归纳与猜想的三步解题法

2022-03-08张代清

初中生学习指导·提升版 2022年2期

关键词：特例正三角形单项式

张代清

现以四道中考题为例，演练秦铎运老师在《归纳与猜想》直播课中讲授的三步解题法（“三步”即分析特例、猜想共性、推广应用）.

一、数式规律型

例1 （2021·云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）.

A. n2an B. n2 an - 1 C. n2an + 1 D.（n + 1）2an

解析：分析特例：各单项式的系数依次是12，22，32，42，52 ;a的指数依次是2，3，4，5，6，为所在项的序号加1.

猜想共性：通项为n2an + 1.故选C.

推广应用：（改编）按一定规律排列的单项式：-a2，4a3，-9a4，16a5，-25a6，…，第2022个单项式是20222a2023.

二、图形规律型

例2 （2021·湖南）图1中三个图形都是由边长为1的小正方形形成的网格，其中第一个图形有1 × 1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2 × 2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3 × 3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，第n个网格中所有线段的和为 .（用n表示）

解析：分析特例：第一个图形有1 × 1个小正方形，所有线段的和为4，4 = 4 × 1;第二个图形中有2 × 2个正方形，所有线段的和为12，12 = 4 × （1 + 2）;第三个图形中有3 × 3个正方形，所有线段的和为24，24 = 4 × （1 + 2 + 3）.

猜想共性：第n个图形中有n × n个正方形，所有线段的和为4 × （1 + 2 + 3 + … + n） = [4n（n+1）2] = 2n（n + 1），即第n个网格中所有线段的和为2n （n + 1）.故应填2n（n + 1）.

推广应用：（改编）第100个网格中所有线段的和为20 200.

三、坐标变化规律型

例3 如图2，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y = x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1 = 1，求点B2021的坐标.

解析：分析特例：由OA1 = 1得A1（1，0），根据△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…是等腰直角三角形，求得A1A2，B1A2，A2A3，B2A3…的长度分别为1，[2]，2，…，则B1（1，1），B2（2，2），B3（22，22），B4（23，23），…

猜想共性：Bn（2n﹣1，2n﹣1）（n ≥ 1且n是正整数），则B2021的坐标是（22020，22020）.

故应填（22020，22020）.

推广应用：（改编）第8个阴影的面积为[12 × 27 × 27 = 12 × 128 × 128 = 8192].

四、猜想论证型

例4 （2021·青海）观察下列各式：① [223=2+23];② [338=3+38]; ③[4415=4+415];…根据以上规律，请写出第5个等式.

解析：分析特例：①[223=2222-1=2+222-1=2+23];

② [338=3332-1=3+332-1=3+38];

③[4415=4442-1=4+442-1=4+415].

猜想共性：当n = 5时，[6662-1=6+662-1]，即[6635=6+635].

推广应用： [（n+1）n+1（n+1）2-1=（n+1）+n+1（n+1）2-1]（n ≥ 1，且为正整数）.

分层作业

难度系数：★★★ 答题时间：10分钟