一节好课

吴轶泓

（江苏省苏州市昆山市张浦镇张浦初级中学，江苏 苏州）

一、提高学习勾股定理的目标

勾股定理在初中数学的图形与几何部分有着重要地位。勾股定理既是平面几何中的重要定理，又是数形结合思想的一次生动展现。在实际教学中，我们需要让学生知道什么是勾股定理，如何运用勾股定理解决实际问题，还需要让学生真正经历勾股定理的“再发现”过程，让学生作为课堂的主体来推动教学，将我国古代勾股定理的发现和毕达哥拉斯发现勾股定理的过程，结合起来介绍，帮助学生感受数学文化并培养学生的民族自豪感。

二、引入勾股定理背景

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在“教材编写建议”所述：数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。因此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学发展史的有关材料等，但是在介绍背景材料时，由我国发现或证明的数学定理和结论比较少，甚至在苏教版的课本中，引入情景是毕达哥拉斯发现勾股定理的邮票图案。

选择我国历史上的赵爽证法来引入，让学生了解到，在我国古代的几何学中，已经记载了能够如火纯情应用的面积方法，总结出的面积“出入相补”原理运用到许多几何图形的研究中，而著名的勾股定理赵爽证法就是这一原理的经典应用，介绍历史背景可以很好地培养学生的学习热情，让学生感受到中国历史上的数学成就，培养学生的民族自豪感和爱国主义情感。

三、勾股定理中的数学思考

教师引导学生进行勾股定理的再发现过程，建立直角三角形的三条边的平方与长方形面积的联系。在格点纸上的正方形面积，虽然可以直接数格子解决，但是其他两个正方形的面积不能直接数出小方格的个数。通过设计问题，让学生发现已有的知识不能解决问题，产生矛盾来引起学生思考。让学生进行几次实际操作，来发现三个正方形面积之间的联系，总结其中的规律。在这个观察、猜想、验证的过程中，教师应保持引导者的身份，发现勾股定理的主体始终应该是学生自己。

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》在“课程内容”中针对“勾股定理及其应用”指出：探索勾股定理，并能运用它解决一些简单的实际问题，那么，站在学生的角度，可以通过设置有一定思维量的问题。学生通过努力得到见解，让学生更有成就感，体会探究的乐趣。同时要兼顾后进生的学习情况，将综合性较强的题目分阶梯，设置多小问的形式。可以利用一些特殊情况来引导学生发现数学规律。笔者设计了一个问题串：“在直角三角形中两直角边的长分别为6 和8，求斜边的长。”进行变式——变式1：将条件中“两直角边”改为“两边”其他不变？继续将数学问题与生活模型相结合。变式2：已知有一根16 米高的竹子，折断后竹梢着地与竹子底部相距8 米，求折断处离地面的高度？变式3：超强台风将路边大树吹断，树尖着地与地面成45 度，同时和树干底部距离6 米，树干与地面成30 度，则大树原来高多少米？以上4 个问题从简单的公式运用到实际问题的运用层次递进，将来源于教材中的例题进行变形，同时借助勾股定理在解决几何问题时的通用特点，便于学生发现勾股定理的运用环境，在已知和未知之间产生思维的碰撞。

通过学生自己的归纳发现了勾股定理之后，去掉在直角三角形中这个条件，如果不在直角三角形中，三角形的三条边关系是否也有一样的结论呢？如果不是，那能不能找到它们的三条边长度的关系？教师将问题阶梯化，让每一层的学生都能思考。普通学生可能通过举例说明勾股定理在锐角三角形和钝角三角形中不成立。基础更好的学生可以独立完成探究，通过同样的从特殊到一般的探索过程，归纳出锐角三角形和钝角三角形中的三条边平方的关系。优秀的学生还可能在三种不同的三角形边长平方的关系中，尝试探究其中的内在关联。

四、提高课堂效率

“双减”背景下需要减少课外作业，也就需要教师进一步提高课堂的教学效率，减少其他因素对学生课堂时间的浪费。例如，借助一题多变，上文提及的问题串形式，或是将勾股定理中的在直角三角形换成在其他种类的三角形中，来引起学生思考。合理运用好问题串，减少学生花费在阅读题目和理解题目上的精力。

在教学过程中，很多教师都是把我国古代勾股定理的证明和毕达哥拉斯勾股定理的证明看成两个独立的方法，分别进行讲解，而没有去尝试发现其中的内在联系，减少学生的精力浪费。勾股定理应该是一次很好的数形结合机会，在以往教学中教师很少让学生感知代数证明过程中的图形变化，每一步都是在代数运算而不存在几何意义的讲解，用数形结合的方法让学生感知勾股定理，也能更好地利用学生在课堂中的精力，从而提高课堂的效率。