基于矩阵重构的DOA阵元位置误差校正方法

李兴花 郭沐然 刘鲁涛

摘 要：针对阵元位置误差引起阵列流型出现一定的偏差和扰动，从而导致多重信号分类（MUSIC）算法估计波达方向（DOA）性能下降的问题，本文在Toeplitz预处理算法的基础上，提出了一种基于矩阵重构的阵元误差校正算法。所提算法首先对有阵列位置误差的协方差矩阵进行预处理，恢复理想情况下协方差矩阵的Toeplitz结构，然后利用核范数优化算法构造凸优化函数，对处理后的协方差矩阵进行降噪，同时保证信号和噪声子空间的正确划分，最后利用MUSIC算法进行DOA估计。计算机仿真和实验分析表明，所提算法有效改善了存在阵元位置误差时MUSIC算法的角度分辨能力，而且减少了由快拍数不足带来的影响，提高了估计精度。

关键词：波达方向估计;阵列校准;MUSIC算法;Toeplitz处理;矩阵重构

中图分类号：TJ760;V243.2  文献标识码：   A  文章编号：1673-5048（2022）01-0079-05[SQ0]

0 引  言

以MUSIC[1]等为代表的高分辨波达方向（DOA）估计算法是用来对目标角度进行估计的常用方法，但这些高分辨性能需要精确的系统建模为支撑。在实际应用中，系统模型的误差几乎是必然存在的，同时也是影响大多数高分辨率算法性能的重要因素。本文对模型误差中的一个重要成分，即阵元位置误差[2]进行讨论。阵元位置误差主要由天线生产与阵列装配等过程中的工艺及技术等因素的限制造成，其校正方法大致分为自校正算法[3]和有源校正算法[4]两种。文献[5]提出的迭代Toeplitz算法属于自校正算法，其利用了理想情况下均匀线阵的接收信号协方差矩阵的Toeplitz结构[6-7]。文献[8]通过Toeplitz预处理，使得存在阵列位置误差的协方差矩阵接近真实的数据协方差矩阵，但是得到的数据协方差矩阵没有反映信号的先验信息[9]，在信号源功率不相同的场合下估计精度相对较差，所以迭代的Toeplitz算法进一步采取特征值重构迭代的方法来抑制阵元误差的影响。这种方法减少了阵元位置误差带来的影响，但特征值重构的方法会带来噪声弥散，使得信号与噪声交叉混淆，并且对快拍数要求高，在有效快拍数不足的情况下接收信号的协方差矩阵仍存在较高的偏差[10]。

矩阵重构算法能够通过低秩矩阵的部分项来精确重构整个矩阵[11]，并证明了低秩矩阵降噪具有稳健的抵抗噪声影响的能力[12-13]。考虑到无噪声协方差矩阵具有低秩结构，本文提出基于矩阵重构的阵元位置误差校正方法。该方法在Toeplitz预处理的前提下，利用优化的矩阵核范数低秩恢复算法[14]构造凸优化函数，对数据协方差矩阵进行低秩恢复，从而达到降噪的目的。通过仿真对比了阵元位置误差校正前后MUSIC谱估计测角效果，实验对比表明，低快拍情况下，相对于迭代的Toeplitz方法，本文算法有效提高了MUSIC算法的估计精度和角度分辨能力。

1 阵列信号模型

假设有M个窄带信号入射到空间某阵列上，阵列由N个天线阵元组成，各天线阵元是各向同性的且不受通道不一致性、互耦效应等因素影响，那么阵列在特定时刻接收到的关于M个信源的信号矢量形式为

x（t）=A（θ）s（t）+n（t）（1）

4 仿真结果与分析

本文利用MUSIC空間谱和估计精度对基于矩阵重构的阵元位置误差校正方法进行分析，使用10个阵元的均匀线阵，阵元间距为0.5λ，阵元位置误差Δx和Δy均匀分布，在空间以阵列法线方向为参考的-10°，0°，20°和50°的方位上，有4个等功率、相互独立的平稳、零均值高斯随机信源。信噪比定义为

SNR=10lgσ2sσ2n（16）

式中：σ2s，σ2n分别为信源和噪声的功率。

估计精度验证时，本文使用均方根误差（Root Mean Square Error，  RMSE）衡量校正位置误差后的估计精度，其定义为

eRMSE=1IQ∑Ii=1∑Qq=1（θ～（i）q-θq）2（17）

式中：I为蒙特卡洛独立实验重复次数，在估计精度验证中设为500;θ～（i）q和θq分别为第i次实验第q个信号的到达角估计值和第q个信号到达角的真实值。

图2～4为MUSIC空间谱的仿真结果。 为了保证阵元位置误差在一定范围内的分布概率相同，这里的阵元位置误差服从均匀分布U（0， 0.1λ）。图2为有无阵元位置误差时MUSIC空间谱的对比。可以看出，由于阵元位置误差的存在，MUSIC算法的性能严重下降，谱峰的峰值不再尖锐，不能直接准确地得出所有来峰方向。图3把本文的算法和文献[5]的算法进行对比。文献[5]使用的是迭代的Toeplitz算法，对阵列接收数据协方差矩阵分别作了Toeplitz预处理以及迭代处理，再使用MUSIC算法进行波达方向估计。由图3可以看出，本文提出的矩阵重构算法比迭代的Toeplitz算法得到的谱峰更加尖锐，性能有所提高。图4设

置两个信源在{-2°，2°}处，目的是进一步验证本文算法在角分辨力方面的优势。两种阵元位置误差校正后的空间谱分别如图4所示，每个算法进行了4次实验。 可以看出，迭代的Toeplitz算法对两个相近源的识别均失败，但是本文算法均成功识别出了两个信源。因此，本文算法在角分辨力上更具优势。

图5～6为估计精度验证。图5为RMSE随信噪比的变化曲线，快拍数为50。 图5的阵元位置误差Δx，Δy，

同样分别服从均匀分布U（0， 0.1λ）和U（0， 0.2λ），每一次蒙特卡洛独立实验的阵元位置误差是保证相同的。图6为均方根误差随快拍数的变化曲线，信噪比为0 dB。图6中阵元位置误差Δx，Δy，也分别服从均匀分布U（0， 0.1λ）和U（0， 0.2λ），每次实验的阵元位置误差也保证是相同的。从估计精度仿真可以看出，文献[5]和本文方法都能在一定程度上改善MUSIC算法的DOA估计性能，但本文方法能够在抑制阵元位置误差的同时，对协方差矩阵中的噪声进行抑制，获得了更高的估计精度。

5 结  论

本文提出一种基于矩阵重构的阵元位置误差校正算法，该算法在Toeplitz预处理的基础上，利用矩阵完备的方法对协方差矩阵低秩逼近进行矩阵重构，然后进行后续的空间谱估计处理。通过MUSIC空间谱和估计进度仿真，比较了迭代的Toeplitz算法和本文算法。仿真结果表明，本文方法在抑制阵元位置误差的同时，有效地完成了协方差矩阵的降噪处理，提高了存在阵元位置误差时MUSIC算法的谱峰尖锐程度，角度分辨性能有所提高，并且对估计精度也有一定程度的改善。

参考文献：

[1] Dakulagi V. Robust Modified Multiple Signal Classification Algorithm for Direction of Arrival Estimation[J]. Wireless Personal Communications，  2020，  115（3）： 2535-2550.

[2] Wax M，  Adler A. Direction of Arrival Estimation in the Presence of Model Errors by Signal Subspace Matching[J]. Signal Processing，  2021，  181： 107900.

[3] Friedlander B，  Weiss A J. Direction Finding in the Presence of Mutual Coupling[J]. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，  1991，  39（3）： 273-284.

[4] Fistas N，  Manikas A. A New General Global Array Calibration Method[C]∥IEEE International Conference on Acoustics，  Speech and Signal Processing，  1994：73-76.

[5] 楊洁，  刘聪锋. 阵元位置误差校正Toeplitz预处理算法[J]. 西安电子科技大学学报，  2011，  38（2）： 93-98.

Yang Jie，  Liu Congfeng. Array Location Error Calibrating Algorithm Based on Toeplitz Pre-Processing[J]. Journal of Xidian University，  2011，  38（2）： 93-98.（in Chinese）

[6] 孙兵，  阮怀林，  吴晨曦，  等. 基于Toeplitz协方差矩阵重构的互质阵列DOA估计方法[J]. 电子与信息学报，  2019，  41（8）： 1924-1930.

Sun Bing，  Ruan Huailin，  Wu Chenxi，  et al. Direction of Arrival Estimation with Coprime Array Based on Toeplitz Covariance Matrix Reconstruction[J]. Journal of Electronics & Information Technology，  2019，  41（8）： 1924-1930.（in Chinese）

[7] 高建勇，  高勇. 基于改进的Toeplitz化处理的相干源非均匀线阵自适应波束形成算法[J]. 宇航学报，  2007，  28（6）： 1715-1718.

Gao Jianyong，  Gao Yong. The Adaptive Beam-Forming Algorithm for Coherent Sources Non-Uniform Linear Array Based on Improved Toeplitz Approximation[J]. Journal of Astronautics，  2007，  28（6）： 1715-1718.（in Chinese）

[8] Kung S，  Lo C，  Foka R. A Toeplitz Approximation Approach to Coherent Source Direction Finding[C]∥IEEE International Conference on Acoustics，  Speech，  and Signal Processing，  1986.

[9] 王永良，  陈辉， 彭应宁， 等. 空间谱估计理论与算法[M]. 北京： 清华大学出版社，  2004： 110-111.

Wang Yongliang， Chen Hui，  Peng Yingning，  et al. Spatial Spectrum Estimation Theory and Algorithm [M]. Beijing： Tsinghua University Press，  2004： 110-111.（in Chinese）

[10] 廖建建，  胡林华，  张琳娜，  等. 一种阵元位置误差条件下的DOA估计方法[J]. 空军雷达学院学报，  2012，  26（4）： 252-255.

Liao Jianjian，  Hu Linhua，  Zhang Linna，  et al. Method of DOA Estimation in Presence of Array Element Position Errors[J]. Journal of Air Force Radar Academy，  2012，  26（4）： 252-255.（in Chinese）

[11] Candes E J，  Recht B. Exact Low-Rank Matrix Completion via Convex Optimization[C]∥46th Annual Allerton Conference on Communication，  Control，  and Computing，  2008.

[12] Candes E J，  Plan Y. Matrix Completion with Noise[J].Proceedings of the IEEE，  2010，  98（6）： 925-936.

[13] Candes E J，  Li X D，  Ma Y，  et al. Robust Principal Component Analysis？ [J].Journal of the ACM，  2011，  58（3）： 1-37.

[14] Pal P，  Vaidyanathan P P. A Grid-Less Approach to Underdetermined Direction of Arrival Estimation via Low Rank Matrix Denoising[J]. IEEE Signal Processing Letters，  2014，  21（6）： 737-741.

[15] 楊德森，  陈欢，  时胜国. 最大似然估计在辐射噪声源近场定位中的应用[J]. 哈尔滨工程大学学报，  2010，  31（2）： 165-169.

Yang Desen，  Chen Huan，  Shi Shengguo. Measuring the Orientation of Nearby Radiant Noise Sources Using Maximum Likelihood Estimation[J]. Journal of Harbin Engineering University，  2010，  31（2）： 165-169.（in Chinese）

An Array Position Error Calibration Method Based on

Matrix Reconstruction for DOA Estimation

Li Xinghua1， 2，  Guo Muran1， 2*， Liu Lutao1， 2

（1. College of Information and Communication Engineering， Harbin Engineering University， Harbin 150001， China;

2.Key Laboratory of Advanced Marine Communication and Information Technology，

Ministry of Industry and Information Technology，  Harbin 150001，  China）

Abstract： Aiming at the problem that the array pattern has some deviation and disturbance caused by the array position error，  which leads to the estimation performance degradation of direction of arrival （DOA） in multiple signal classification （MUSIC） algorithm， this paper uses Toeplitz preprocessing algorithm and proposes an array position error calibration algorithm based on matrix reconstruction theory. Firstly，  the covariance matrix with array position error is preprocessed to restore the Toeplitz structure of the covariance matrix in the ideal case. Then， the nuclear norm optimization algorithm is utilized to construct a convex optimization function，  the noise is suppressed for the processed covariance matrix，  and this algorithm guarantees the accurate distribution of  signal and noise subspace.Finally，  the MUSIC algorithm is used to perform DOA estimation.Via the simulation results，  the proposed algorithm improves the angular resolution of MUSIC algorithm with the existence of array position error，  and decreases the effects leading by the low number of snapshots，  thus it can increase the estimation accuracy.

Key words： DOA estimation; array calibration; MUSIC algorithm; Toeplitz processing; matrix reconstruction

收稿日期： 2021-05-20

基金项目：航空科学基金项目（201901012005）

作者简介：李兴花（1998-），女，江苏盐城人，硕士研究生。

通讯作者：郭沐然（1992-），男，河南开封人，博士，讲师。