为侧向（即面外），x、y、z方向对应位移分别用u、w、v表示。为了体现问题的本质作如下假设：（1）斜拉索的抗弯刚度足够地小以至于可以忽略不计；（2）斜拉索只承受拉力；（3）斜拉索在振动过程中的轴向应变足够小；（4）只考虑几何非线性，而不考虑其它非线性。

图1 分布面内外激励下斜拉索振动简化模型Fig.1 Simplified vibration model of stay cable under distributed in-plane excitation

考虑拉索初始垂度与几何非线性，通过利用Hamilton 原理得到面内分布外激励下斜拉索非线性振动力学方程［15］：

式中：m为拉索单位长度质量；cu，cw和cv分别为u，w和v方向的阻尼系数；T为拉索索力；E为拉索弹性模量；A为拉索截面面积；（）＇表示对x导数；y为拉索的静态构型，其方程为：

设拉索以拟静态方式进行轴向振动，略去高阶无穷小量，拉索无量纲控制方程如下：

式（3a）、式（3b）和采用的无量纲变换有：

为了方便书写，式中（3a）和式（3b）省去了“*”号。

2 多尺度求解

2.1 离散化模型

在分布外激励作用下，拉索振动位移被认为是纯模态振动，因此令：

取面内振型函数为［16］：

式中：ε=mglsinθ/T；h为附加索力轴向分力。

面外振型函数为：

利用Galerkin方法得到：

2.2 摄动分析

2.2.1 不计入内共振

一般情况下，斜拉索高阶频率出现较少，由式（8a）进行退化，可得仅在面内分布外激励作用下面内一阶无量纲离散运动方程：

基于多尺度法对式（9）求得近似解，从而引入无量纲小参数ε，设q=εq，A1=ε3A1。并取阻尼系数项和面内激励项为O（ε2）阶，并设解的形式为：

式中，Tn=εnt（n=0，1，2，3，…），将式（10）代入式（9），并按照ε的幂次进行整理，可以得到下列方程：

此时幅频响应方程的表达式为：

对应的斜拉索面内振动近似解为：

2.2.2 计入面内外1∶1内共振

在式（3a）和式（3b）的基础上同样引入面内分布外激励，可得仅在分布面内外激励作用下面内外一阶耦合无量纲离散运动方程：

并引入无量纲小参数ε，设qw=εqw，qv=εqv，Awi=ε3Awi，Avi=ε3Avi。并取阻尼系数项和面内激励项为O（ε2）阶，并设解的形式为：

同样将式（16a）和式（16b）代入式（15a）和式（15b）中，并按照ε的幂次进行整理，可以得到下列方程：

3 算例分析与讨论

3.1 响应对比

在下面进行结果分析和讨论过程中，选取Pont de Normandie桥［18］的典型索参数进行研究，其基本参数如表1所示。

表1 斜拉桥典型索参数Table 1 Typical cable parameters of cable stayed bridge

考虑拉索需满足小变形假设，即垂跨比小于0.1，故取索力范围为［6 900 kN，10 000 kN］。因此在面内分布外激励条件下，通过独立改变拉索的索力T，并采用雅可比矩阵法对方程（13）和方程（18）进行求解，同时利用MATLAB 软件进行数值分析，从而得出每个索力下的幅频曲线图。文中以索力7 000 kN 为例，给出其幅频曲线如图2所示。

图2 幅频曲线Fig.2 Frequency-response curves

图2 中（a）描述了根据频响方程计算出的索不计入内共振时面内振动的幅频曲线，图2 中（b）描述了根据方程组计算出的索计入内共振时的幅频曲线，图2（a）和（b）中粗实线表示面内稳定，粗虚线表示面内不稳定，细实线表示面外稳定，细虚线表示面外不稳定，并且响应仅考虑面内外的一阶对称模态幅值。由图2（a）和（b）中对比可以看出，位于幅频曲线a点时，2种振动只含有面内响应；在b点时，计入内共振的幅频曲线出现了面外振动，且面内振动响应未达到跳跃点；在c 点时，2 种振动的幅频曲线中的面内响应都已超过跳跃点，且计内共振时的幅频曲线仍存有面外振动响应。综上所述，不计内共振时的面内主共振响应和计内共振时的面内主共振响应在不同的点处存在差异。因此为了研究内共振对拉索瞬时相频特性的影响，需要对幅频曲线图（2）中a、b、c这3点分别进行分析。

把图2 中a、b、c这3 个点所代表的值代入式（14）和式（20a）中得到不同索力下的时程曲线，以索力7 000 kN 为例，给出时程曲线图，如图3 所示。

图3 时程曲线对比图Fig.3 Comparison of time history curves

由图3的时程曲线图可知，在a点位置处，不计入内共振的面内振动响应时程曲线和计入内共振的面内振动响应时程曲线基本重合；在b点和c点位置处，计入内共振时面内振动响应的时程曲线和不计入内共振时面内振动相比都有一定程度的向下偏移，但c点处时程曲线的线型发生了较大的变化。由此可以看出，式（20a）中的面外振动引起的2倍频项和漂移项对面内时程曲线都有一定程度的影响，前者会改变时程曲线的线型，后者引起时程曲线向下偏移。因此可以推测瞬时相频特性受内共振的影响在3个点位置处亦有较大区别。

3.2 响应与激励的瞬时相位差

将未计入内共振的面内振动响应和计入内共振的面内振动响应以及面内分布外激励三者的时程曲线，分别进行Hilbert变换得到其瞬时相位，再把2种振动产生的响应瞬时相位分别与激励瞬时相位做差，分别得到两者响应与激励的瞬时相位差值。考虑差值在［-π，π］间变化，为便于分析和比较，故定义两者相位差的归一化参数：

式中：ΔPw为拉索未计入内共振面内振动响应瞬时相位与激励瞬时相位之差；ΔPwv为拉索计入内共振面内振动响应瞬时相位与激励瞬时相位之差，以7 000 kN 索力为例，绘制a、b、c 这3 处无量纲瞬时相位差的时程曲线，如图4所示。

图4 相位差时程曲线对比图Fig.4 Comparison of phase difference time history curves

由图4可知，Pw和Pwv两者的时程曲线在3个点处都呈现周期性。在a点处，Pw和Pwv两者的时程曲线基本一致；在b和c点处，Pwv的时程曲线和Pw的时程曲线相比，都有一定程度的向上偏移。在b点处，两者的线型基本一致，但在c点处，Pwv的时程曲线的线型发生了较大的变化，从而使得无量纲相位差达到最大0.858。由此也可以看出内共振对拉索的瞬时相位差有较大的影响。

因此，为了便于进一步对Pw和Pwv进行研究，后续分别选取两者最大幅值Pwmax和Pwvmax进行分析，用以讨论未计入内共振的面内振动和计入内共振的面内振动在不同索力下两者的瞬时相频特性的影响规律。在索力［6 900 kN，10 000 kN］范围内，取变化间隔为100 kN，从而提取不同索力T下的相位差时程曲线在同一个周期内的最大幅值Pwmax和Pwvmax，并且绘制出a、b、c这3点处Pw和Pwv两者的最大幅值随索力T变化的曲线图，如图5所示。

图5 Pwmax、Pwvmax随T的变化曲线图Fig.5 Curves of Pwmax and Pwvmax varying with T

由图5 可知，当响应处于a点时，Pwmax和Pwvmax随T变化的趋势一致，且两者幅值相差较小；当响应处于b点时，Pwmax和Pwvmax都随着T增大而减小，在6 900 kN 处两者最大值分别为0.21 和0.29；当响应处于c点时，Pwmax和Pwvmax也都随着T增大而减小，在6 900 kN处两者最大值分别为0.43和0.90，两者的差值达到最大。由此可知，无论响应处于a、b、c哪个点时，Pwmax和Pwvmax随着索力变化引起的变化趋势基本相同，但在b、c两点时，计内共振时最大相位差都要大于未计内共振时的最大相位差，且在c点处两者差值最大。

3.3 成因分析

为了解这种差异产生的成因，把a、b、c这3 点处时程曲线进行Hilbert 变换后求出的q(t)和～(t)（qw(t)和w(t)）分别作为横坐标和纵坐标，可绘制截取7 000 kN 索力幅频曲线a、c处的三维曲线中一个振动周期在复平面上的投影曲线对其进一步分析，且复平面投影曲线中曲线上任一点到原点的连线与横坐标正方向的夹角为该点的瞬时相位。

由图6中（a）和（c）两图相比可知，在a点处，计入内共振时面内响应的投影曲线线型为圆形，受到漂移项和两倍频的影响很小，且结合图4 可知在a点处计内共振时的复平面图中响应与激励的无量纲相位差达到最大时的时刻为21.4；在c点处，计入内共振时，投影曲线线型受两倍频的影响变成非圆形，且整体向左偏移，结合图4 可知此状态下复平面中响应与激励的无量纲相位差达到最大时的时刻为24.2。由图6 中（b）和（c）两图对比可知，在c点处，计入内共振后，响应投影曲线向左偏移变大，使得响应曲线整体平移至二三象限，因此响应与激励的相位差会接近π。由此可见，相位差的变化与面内引起漂移项有关，同时也受有内共振时面外引起的漂移项的影响。同时受两倍频的影响响应投影曲线在1/2 周期处出现向右的凹角，但未影响到响应瞬时相位大小发生改变。由此可知，凹角仅影响Pw和Pwv两者时程曲线的线型，不改变Pwmax和Pwvmax数值大小，但考虑内共振时，面外引起的两倍频会使凹角变大。

图6 复平面投影曲线Fig.6 Projection curvesin complex plane

可见Pw和Pwv的变化主要取决于漂移项，同时当计入内共振时，面外引起的漂移项会增大面内响应的整体漂移值，从而使得相位差发生变化。因此为了解内共振中面外引起的漂移项对其的影响关系，进一步展开定性分析。

3.4 漂移项影响的定性分析

由式（14）和式（20a）相比可知，考虑内共振时，面内振动响应近似解中不仅存在面内引起的漂移项，还存在面外引起的漂移项。又结合图6中（b）和（c）可知，考虑内共振时，近似解中面外引起漂移项对拉索的相频特性影响较大。为此，通过将面内外振动引起的漂移项都分离出来进行分析，令式中（20a）面内、外振动引起的漂移项分别为：

式中：Kw为面内引起的漂移项；Kwv为面外引起的漂移项，同时绘制c点处Kw、Kwv随T的变化曲线图，如图7所示。

图7 Kw、Kwv随T的变化曲线图Fig.7 Curves of Kw and Kwvvarying with T

由图7可以看出，Kw和Kwv曲线变化趋势与图5中c点处曲线变化趋势一致，在索力［6 900 kN，10 000 kN］范围内，Kw和Kwv均随着索力的增大而减小，且在6 900 kN索力处两者均达到最大。由此可见，当考虑内共振时，面外引起的漂移项需要着重进一步分析面外引起的漂移项在整体漂移项中的占比，故令面外引起的漂移项在整体漂移项所占比为：

由式（23）可知β与C1、C2、a2以及a3有关，且四者都与索力和激励频率有关，因此绘制出β随T和调谐参数σ2变化的三维曲面，如图8（a）所示，同时分别绘制其在σ2和T两个轴方向的曲线图如图8（b）和（c）所示。

图8 β随T和调谐参数σ2变化的曲线Fig.8 Curves of β varying with T and σ2

由图8（a）和（b）可知，当激励频率没有引起内共振时，β一直为零值。此时，面内响应与激励的瞬时相位差只受面内漂移项的影响；当发生内共振时，β值先急剧增大到一定程度后变为缓慢增大，最后变为平缓趋于一个定值。同时根据公式（23）知，β值的大小与面内响应幅值a2和面外响应幅值a3的大小有关，结合图2（b）可知，随着激励频率的增大，面内外响应幅值都在增大，由此可以推断当激励频率到达一定程度，面内外响应幅值的比值趋于一个定值。由此可知，发生内共振时，面内响应与激励的瞬时相位差还受到面外振动的漂移项的影响。结合图8（c）可知β值随索力逐渐增大呈先增大后减小的趋势。当在d点（σ2=0.3，T=7 700 kN）时，β值达到最大值0.22。因此，内共振的影响不容忽略。综上所述，从定性的角度可以采用参数β衡量内共振对响应与激励的瞬时相位差的影响，β越大其影响越大。