基于特征值斜投影的主瓣干扰抑制方法

孟昊宇 杨小鹏，2 高 升 于智超

（1.北京理工大学信息与电子学院雷达技术研究所，北京 100081；2.北京理工大学重庆创新中心，重庆 401120）

1 引言

自适应波束形成技术是当下研究的热门话题之一，它主要应用于天线、雷达、声纳、通讯、医学传感器等领域［1］。典型的传统自适应波束形成算法，例如线性约束最小方差（LCMV，linearly constrained minimum-variance）准则自适应波束形成技术［2］、Capon滤波器［3］等常用于旁瓣干扰的抑制，有效地滤除旁瓣干扰的同时保持了目标信号的增益。但是随着电磁频段应用越来越丰富，电磁设备越来越多，干扰落入方向图主瓣范围内的概率大大增加，此时由于主瓣干扰的存在，若利用抑制旁瓣干扰的传统算法，会使天线的方向图发生主瓣畸变，峰值偏移，旁瓣电平抬高，性能将严重下降［4］。为减少以上由于主瓣干扰存在而产生的影响，新型的用于抑制主瓣干扰的自适应波束形成技术研究变得愈发重要。文献［5］中提出的基于特征投影预处理（EMP，eigenprojection processing）的自适应形成方法，该方法中主瓣干扰通过构建特征投影矩阵进行抑制，得到的方向图不再存在主瓣畸变，旁瓣电平抬高，但是仍然存在主瓣偏移［6］。基于特征投影预处理和协方差矩阵重构（EMP-CMR，eigen-projection processing and covariance matrix reconstruction）的方法在文献［7］中被提出，该方法在保留EMP 算法性能优点的基础上，经过重构接收快拍协方差矩阵，处理了EMP 中主瓣偏移的问题，但是由于在训练信号中缺少目标信号［8］，因此实用性不强。文献［9］中提出的主瓣干扰抑制算法是在大孔径稀疏天线的背景下完成的，由于大孔径稀疏阵列需要大空间摆放，因此在实际应用中，对于空间的要求过大，实用性较差。通过空域极化域联合处理虽然可以抑制主瓣干扰［10］，此方法在抑制主瓣干扰时对信号的极性有要求，对于不满足极性要求的信号，此方式不再适用。

针对上述方式存在的问题，本文以均匀线性阵列为例，在接收快拍信号中包含目标信号的情况下，通过构建特征值斜投影预处理矩阵，抑制主瓣干扰，同时经过对角加载的方式，对协方差矩阵完成白化处理，解决了协方差矩阵失配的问题，最终得到的算法自适应方向图主瓣未发生畸变以及峰值偏离的问题，同时保持了较低的旁瓣电平。

2 阵列模型及传统抑制主瓣干扰算法

2.1 阵列模型

考虑一个窄带均匀线性阵列，由Z个全向性天线阵元等间距排列而成，天线阵元间的距离为d，其中d=λ/2，λ为雷达信号的波长。假设雷达被Q+1 个互相独立的窄带远场信号照射，其中干扰信号和目标信号的信源数分别为Q和1，且满足Q+1＜Z。当雷达各通道的接收噪声是加性高斯白噪声，且噪声满足均值为零、方差为σ2、各个通道间相互独立时，天线阵列的接收信号可以表示为

式中，X(t)表示Z×1 维的雷达接收矢量，阵列流形矩阵表示为A(θ)=[a(θ0)，a(θ1)，…，a(θQ)]，a(θ0)表示目标信号的导向矢量，θ0表示目标信号的到达方位信息，a(θq)(q=1，…，Q)表示干扰的导向矢量，θq(q=1，…，Q)表示第q个干扰信号的到达方位信息，雷达接收信号的复包络信息由(Q+1)×1维向量S(t)=[s0(t)，s1(t)，…，sQ(t)]T表示，s0(t)表示目标信号复包络，sq(t)(q=1，…，Q)表示第q个干扰复包络，N(t)表示Z×1 维的高斯白噪声矢量。天线接收信号的协方差矩阵在接收到的信号与噪声之间满足统计意义上互相独立的情况下可以表示为

其中Rs表示目标干扰协方差矩阵，I表示Z×Z维的单位矩阵。在实际中，因为雷达接收快拍数据有限，R无法被精确得到，所以常使用采样协方差矩阵对接收信号的协方差矩阵进行估计。在接收信号快拍数为N的情况下采样协方差矩阵可以表示为

典型的权矢量可以根据最小均方误差准则（MMSE，minimum mean square error）得到

当干扰中存在一个主瓣干扰的情况下，阵列接收模型计算出的权向量所绘制的方向图主瓣发生畸变，并且旁瓣电平被显著抬高，致使抗干扰性能严重恶化。

2.2 基于特征投影预处理（EMP）的自适应波束形成算法

EMP 算法首先将特征值分解的处理方法应用于接收信号的协方差矩阵中

其中，接收信号采样协方差矩阵的第z个特征值和特征向量分别由λz与uz表示，假定特征值满足λ1≥…≥λQ≥λQ+1≥…≥λZ降序排列的标准，依据子空间理论，采样协方差的特征向量张成的空间包含了子空间Us表示接收信号对应的空间以及子空间Un表示噪声对应的空间。由自适应方向图和特征值以及特征波束的关系，为尽可能降低主瓣干扰对方向图的影响，需找到主瓣干扰对应的特征向量

其中，ξ表示一个常数因子，当特征向量umi满足上式时，即可判断其为主瓣干扰对应的特征向量，由此可以构建特征投影矩阵BEMP为

其中I表示单位矩阵，将特征投影矩阵与接收信号相乘，即可得到抑制主瓣干扰的信号，处理过程为

则YEMP(t)为处理后的接收信号，此时主瓣干扰已被滤除，随后对其进行传统自适应波束形成算法处理，即可得到最终结果。虽然上述方法有效地抑制了主瓣干扰，但是式（6）中的常数因子ξ不容易确定，并且得到的波束方向图面临主瓣峰值偏移的问题。

2.3 基于特征投影及协方差矩阵重构（EMPCMR）的自适应波束形成算法

为有效地解决上述EMP 算法存在的主瓣峰值偏离的问题，同时保留其算法对于主瓣干扰的抑制能力，学者提出了基于特征投影及协方差矩阵重构的自适应波束形成算法，其与EMP 算法相比，EMPCMR 对主瓣干扰特征向量的判别方式进行了改进，增加了算法的可靠性。

首先定义两个向量a1与a2的相关性为

依据式（9）计算主瓣峰值方向的导向矢量a(θ0)与干扰信号的特征向量uq(q=1，…，Q)的相关性，得到最大的相关系数即是主瓣干扰对应的特征向量umi，表示如下

除此之外，EMP-CMR 的方法在得到经过特征投影矩阵预处理的接收信号以后，对采样协方差矩阵进行重构，重构方式为将主瓣干扰的特征值替换为噪声功率。

λmi为主瓣干扰对应的特征值，为消除噪声扰动的影响，将采样协方差中噪声对应的特征值全部替换为噪声功率值，即λQ+2=…=λZ=σ2，重构后的协方差矩阵为

其中，U=[Us，Un]表示接收信号特征值分解后的特征向量，=diag[λ1，…，σ2，…，λQ+1，σ2，…，σ2]表示重构后的特征值矩阵。

3 基于特征值斜投影的主瓣干扰抑制算法

EMP 虽然成功抑制了主瓣干扰，消除了主瓣畸变以及旁瓣电平的抬高，但是仍面临峰值偏移的问题。EMP-CMR 虽然解决了EMP 中存在的问题，但是由于其预处理矩阵中未考虑目标信号的信息，因此接收快拍信号中存在目标信号的情况下，会出现目标信号相消的现象，进而导致主瓣峰值发生偏离。为解决此问题，本文提出了基于特征值斜投影的主瓣干扰抑制算法。

3.1 斜投影算子

考虑两个列满秩的矩阵Ξ和Ω组合成一个新的矩阵Ψ=[Ξ，Ω]，新组成的矩阵Ψ的列秩小于行数，且Ξ的列向量与Ω的列向量线性无关。依据斜投影的理论，沿着子空间Range(Ω)的平行方向，到子空间Range(Ξ)上的投影算子表示为

式中，O表示零矩阵，同理得到沿着子空间Range(Ξ)的平行方向，到子空间Range(Ω)上的投影算子EΩ|Ξ。依据正交投影理论，正交投影算子ΨΞΩ可以表示为

将矩阵进行分块处理，并对分块后的矩阵求逆，即可得到两个列满秩矩阵在合成矩阵上的正交补空间

3.2 特征值斜投影预处理

首先，将两个列满秩矩阵分别看作是主瓣干扰特征向量矩阵以及副瓣干扰特征向量与目标信号导向矢量矩阵，并进行特征斜投影矩阵的构造，具体处理过程如下。

通过特征值分解，可以得到信号干扰张成的子空间，通过主瓣干扰特征向量的判别方式，我们得到一个子空间，其表示主瓣干扰并由主瓣干扰的特征向量张成，将其记为Umi=[umi]，其为列满秩矩阵，可以将其视为3.1 中的矩阵Ω。因此可以得到主瓣干扰子空间的正交补空间可以表示为

同理，可以得到另外的一个子空间，其由副瓣干扰特征向量与目标信号导向矢量张成，将其记为表示副瓣干扰张成的子空间。为列满秩矩阵，可以将其视为3.1中的矩阵Ξ，并由此计算斜投影算子EΞ|Ω，即可得到特征值斜投影预处理矩阵

最终，对接收信号进行特征值斜投影预处理，得到处理后的信号

由斜投影算子的性质得知，处理后的信号主瓣干扰的影响已被剔除，同时保留了目标信号的信息。

3.3 自适应波束形成

对处理后的信号进行自适应波束形成算法，首先求其协方差矩阵，可以得到

由式（19）可以看出，处理后信号的协方差矩阵，噪声项表示一个有色噪声项，因此产生了协方差矩阵失配的情况，采用对角加载的方式消除协方差矩阵失配，即对处理后的信号协方差矩阵进行白化处理［11］，得到白化后的协方差矩阵为

在白化过程中需要对噪声功率进行估计，估计方式为处理前信号张成的噪声子空间对应的特征值的平均值。将白化处理后的协方差矩阵，带入自适应波束形成准则，即可得到自适应权矢量为

通过上述方式可以在接收快拍数据中包含目标信号的情况下，有效地滤除主瓣干扰，同时减少了目标信号的损失。

4 仿真验证

假设一个窄带均匀线性阵列由16 个全向性阵元排列组成，阵元间距为雷达接收信号波长的一半，假设接收快拍信号中包含目标信号的个数为1，入射方向为0°，信噪比为0 dB。干扰个数为4，其中主瓣干扰，旁瓣干扰的个数分别为1 个、3 个，干扰分别从2°，-15°，20°，30°入射，由于16个阵元的均匀线阵3 dB主瓣宽度约为3.2°，因此2°的干扰落入主瓣内，成为主瓣干扰，其余三个干扰为副瓣干扰。假设各个干扰之间，干扰与目标信号之间相互独立，且主副瓣的干噪比分别为35 dB和45 dB。噪声为加性高斯白噪声，快拍数为100，得到的仿真结果如下。

图1 表示EMP 方法形成的波束方向图，图2 表示了EMP-CMR 方法形成的波束方向图，图3 方向图为本文算法绘制的方向图，通过与静态方向图（QUI，quiescent）的对比可以看出，由仿真结果可以看到，EMP 和EMP-CMR 以及所提方法均可有效剔除主瓣干扰，主瓣未发生畸变并且保持较低的旁瓣电平。但是在接收信号中存在目标信号的情况下，EMP 和EMP-CMR 都存在一定程度的主瓣偏移，而所提方法主瓣未发生偏移。因此，所提方法的抗主瓣干扰性能优于EMP和EMP-CMR方法。

图4 在上述的参数背景下，对比了随着雷达接收到的快拍数从小逐渐增加的情况下，理想输出SINR（信干噪比，signal to interference plus noise ratio），本文算法输出SINR，EMP-CMR 算法输出SINR以及传统自适应波束形成算法（ABF，adaptive beamforming）的输出SINR 的情况。快拍数由10 至100变化，可以看出相对于其余两种算法，本文提出的算法具有更高的输出SINR 且收敛速度更快，因此在接收快拍数据中存在目标信号的情况下，本文所提算法具有更优越的性能。

图5 在同样的参数背景下，对比了ABF 算法，EMP-CMR 算法以及本文算法的输出SINR 随主瓣干扰角度变化的曲线。观察曲线可以得出，当主瓣干扰角度不断靠近目标信号时，主瓣干扰与目标信号的空间相关性增强，因此抑制主瓣干扰的过程中会造成目标信号的损失，导致输出SINR 变小。当主瓣干扰角度与目标信号角度重合，即主瓣干扰角度为0°的情况下，二者的空间相关性达到最大，此时输出SINR 最小。EMP-CMR 算法由于模型中未考虑目标信号，因此当主瓣干扰与目标信号空间相关性加强时，其输出SINR 下降更为明显。而本文所提算法由于一定程度上保留了目标信号的信息，因此无论主瓣干扰角度如何变化，算法始终保持各算法中的最高输出SINR。

图6中展示了ABF算法，EMP-CMR算法以及本文算法的输出SINR 随输入SNR 变化的曲线。本文所提算法在输出SNR 从0 到25 变化的过程中，输出SINR先增加后减小，且相较于其余算法保持较高的输出SINR水平。

5 结论

本文提出了一种基于特征值斜投影的主瓣干扰抑制算法。通过构建特征值斜投影预处理矩阵，抑制了主瓣干扰并且减少了目标信号的损失，随后通过对角加载的方法消除协方差矩阵失配的问题，对协方差矩阵实现白化处理。通过仿真发现，相比于已有方法，本文所提方法的方向图未出现峰值偏移的问题且具有更优的输出信干噪比性能。