指导高中生撰写数学建模论文的意义与策略

北京市第十五中学 吴宏宇

北京市高中数学建模竞赛从1998年开始，由首都师范大学组织并实施，建模竞赛分为两部分，一部分是知识竞赛，另一部分是数学论文的撰写，到现在已经举办了23届竞赛。这项比赛给学生提供了一个平台，提供了一个丰富自我，与同伴交流、分享、合作的机会。同时这项比赛促进了教师对数学建模更加深入的理解，积累更多指导学生做数学建模的具体经验。北京市第十五中学在写建模论文方面有着优秀的传统，在历届比赛中也都取得了很好的成绩，并且将部分优秀成果收录在唐安华主编《思维与创造》《数学之眼看世界》两本论文集中。本文笔者结合组织学生参加数学建模论文部分的竞赛，谈一下在这个过程中的感悟与收获。

一、构建小组，形成学习共同体

在小组的规模上，笔者要求每个写论文的小组成员人数2 3人，小组内能和谐地合作交流，合理分工，提高效率。从知识竞赛结束以后，就可以确定参与复赛（也就是论文部分竞赛）成员的名单，笔者将学生进行分组，组织学生有计划地安排后续的活动。小组组合的模式多种多样，都各具特色，有的是男生、女生搭配，在后面的后续工作中，男生在采集数据方面点子多、有胆量、不怕辛苦，而女生在分析数据时更心细，易发现统计后数据的微妙变动。有的小组合作后在合作体会上写道：“他的一些处理方法，使我茅塞顿开，原来数学这么有意思”。还有的小组是由有共同爱好的学生组合在一起，这样的两名学生组合做事情更有动力，动力源于他们对同一件事情的热爱，他们在某个领域钻研很深，有时候在讨论一个问题时讨论研究的角度可以互补，考虑问题更全面。在合作体会上他们最大的感悟是通过共同研究，对某一专业方面有了更深刻的体会，立志高考后考同一所大学的同一专业。还有小组是能力互补型，小组中有的学生善于在生活中发现问题、获取灵感，易捕捉到有待研究开发的关键点，找到开展研究的很好抓手，但是在转化成数学模型时有困惑，而另一名学生在研究数学问题时更有方法、有想法。有的学生在用电脑处理数据时，对一些分析数据的软件应用得心应手，对更好地解决问题很有帮助。在合作体会中有学生写道：“他太善于发现问题了，而且总有奇思妙想，看上去不起眼的问题，却能让我们大做文章，很开心。”“我俩在应用电脑这件事情上差距有点大，我也要好好学习，新的分析数据软件功能太强大了，对未来的数学学习会很有帮助的。”正是这些有特色的小组构成使得研究更有意义，极大地培养了学生的核心素养，为论文撰写打下良好的基础。

二、研究范例，了解撰写数学建模论文的结构

笔者会组织学生，让学生先了解数学建模论文的完整结构，给他们提供一个以往学生写论文的完整范例。一篇完整的数学建模论文大致包含：摘要、关键词、引言、模型建构与分析、结论、优缺点分析及改进措施、感悟、致谢、参考文献，这样的环节可以让学生清楚自己要完成论文的大致结构，做到心中有数。同时，我们还会具体地指出每一部分的基本内容与基本要求。例如，摘要部分是对本文研究的问题以及研究价值做一个初步分析与介绍。引言部分要说清楚的是问题背景以及如何想到要研究这个问题，通常也称为“选题”。而模型建构则主要是将要研究的问题、实际问题数学化的过程，也就是通过合理地简化与假设，将实际问题转化为数学问题，明确使用的数学模型，并大致对所选模型的合理性做出说明。模型分析，则是对转化后的具体问题做出数学分析与解决，借助相应的数学模型以及数学知识求解出所选模型中的具体参数，形成明确的数学结果，对实际问题进行解释与检验。如果符合实际则完成下一个步骤；如果不符合实际情况，就需要修正自己的数学模型，甚至重新选择更为合理的模型刻画之前的问题。结语部分，是指所选问题的研究成果，对实际生活的价值是什么，对实际生活有哪些具体的指导意义。优缺点分析，则是指由于数学建模论文研究的问题绝大多数是来源于实际生活问题，而影响问题的因素非常多，有时候还比较复杂，当我们借助数学模型刻画这个问题时，必然会忽略一些次要因素对问题结果的影响，有时会带有自己的主观意识，而有时候我们的假设也带有一定的理想性，与现实生活中的情况往往是不完全符合的，所以我们研究的结论必然带有一定的局限性，在文末需要加以说明。同时，分析模型的优缺点，也会给我们指明进一步研究的方向。

三、选题，确定研讨内容，制订研讨方向和策略

在实际操作中，大致上有三个方面的“难点”。一是“如何选题”；二是“如何数学描述”；三是“数据的测量”。而我们遇到的最大问题就是“选题”，来自生活实际的问题，学生包括教师都会感到，有时候总有两种感受不自觉地干扰我们，一种是“这个问题已经得到了很好的解决，不需要我们再来讨论，找不到可以研究的点”；另一种是“这个问题太复杂了，影响因素太多，不太好转化或提炼成为数学问题，找不到现实与数学的契合点，我们没法再来讨论”。以上两种感受，是接触过数学建模论文撰写的绝大多数学生和教师的最真实感受。的确，数学建模“最难”的部分就是选题，因为它必须是一个来源于实际的“真问题”，而不是一个人为编制的、有现成解法的“数学应用题”，需要我们发现身边存在的真实问题。同时我们不得不说，限于高中生的知识水平，我们能解决的即使是纯数学问题，都有很大的局限性。

举一个例子，笔者曾指导学生写过一篇《关于合理调整后视镜的角度以减少后视镜视觉盲区的探究》的文章，这个问题来源于笔者在开车的过程中，会遇到汽车并线时，当相邻车道行驶的汽车在车头未达到司机视线余光范围内时，司机会有一个视觉的盲区，行驶过程中如果不注意，仅凭借感觉的支配，有可能就会发生碰撞。这样的感受大多数司机都产生过，所以在行驶中并线时，驾驶员必须小心驾驶，同时如果能合理地调整后视镜的角度，会有效降低风险。

所以，结合自己的生活经验也是一个方式，学生之间可以相互启发，把自己在生活中遇到的一些问题尝试着进行自然语言的描述，进一步看能否可以试着进行数学角度的描述，这也是产生“选题”的一种很好的方式。例如，“红绿灯时间长短的设计，缓解路口的交通”“北京三环路公交车站进站点的选址问题”“大型车转弯时后视镜的安装以减少盲区的探究”“冷冻猪肉最佳解冻时长的探究”“红外线报警器的合理设置”“塑料袋提手的设计”“抽水马桶省水设计的问题”等。

四、用数学语言描述问题，收集数据解决问题

撰写论文的一个难点是“数学描述”，有的问题确实是不容易进行数学描述，或者说不太容易量化，或者没有一个比较明确的标准，需要自己寻找或者定义具备科学性、比较合适的量化标准。也就是怎样把实际问题中的指标数量化，用怎样的方式刻画某一个现实问题中的指标。如“猪肉解冻的标准是什么”“塑料袋提手的舒适度”“用什么量刻画路口的拥堵状况”“放置一段时间后，怎样衡量桶装水的质量”等。对数据的测量是另一个“难点”，如何测量相应的数据，绝不能仅是从网站查找、下载现成的数据，多数情况下需要实际、实地测量，需要花时间和精力，这也是学生完成数学建模论文的一个难点，同时一些数据的获得也有一定难度，需要借助一些科学仪器，比如，“教室内二氧化碳的含量的测量”“打开包装后的熟食最多放置多久”“冻肉解冻后可以再冷冻几次”等。

五、教学相长，师生共同进步

当然，教师指导学生完成论文的过程，更多时候是跟学生一起研究的过程。学生会完整地经历数学建模的全过程，完整地经历论文撰写的全过程，体会到问题研究的困难与乐趣。而教师同样收获很多，在与学生一起研究问题的过程中，既能增进师生的情感交流，又能参与到更多的课题研究中，教师的视野将会变得更丰富，能积累更多的具体指导经验。

数学建模对学生的数学学习是非常有益的，学生能更加深切地感受到“数学是有用的”。这种感受必将促进、提升他们的数学学习热情、学习积极性。在高中阶段经历一次完整的数学建模过程，对每一名高中生来说，都是有益的，不管最后能不能得到满意的结果。

在新课程、新教材的背景下，数学建模作为高中数学六大核心素养之一，其重要性不言而喻，也期待更多的教师能参与其中，更多的学生能做一点“真问题”，真实地体会到“数学是有用的、有趣的”。