带残余频偏的QPSK-DSSS信号参数盲估计

张天骐 陈显露 孟 莹 王晓烨

（重庆邮电大学通信与信息工程学院，信号与信息处理重庆市重点实验室，重庆 400065）

1 引言

直接序列扩频（Direct Sequence Spread Spectrum，DSSS）技术因其将信号的频谱展开使得信号功率谱密度较低，在通信中不易受噪声干扰和不易被非合作方截获，因此在军事通信以及民用通信方面都得到了广泛应用［1-4］。为了充分利用信道资源，同时提高信号的抗干扰和抗衰落能力，发射端往往会对待发信号进行载波调制。常用的数字调制方式包括幅度键控（Amplitude Shift Keying，ASK）、频移键控（Frequency Shift Keying，FSK）、相移键控（Phase-Shift Keying，PSK）和正交幅度调制（Quadrature Amplitude Modulation，QAM）。其中PSK 是其广泛采用的调制方式。在合作通信中，接收端根据发射端提供的信息可以较容易的实现信号解调和解扩从而得到原始信息。然而，在非合作通信中，发送端没有提供任何信息，若想获取传输信号中的有用信息需先估计出伪码序列，因此需要估计出载频、伪码速率以及伪码周期等先验信息以便进一步恢复伪码序列。

针对基带DSSS 信号或者二相相移键控（Binary Phase Shift Keying，BPSK）调制DSSS 信号的参数估计，目前已有较多的研究。文献［5］提出利用信号时域延迟相关的方法检测DSSS信号，同时实现伪码速率的估计。文献［6］首先对信号进行分段，组成数据矩阵，再利用其自相关矩阵的主分量特征向量结合时域延迟相关法实现了DSSS 信号伪码码片速率的估计。1986年W.A.Gardner提出循环谱密度函数的概念，并推导了常用的模拟调制和数字调制信号的循环谱［7-9］。循环谱密度函数含有功率谱中不存在的表征信号特征的谱线。而高斯噪声不具备任何循环特征，故其在循环频率轴上没有谱线输出，因此利用循环谱理论对信号的载频和伪码码片速率进行估计可以很好地抑制噪声对估计性能的影响。文献［10］根据BPSK-DSSS 的二阶循环平稳特性，利用循环谱在非零循环频率截面谱峰的位置和幅值大小对信号码片速率、载频和幅度等参数进行了估计。文献［11］利用循环统计量实现了BPSK-DSSS 信号的检测，同时根据信号二阶循环统计量的关系式选取合适的时间间隔，由对应的二阶循环统计量切片对载频和伪码速率进行估计。此外载频估计的常用方法还有倍频法，可实现对载频的粗略估计。文献［12］利用小波变换实现了伪码码片速率的估计。

针对伪码周期的估计，文献［13］提出了波动相关法，可实现基带DSSS信号的伪码周期估计。文献［14］提出了对基带DSSS信号的功率谱进行二次处理的方法，文献［15］证明了该方法在带残余频偏的BPSKDSSS信号伪码周期估计中仍然适用。文献［16］和文献［17］通过信号的四阶累积量的二维切片实现了载频和伪码周期的盲估计。文献［18］提出了一种适用于基带DSSS信号伪码周期估计的相关熵法。

目前的研究对象基本都是基带DSSS 信号和BPSK-DSSS 信号，对正交相移键控（Quadrature Phase Shift Keying，QPSK）调制DSSS 信号的参数估计研究较少。文献［19］对QPSK-DSSS 信号进行平方，再延迟相乘，所得信号的实部含有表征伪码码片速率和伪码周期等信息的离散谱线，利用此特性可实现QPSKDSSS信号的参数估计，原理简单但该方法的估计性能较差。同时，在非合作通信中，接收端对载频的估计往往存在误差，而且为了使有用信号能够避开诸如1/f等低频脉冲噪声，接收端下变频处理后信号是带残余频偏的。目前对带残余频偏的QPSK-DSSS信号参数估计还没有研究。因此，本文对其展开了研究。（1）将二次谱应用到带残余频偏的QPSK-DSSS 信号伪码周期估计中，研究表明，该方法对于伪码周期的估计性能不受残余频偏大小的影响。（2）利用循环谱截面实现带残余频偏的QPSK-DSSS信号残余频偏大小和伪码码片速率估计。首先推导出带残余频偏的QPSK-DSSS 信号的循环谱表达式，根据该信号循环谱在不同频率和循环频率处所呈现的特性，实现残余频偏大小和伪码码片速率的估计。

2 系统模型

QPSK-DSSS通信系统发送端模型如图1所示。

信息序列经过串并转换器后进入同相（Inphase，I）和正交（Quadrature，Q）两条支路，而后两条支路利用具有相同周期和相同伪码码片宽度的不同伪码序列对进入支路的信息序列进行扩频调制，再利用相互正交的载波对扩频信号进行载波调制后送入带通滤波器，最后相加形成QPSK-DSSS 信号。QPSK-DSSS信号表示为：

其中A为信号幅度，φ0为调制的随机初始相位，c(t)=∈{±1}，分别为I 路和Q 路的信息序列，其码元宽度为T0。g（t）为切普脉冲。PNi(t)=，(i=1，2)，为I、Q 两路的伪码序列。其中pi(t)=g()t-kTc，pi(k)∈{±1}，为一周期伪码序列。N为一周期伪码序列长度，Tc为伪码码片宽度，故伪码序列的周期为NTc（本文扩频调制采用一周期伪码序列调制一位信息码，所以T0=NTc）。I(t)=Ac(t)PN1(t)，Q(t)=Ad(t)PN2(t)。考虑工程实际情况，I（t）和Q（t）满足：

QPSK-DSSS系统接收端模型如图2所示。

接收到的信号表示为：

式中Tx（0≤Tx＜T0）表示接收信号的随机初始相位，θ=-2πfcTx。w（t）是标准差为σw的零均值高斯白噪声。本文假设信号与噪声相互独立。

利用本地载波f0对r（t）分两路进行下变频。因为有f0≠fc，fc=f0+fΔ，且f0＞＞fΔ，其中fΔ表示残余频偏。所以：

其中Δθ(t)=2πfΔt+φ0+θ。

因此，经过图2处理后输出：

3 伪码周期估计

信号的功率谱可通过信号的自相关函数再傅氏变换得到。根据公式（2），推得信号x（t）的自相关函数为：

由于w（t）是高斯白噪声，其实部与虚部相互独立。故：

由文献［15］可得c（t）和PN1（t）的自相关函数分别为：

分别对公式（9）和公式（10）作傅氏变换即可得到c（t）和PN1（t）的功率谱密度：

从而可得有用信号的功率谱密度为：

在工程上，有T0≫Tc，即N≫1，引用δ(x)=，化简式（13）为：

因为|exp(-j2πefΔ)|2=1，所以

由式（17）可得，带残余频偏的QPSK-DSSS 信号二次谱周期性的出现一些尖锐三角形脉冲，此周期即为伪码周期。同时由式（16）可以看到，在对进行傅里叶变换并取模平方处理后消除了残余频偏项，因此利用信号的二次谱进行伪码周期估计不受残余频偏的影响。

由公式（8）可得噪声的功率谱密度Sw(f)=，从而有：

从式（18）可以看到，高斯噪声的二次谱不具有任何周期性。利用有用信号的二次谱和噪声的二次谱的不同特性，可提取到伪码的周期信息，具体步骤如下：

a.取一段时间的信号，求其功率谱；

b.再对功率谱进行傅氏变换，对结果取模的平方，即得二次谱；

c.取下一段相同持续时间的信号，重复步骤a和b，将所得的二次谱进行累加；

d.当累加后的二次谱保持稳定时，在一定范围内搜索二次谱的局部最大值，局部最大值对应的二次谱频率的相邻间隔即为伪码周期的估计。

4 残余频偏和伪码速率估计

4.1 循环谱的基本理论

在数字信号处理中，大多都默认信号具有统计平稳特性。但实际中，多数人为信号（比如ASK、FSK、PSK 等调制信号）的参数随时间呈现周期性的变化，称这类信号为循环平稳信号。假设随机信号x（t）是二阶循环平稳的，则其自相关函数是时间的周期函数。将其展开为傅里叶级数，所得系数称为循环自相关函数，记为。通常x（t）是周期遍历的，可用时间平均代替统计平均计算，即：

其中α为循环频率，满足α∈{≠0}。T为信号持续时间。如果x（t）是平稳信号，则当且仅当α=0时，≠0。若≠0当且仅当α=，m为整数，则x（t）是纯循环平稳信号，周期为T0。若≠0，其中α不全等于，则x（t）是循环平稳信号。

信号x（t）通过线性时不变系统的输出为：

其中“⊗”表示卷积，h（t）为系统冲击响应，此时输入-输出信号的循环谱的关系为：

其中H（f）是系统函数h（t）的傅氏变换。

4.2 伪码速率估计

式（6）给出了接收到的带有残余频偏的QPSKDSSS信号为：

其中

其中q（t）是持续时间为Tc的切普脉冲。式b（t）可看作是随机过程I(t)+jQ(t)通过线性时不变系统的输出，系统冲激响应函数为：

其系统函数为：

其中K(f)=。将式（26）代入式（22）可得：

由于扩频序列的特性且I（t）和Q（t）是均衡的，则当且仅当k=0和α=时，不为零，其值为。进一步，可求得序列{I(nTc)+jQ(nTc)}的循环谱为：

其中m∈Z。直扩信号由周期的伪码序列调制而成，且伪码序列具有伪噪声的特点，因此=RI(0)=1，RI(0)是I(t)自相关函数RI(τ)在τ=0 处的值。

因为F(t)=exp[jΔθ(t)]的循环谱为：

从而可得有用信号的循环谱为：

由于高斯噪声是平稳噪声，当且仅当α=0 时，其循环谱不为零，因此x（t）的循环谱为：

利用循环谱估计残余频偏和伪码码片速率的步骤为：

a.对接收信号进行采样，取长度为L（L至少包含两伪码周期的采样点数）的数据，计算其循环谱；

b.取出下一段长度为L的信号，重复步骤a，将求得的循环谱进行累加；

5 计算机仿真及结果分析

实验说明：实验加入的噪声均为零均值的高斯白噪声。

实验一不同残余频偏下信号的功率谱与二次谱。采样频率fs=4000 Hz。设f1=fΔ/fs，表示归一化残余频偏。仿真分别取f1=0、f1=0.25和f1=0.375。I路和Q路的信息码均为20 bit。一周期伪码序列长度N=127 bit，伪码码片速率Rc=500 Hz，即码元宽度Tc=0.002 s。Tx=35Tc。信噪比SNR=-5 dB。功率谱与二次谱均进行100次累加。仿真结果如图3～图8所示。

图3～图8 展示了不同频偏下信号的功率谱和二次谱，从中可以看到，无论残余频偏是否存在，信号的二次谱都会周期性的出现一些尖锐的脉冲，根据这些脉冲对应的频率间隔即可估计出伪码周期。

实验二分析二次谱估计伪码周期的性能与频偏大小的关系。采样频率fs=4000 Hz，归一化残余频偏分别取f1=0、f1=0.1、f1=0.25。I路和Q 路的信息码均为10 bit。一周期伪码序列长度N=127 bit，伪码码片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。Tx=35Tc。信噪比取-13 dB～0 dB。二次谱做100次累加。进行500次蒙特卡洛仿真，伪码周期估计性能曲线如图9所示。

从图9 可以看到，利用二次谱估计伪码周期的估计性能不受残余频偏影响。当信噪比为-8 dB时，伪码周期估计正确率达到了1。

实验三带残余频偏的QPSK-DSSS 信号的循环谱三维图以及α=0 的频率截面图和f=fΔ的循环频率截面图。在无噪声干扰的理想情况下进行实验。采样频率fs=4000 Hz，归一化残余频偏f1=0.25，即fΔ=1000 Hz。I 路和Q 路的信息码均为10 bit。一周期伪码序列长度N=127 bit，伪码码片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。Tx=56Tc。数据分段长L=2048。仿真结果如图10所示。

图10（a）是信号循环谱的三维图，可以看到，信号的循环谱在α=0 这一平面有一个最大峰，取此平面，结果如图10（b）所示，根据前面的理论分析可知，峰值位置对应的频率即为残余频偏的估计。从图10（a）可以看到，循环谱关于α=0 平面对称，随着循环频率的改变间断性的出现一些小山峰，由理论推导可知相邻山峰的间隔即为Rc，取f=fΔ时的循环谱截面可以更清晰的观察到，结果如图10（c）所示。

实验四残余频偏估计性能仿真。采样频率分别为fs=4000 Hz、fs=8000 Hz，残余频偏取fΔ=1000 Hz，即对应的归一化残余频偏分别为f1=0.25、f1=0.125。一周期伪码序列长度取N=63 bit、N=127 bit、N=255 bit。伪码码片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。则过采样率分别为Sa=8 bit/chip、Sa=16 bit/chip。Tx=22Tc。数据分段长度分别为2048、4096。信噪比取-20 dB～0 dB。进行500 次蒙特卡洛，正确估计出残余频偏所需的频域平均累积次数结果如图11所示。

从图11可以看到，一周期伪码序列长度N相同时，正确估计出残余频偏所需的平均累积次数随着分段长度的增加和采样频率的提高而减小。分段长度L和过采样率相同时，N在一定范围内的增加对残余频偏估计性能的影响较小，但随着N的不断增加，正确估计出残余频偏所需的平均累积次数也随之增加，这是因为在L一定时，N越大，长度为L的数据内含有的伪码序列信息越少，因此需要更多的数据累积。当f1=0.125，Sa=16 bit/chip，L=4096 时，信噪比为-20 dB，循环谱累积6 次（向上取整）即可实现残余频偏的正确估计。

实验五伪码码片速率估计性能仿真。采样频率fs=4000 Hz，归一化残余频偏f1=0.25、f1=0.125。一周期伪码序列长度N=127 bit，伪码码片速率Rc=500 Hz，即Tc=0.002 s。Tx=53Tc。数据长度分别为2048、4096。信噪比取-20 dB～0 dB。进行500 次蒙特卡洛，正确估计出伪码码片速率所需的频域平均累积次数结果如图12所示。

从图12可以看到，正确估计出伪码码片速率所需的平均累积次数随着分段长度的增加而减小。当f1=0.25，L=4096 时，信噪比为-13dB，循环谱累积8次即可实现伪码码片速率的正确估计。

6 结论

本文对带残余频偏的QPSK-DSSS 信号参数估计展开了研究。首先推导了信号的二次谱，理论分析和仿真表明在低信噪比下利用二次谱能够正确估计伪码周期，且不受残余频偏大小的影响。再结合信号的循环平稳特征，提出利用循环谱的频率截面和循环频率截面进行残余频偏以及伪码码片速率的估计。研究表明，本文采用的方法可以实现带残余频偏的QPSK-DSSS信号参数估计。