非均匀噪声环境下基于MISC阵列的自适应波束形成方法

马立斯 何培宇 崔 敖 喻伟闯

（四川大学电子信息学院，四川成都 610065）

1 引言

自适应波束形成是阵列信号处理中的一项基本技术，广泛地应用于雷达、声呐、射电天文学和无线通信等领域［1-4］。在实际中，由于接收信号快拍数的限制、期望信号角度失配、以及期望信号包含在接收数据中等原因，自适应波束形成器的性能会下降［5］。因此，增加自适应波束形成器的鲁棒性是很有必要的。

嵌套阵和互质阵是最具代表性的两种非均匀线阵（Nonuniform Linear Array，NLA），因为它们不仅能够有效地增加阵列孔径和自由度，还能够提供计算阵元位置的闭式表达式［6-8］。然而，由于嵌套阵中包含一个密集的均匀线阵（Uniform Linear Array，ULA），对于物理阵元间的互耦效应较为敏感［9］。互质阵的物理阵元位置比嵌套阵更稀疏，但差分优化阵中存在“孔洞”，导致差分优化阵中连续阵元数的降低。最大阵元间距约束（Maximum Inter-element Spacing Constraint，MISC）阵列结合了互质阵与嵌套阵的优势，提供更大自由度的同时，物理阵元位置更加稀疏，进而有效的减小了互耦的影响［10］。因此，本文选择MISC 阵列进行自适应波束形成器的设计。

目前的自适应波束形成主要集中在ULA 中，对于NLA 的自适应波束形成研究较少。文献［11］中提出了一种基于互质阵列的自适应波束形成方法，通过互质阵虚拟差分优化阵的Capon 空间谱，估计入射信号的角度及功率，最后利用积分或者求和重建干扰加噪声协方差矩阵（Interference plus Noise Covariance Matrix，INCM），进而设计出两种波束形成器。然而使用差分优化阵的Capon空间谱来进行估计并不够准确，导致输出信干噪比有了一定的损失。文献［12］中提出了一种基于互质阵的自适应波束形成算法，通过将互质阵分解为两个稀疏均匀子阵来进行入射信号波达方向（Direction of Arrival，DOA）和功率的估计，然后重构INCM。然而将互质阵进行分解，减少了原本阵列的自由度，可以利用的自由度受到子阵的传感器数量的限制。文献［13］中也提出了一种基于互质阵重建INCM 的波束形成算法，但需要知道每个干扰的入射角度所在区域。文献［14］通过对互质阵虚拟差分优化阵的协方差矩阵进行插值，从而填补差分阵“孔洞”中的信息，能够充分的利用差分优化阵的自由度，进而更加准确地重建INCM。

然而，以上方法都是基于均匀噪声设计的。当每个传感器上的噪声功率不一样时，会导致以上方法对噪声功率估计不准确。这是因为以上方法都是以协方差矩阵的最小特征值作为噪声功率的估计，在非均匀噪声存在的情形中，这种估计会带来一定的误差，从而导致INCM 的重建不够准确，最终影响波束形成器的性能。

因此，本文在各传感器噪声功率非均匀的背景下，提出了一种基于MISC 阵列的自适应波束形成算法。通过矩阵补全技术得到无噪声协方差矩阵的估计，从而确定非均匀噪声协方差矩阵。然后，对信号的导向矢量和功率进行估计，进而重建INCM。得益于估计的非均匀噪声协方差矩阵和MISC 阵列虚拟差分优化阵提供的高自由度，本文算法能够在非均匀噪声环境下，更加准确地重建INCM。仿真实验的结果验证了所提算法能够优于所有对比算法，获得更高的输出信干噪比。

2 MISC阵列信号模型

MISC 阵列是基于给定阵元间距为任意数量的传感器构建的。设Pd表示最大的阵元间距，Ad表示阵元间距集，d=，λ表示入射信号的波长。则MISC 阵列传感器的位置可以由P和A 决定。MISC阵列P和A的表达式如下［10］：

MISC 阵列的阵列结构如图1 所示。因此，对于任意给定的阵元数M(M≥5)，可以算出对应的P，进而确定阵列的SMISC。

MISC阵列的差分优化阵位置集DMISC定义为：

假设有K+1 个非相关的远场窄带信号入射到由M个阵元组成的MISC 阵列。其中，期望信号的入射角度为θ0，K个干扰的入射角度分别为{θk，k=1，2，…，K}。则t时刻MISC阵列的接收信号为：

式中，xs(t)=a(θ0)s0(t)，xi(t)=，以及n(t)∈CM×1分别表示统计独立的期望信号成分、干扰信号成分和噪声成分。sk(t)表示第k个入射信号，a(θk)∈CM×1表示对应的信号导向矢量，n(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T表示不相关的零均值复高斯噪声矢量，即n(t)～CN(0，Q)，噪声协方差矩阵Q为：

式中，E[·]表示求统计期望，(·)H表示共轭转置，q=表示第m个阵元上的噪声功率，diag{·}表示由括号内元素构成的对角矩阵。

MISC 阵列输出信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）为：

该最小化问题的解为［15］：

3 提出算法

本文提出了一种非均匀噪声情况下，基于MISC阵列的自适应波束形成算法。从波束形成器权矢量表达式（9）可以看出，权矢量w取决于Ri+n和a(θ0)。在知道具体阵列结构的前提下，a(θ0)取决于期望信号的DOA 估计θ0；根据Ri+n的计算公式（7），重建INCM 需要干扰信号的DOA 估计θk(k=1，2，…，K)，对应的干扰功率，以及Q。

因此，本文通过估计无噪声协方差矩阵，得到Q；然后，基于估计的无噪声协方差矩阵，对各信号的入射角度和功率进行估计，进而得到期望信号的导向矢量，重建INCM；最后计算出波束形成器的权矢量。

3.1 无噪声协方差矩阵的估计

阵列接收信号协方差矩阵为：

式中，R0定义为无噪声协方差矩阵：

式中，A=[a(θ0)，a(θ1)，…，a(θK)]∈CM×(K+1)，Ps=∈R(K+1)×(K+1)分别表示阵列流形矩阵和入射信号协方差矩阵。

对于一个低秩矩阵，知道矩阵中的部分元素，可以通过矩阵补全精确的恢复出未知的元素［16-17］。而当我们知道R时，就几乎知道了R0除了对角元素以外的元素。因此，R0的估计可以看作一个矩阵补全问题。然而，要将R0准确的从R中恢复出来，要求K+1 比M小很多。为了保证能够准确的从R中获得R0和Q，需要满足［18］：

根据以上分析，R0的估计可以通过求解一下秩最小优化问题［19］：

式中，A(·)表示矩阵的所有主对角元素由0 代替，其余元素不变，rank(·)表示求括号内矩阵的秩。由于矩阵秩的优化问题是NP-hard 问题，通常使用核范数最小化来近似求解［16-17］。又因为R0是半正定Hermitian矩阵：

式中，‖·‖*表示矩阵的核范数，trace(·)表示矩阵的迹。同时考虑到实际中，由于快拍数的限制，通常使用采样协方差矩阵代替R，式（13）中的等式约束难以满足，故式（13）可以等效为［19］：

式中，‖·‖F表示Frobenius 范数，⊕表示Hadamard积运算，J是一个M×M的矩阵，主对角线全为0，其余元素都是1，ξ＞0是一个常数。

式中，D(·)表示由括号内矩阵主对角元素组成的对角矩阵。

3.2 入射信号DOA和功率的估计

式中，∑s∈C(K+1)×(K+1)和Us∈分别表示由Rv的K+1个大特征值构成的对角矩阵和其对应的K+1 个特征向量构成的矩阵，∑n∈和Un∈分别表示由Rv的-K个小特征值构成的对角矩阵和其对应的-K个特征向量构成的矩阵。

因此，MUSIC空间谱为：

式中，v(θ)是虚拟差分优化阵的导向矢量：

因此，可以通过寻找空间谱PMUSIC的谱峰来估计入射信号的DOA。假设期望信号的入射角度位于角度范围Θ中，而是Θ以外的所有角度区域。则Θ中的最大谱峰为期望信号的DOA 估计，而中最大的K个谱峰分别为K个干扰信号的DOA 估计。

入射信号功率的估计，可以通过求解如下的最小二乘问题：

然后，干扰加噪声协方差矩阵可以重建为：

本文提出算法的主要步骤如下：

5）通过谱峰搜索，获得所有信号的DOA 估计，进而得到对应的信号导向矢量。

6）求解最小二乘问题式（24），得到信号的功率估计Γ。

4 仿真实验

本节通过输出SINR 的比较来评估本文所提方法的性能。在所有仿真实验中，均采用阵元数M=10 的MISC 阵列，即各物理阵元分别位于[0，1，4，10，16，22，28，30，33，35]d。假设期望信号的入射角度θ0=5°，两个干扰信号的入射角度分别假设为θ1=-50°，θ2=-20°。噪声在空间上是非均匀的，协方差矩阵Q=diag{q}，其中：

信噪比（signal-to-noise ratio，SNR）与干噪比（interferenceto-noise ratio，INR）分别定义为：

每个传感器上的INR为30 dB。对于输出SINR的比较，当输入SNR 变化时，快拍数固定为500；当快拍数变化时，输入SNR 固定为20 dB。对于情况3，输入SNR 固定为20 dB，快拍数固定为500。每一种情况均进行了500次蒙特卡洛实验。

本文算法与对角加载波束形成算法［21］，基于特征子空间的波速形成算法［22］，求和重构波束形成算法［11］，插值重构波束形成算法［14］进行对比。需要指出的是，虽然所有方法都使用了MISC 阵列的接收信号，但每一个对比算法还是采用它们各自的方法获取对应的权矢量。此外，由于DMISC没有“孔洞”，故对于插值重构算法，省去了插值步骤。对于本文算法与［11，14］中的算法，假设期望信号入射角度所在范围Θ=[θ0-5°，θ0+5°]，则=[-90°，θ0-5°)∪(θ0+5°，90°]，参数ξ=1。对于对角加载算法，对角加载因子为。CVX 工具箱［20］用于求解所有算法中的优化问题。

4.1 情况1：准确知道期望信号导向矢量

在第一种情况中，假设准确知道期望信号的导向矢量。每一种算法的输出SINR 与输入SNR 和快拍数的关系分别如图2和图3所示。

从图2可以看出，所有算法的输出SINR 均随着输入SNR 的增加而增加，但对角加载算法和特征子空间算法在高SNR 时输出SINR 逐渐趋向平缓，这是由于算法所采用的采样协方差矩阵中包含有期望信号成分，出现了信号自相消现象，导致输出SINR 有了一定的损失，并且随着输入SNR 的增加，输出SINR 的损失变得更加明显。剩下的三种算法基于重建的思想，去除了INCM 中的期望信号成分，所以能够有效的克服信号自相消问题，即使在高SNR 时也能获得较好的结果。相较于求和重构算法和插值重构算法，本文算法由于通过矩阵补全算法对非均匀噪声的功率进行了准确的估计，以及MISC阵列虚拟差分优化阵提供了高自由度，能够更加准确地重建INCM，所以能够在整个输入SNR 变化范围内得到最优的结果。从图3 可以看出，当快拍数在100 到1000 之间时，本文算法能够优于其他所有对比算法，输出SINR更高。

4.2 情况2：观测方向存在随机误差

在第二种情况中，假设所有入射信号的观测方向误差在[-4°，4°]中均匀分布。期望信号的真实入射角度为[1°，9°]中的任意值，两个干扰信号的真实入射角度分别为[-54°，-46°]和[-24°，-16°]中的任意值。信号的入射角度在不同的蒙特卡洛实验中变化，但在每一次蒙特卡洛实验中固定不变。每一种算法的输出SINR 与输入SNR 和快拍数的关系分别如图4和图5所示。

从图4 可以看出，由于采样协方差矩阵中的期望信号成分，以及信号观测方向存在的误差，对角加载算法和特征子空间算法在高信噪比时产生了较大的性能损失。由于MISC 阵列虚拟差分优化阵提供了更高的自由度，本文算法能够更加准确地估计信号导向矢量和功率；同时，还对非均匀噪声的协方差矩阵进行了准确估计，从而能够更加准确地重建INCM。因此，本文算法所得结果优于求和重构算法和插值重构算法。从图5 可以看出，当快拍数在100 到1000 之间时，本文算法能够优于其他所有对比算法。

4.3 情况3：非均匀噪声环境的影响

在情况3中，比较了不同非均匀噪声环境下，各算法的输出性能。定义最差噪声功率比WNPR=，其中分别表示各传感器中的最大和最小噪声功率。假设各传感器上的噪声功率从1 到线性增加，即第m个传感器上的噪声功率，随着从1 到100 变化，WNPR 也从1 到100 变化，当=1时，阵列上的噪声功率相等。准确知道期望信号导向矢量、观测方向存在[-4°，4°]随机误差两种情况下，每一种算法的输出SINR 与WNPR 的关系分别如图6（a）和（b）所示。

从图6（a）和（b）可以看出，对于这两种情况，由于通过矩阵补全估计了噪声协方差矩阵，准确估计了非均匀噪声的功率，同时MISC 阵列虚拟差分优化阵提供了更高的自由度，对入射信号的DOA 与功率估计更加准确，本文算法能够在非均匀噪声情形中更加准确地重建INCM。因此，从图中能够看到，当1＜WNPR≤100 时，本文算法能够获得比其他对比算法更好的结果。

5 结论

本文在非均匀噪声背景下，提出了一种基于MISC 阵列的自适应波束形成算法。由于通过矩阵补全技术，对非均匀噪声功率进行了准确的估计，以及MISC 阵列虚拟差分优化阵提供的更高自由度，本文算法能够在非均匀噪声情形中更加准确地重建干扰加噪声协方差矩阵。仿真实验也验证了本文所提算法能够在存在非均匀噪声和信号观测方向随机误差时，优于对比算法，输出SINR 更高。然而，本文算法引入矩阵补全技术估计噪声功率，限制了入射信号的个数，当入射信号个数多于阵元个数的一半时，估计性能将有所下降。如何在入射信号较多时，准确地估计出非均匀噪声的功率还有待未来进一步的研究。