关于一道狄利克雷边界条件下电势计算题的思考*

胡梦蓉 勾 翰 邓永菊

(湖北第二师范学院物理与机电工程学院 湖北 武汉 430205；湖北第二师范学院理论物理研究所 湖北 武汉 430205)

郑 华

(陕西师范大学物理学与信息技术学院 陕西 西安 710119)

求解特定边界条件下的电势是电动力学学习过程中需要掌握的重难点之一.这一类问题常用的求解方法为格林函数法,格林函数法的核心思想是叠加原理[1].在应用格林函数法之前，必须先得到满足相应边界条件的格林函数.

格林函数是指在某空间区域V中由处于x′的单位点电荷所激发的电势G(x,x′).如果在V的边界S上有边值条件G(x,x′)|S=0，那么G(x,x′)称为第一类边界问题(也称狄利克雷问题)的格林函数[2].当求出给定边界条件下的格林函数后，原则上利用格林函数法可以求出相同几何边界条件下任何电荷分布的电势.因为任何电荷分布都可以看成点电荷的叠加，利用叠加原理就可以由一个点电荷的电势求出在相同几何边界条件下任意电荷分布的电势.

对于边界为无穷大平面、边界电势由在x=±1和y=±1四个点形成的正方形区域内为1、其他地方为零的上半空间的电势，利用上半空间的格林函数[3]

G(x,x′)=

(1)

和狄利克雷边界条件下的格林函数公式，可以得到电势的表达式为

(2)

对于这一具体问题，本文给出了电势式(2)的解析解即精确解；分别用电势的精确解和近似解讨论了在z→ 0的边界电势，两者给出了相同的结果.

1 电势的精确解

求解电势精确解的过程是将式(2)解析积分的过程.式(2)直接积分困难，不容易求解[4].为将问题简化，采用变量代换，并把z= 0平面分解成不同的区域进行分别计算.做变量代换

y-y′=Atanθ

式(2)变为

(3)

由于y不是积分变量，再次采用变量代换，取

B=y+1C=y-1

将式(3)简化为

(4)

观察可以发现，式(4)等号右边的两项积分形式是完全相同的.因此求解式(2)的问题简化成了求解积分

(5)

的问题，其中T代表式(4)中的B或C.由于A，B，C3个变量的正负号取决于所考虑的区域，因此计算式(5)时需要采用分区域求解.

ΦΤ=

(6)

再次取变量代换

并假设T>0，式(6)变为

ΦΤ=

(7)

这样积分式(5)就变成了常见积分

之和，因此可得

(8)

因为在式(7)的变量代换中假设了T>0，所以可得到式(5)的解析解式(8).在电势解式(4)中B=y+1和C=y-1，它们的正负性与y所在的区域有关.为了利用式(8)，需要把y也分成不同的区域来考虑.取-10且C=y-1<0，因此电势在区域[-1

Φ(x,y,z)=ΦΒ+Φ-C

(9)

将式(8)代入式(9)就可得到具体表达式，我们在第二部分中给出.利用相同的变量变换，可以给出电势在其他区域 (-∞

(10)

当1

(11)

表1 在不同区域内电势的精准解

2 边界电势

初始边界电势Φ(x,y,z)在由x=±1和y=±1的4个点形成的正方形区域内为1、其他地方为零.如果简单从格林函数法给出的电势式(2)看，很容易地会误认为当z→ 0时，Φ(x,y,z)=0，得出格林函数法不能给出正确边界电势的结论.下面将从精确解和近似解两种结果出发，证明格林函数法给出正确的边界电势.

以区域[-1

Φ(x,y,z)=ΦΒ+Φ-C=

(12)

当z→0时

将表1中其他区域的电势写出，然后令z→0，可以得到Φ(x,y,z)=0.可见，格林函数法给出了正确的初始边界电势.

还可用近似的方法分析式(2)能给出正确的边界电势.在区域[-1

图1 式(2)中被积表达式在x=-0.1,y=-0.8与z=0.005,0.05和0.5的函数图像

当z→0时，式(2)中的被积表达式

在x′→x，y′→y和z→0时的值非常大，而其他积分区域趋于零，积分的主要贡献来自于点(x,y)附近的区域.因此我们可以把式(2)中在[-1

(13)

而在[-1

3 总结

本文用格林函数方法计算了在狄利克雷边界条件下，边界为无穷大平面、边界电势在由x= ± 1和y=±1的4个点形成的正方形区域内为1、其他地方为零的上半空间电势的精确解.用函数图像辅助分析，得到了电势合理的近似解.用计算得到的电势精确解和近似方法得到的近似解讨论了格林函数法给出的电势在z→ 0时的边界电势，其是满足初始边界条件的.在计算过程中所利用的分区、变量代换及近似思想能有效地将一个复杂问题简化，有助于问题的解决.本文以一典型狄利克雷边界条件下电势的计算为例，为学生阐释了如何遵循一般逻辑、利用简单的技巧或近似将复杂的物理问题化繁为简.这种过程是为学生“授之以渔”，希望能为学生的学习带来启发.