由一道题谈一类两条直线的斜率之和或积为定值问题的解法

刘波

两条直线的斜率之和或积为定值问题通常较为复杂.这类问题中涉及的参数、变量较多，且解题过程中的运算量较大.对于由一个点引出的两条直线的斜率之和或积为定值问题，采用方程思想，将其转化为一元二次方程的根的问题来求解，能简化运算，起到化繁为简的效果.

第三步，把P点的坐标代入直线的方程y=kx+b中，消去x、y；

第四步，根据所得式子的特点，构造一元二次方程，并使两条直线的斜率为方程的两个根；

第五步，根据韦达定理，得出两条直线的斜率之和或积的表达式，通过化简求得定值.

求解由一个点引出的两条直线的斜率之和或积为定值问题，关键在于建立关于两条直线的斜率的同构式，构造出一元二次方程.

（1）求橢圆C的标准方程；

（2）直线l：x=my+4交C于A，B两点，直线MA， MB与直线x=t（t≠2）分别交于点P，Q，线段PQ的中点为N，求证：直线MN的斜率为定值.

所以m=3，故直线恒过定点（0，3）.

两条直线BP、QB有公共点B，两条直线的方程中的斜率均为变量，于是将其视为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理和椭圆的第三定义求解.

可见，求解由一个点引出的两条直线的斜率之和或积为定值问题，需把握两个关键点：

第一，找到两个点或者两条直线具有的共同性质，并用结构类似或相同的式子表示出直线的斜率；

第二，根据直线的方程或者曲线的方程，明确点的横坐标、纵坐标之间的关系，合理进行代换，以便构造出一元二次方程，利用韦达定理解题.

（作者单位：山东省微山县第三中学）