基于OBE理念下数学分析课程教学的探究与实践

石秀文

(邢台学院数学与信息技术学院，河北邢台 054001)

在“学生中心、产出导向、持续改进”的OBE理念的指导下，高校师范专业课程教学改革进一步深化，数学分析作为数学师范专业的核心基础课，对学生的数学素养、专业能力及科学精神的培养起着至关重要的作用。为了进一步提升数学分析课程的教学效果，从教学内容、教学方法、教学评价等多方面探究新理念下数学分析课程的教学改革与实践。本文以数学分析三为例来说明课程教学的创新探究与实施。

一、教学内容的探究与实施

在教学内容改革的研究中，坚持以学生中心的理念，聚焦学生的课程学习效果，关注数学分析服务于其他课程的基础作用，来合理设计教学内容。而数学分析课程的知识体系具有严密的逻辑性，课程教学中保证知识体系的完整有助于学生循序渐进的掌握知识，因此在教学安排上，要考虑前后知识的衔接顺畅以顺应学生的认知结构。同时考虑加强数学分析与中学数学的有机衔接、增加相关数学史内容，以提升学生学科素养，体现课程育人的价值。

(一)改革课程内容体系，提升教学效果

我院数学分析三在大二第一学期开设，按内容特点可分两大板块，第一板块是隐函数及其应用与含参量积分，第二板块是曲线积分、重积分、曲面积分[1]。长期以来一直按照教材的顺序，先学习第一板块，再学习第二板块。

目前教学中面临两个问题，一是按照教材中内容的次序，学生先学完含参量积分(课程难点内容)后，对接下来的多元函数积分学(重点内容)的学习积极性有所减弱。二是重积分的计算方法是数学实验课中必用的方法，数学实验课程与数学分析三同时开课，按照教材的内容的顺序讲授，不利于数学实验课程的学习。因此，尝试调整两个板块的学习次序，先学第二板块。第二板块多元函数积分学是数学分析三的重点内容，学期初始先学，学生积极性比较高，由定积分的复习，引出曲线积分，再过度到重积分、曲面积分，整个过程是由易到难，循序渐进，符合学生的认知结构，实践说明这样调整提升了重点知识的学习效果，同时能及时对数学实验课程的学习提供帮助。

调整内容先后次序，课程内部结构发生变化，逻辑关系上主要有两个问题，其一是二重积分化为累次积分的定理证明中涉及第一板块含参量积分性质的应用，其二是计算空间曲线积分的例题中用到第一板块求曲线的切向量。在教学中，恰当处理了两个板块前后关联问题。一是课堂上淡化理论，从几何意义上来说明二重积分可化为累次积分，学生较易理解，二是指导学生绕过含参量积分性质，应用启发探究式学习本定理的证明，不影响教学效果。对于空间曲线积分的例题中切向量的问题，明确告诉同学们，这个问题涉及第一板块内容，暂时不讲如何得到，重点学习应用两类曲线积分之间的关系简化积分计算的解题思想。在后面学习第一板块中隐函数的应用后，再把此例题留作课后探究题目，让学生重新完成。这样处理后，学生带着问题去学习空间曲线的切线方程，调动了学习积极性，通过学生独立去解决曲线积分遗留的问题，加强了知识的复习与应用，加深了知识理解，收到良好效果。

(二)挖掘教材与中学数学有关的内容

为了培养学生用高等数学的观点与思想方法去理解初等数学的内容，挖掘数学分析与初等数学相联系的内容，融入到教学过程中，深化对中学数学的理解，提高学生的数学素养。

在学习二重积分的概念时，需要先研究曲顶柱体的体积计算，在此教师和学生一起回顾祖暅原理，指出定积分计算立体体积的方法就是祖暅原理的体现，提问球体的体积公式如何得到？简单描述一下利用祖暅原理获得半球体体积的方法，让学生知道简单公式背后的历史文化，感叹祖暅原理的妙用，同时复习定积分计算球体体积、椭球体积的方法，加深学生对初等知识的认识，培养学生用高等数学的思想方法去理解初等数学问题的意识。然后，设问如果一般空间立体的截面面积函数未知，如何计算其体积？让学生有一点想知道的冲动，激发学生学习的兴趣，调动学生的学习积极性。

在数学分析三中，有许多与中学数学关联的内容。其中求曲线的参数方程是与中学数学相关，也是学生的糊涂点。让学生利用熟悉的圆的参数方程去寻找相关联的一类曲线参数方程的规律，由此学生可以轻松得到椭圆的参数方程，但学生并不清楚椭圆的参数方程中参数的几何意义，指导学生课后进行小组探究获得答案，加深对椭圆参数方程的理解。将曲线的切线、曲面的切平面等问题与初等数学联系起来，让学生再思考、再认识，加强对初等数学知识的理解。在学习条件极值时，增加中学数学中的一些不等式、几何最值、点到直线或平面的距离等问题，让学生课后用条件极值的方法去解决，使学生认识到可用微积分方法更简单的处理中学数学问题，养成建立高等数学与初等数学的联系以及用高等数学的观点、思想、方法理解相关的中学数学知识的习惯。

(三)增加数学史内容，简述数学家故事

微积分的创立被誉为“人类精神”的伟大胜利，“数学分析是人类思维的伟大成果”，是历经300多年，众多数学家辛勤努力、刻苦钻研的结果[2]。因此，要充分挖掘与课程内容有关的数学史料，将数学家的趣事和科学精神渗透教学中，以鼓励学生发扬数学家刻苦钻研的精神，培养脚踏实地，孜孜不倦的学习习惯。数学分析三的课程内容涉及到多位数学家，搜集、整理这些数学家的生平事迹，重点简介对数学分析的贡献、与科学有关的趣事和科学精神，或渗透到课堂中，或推送给学生课外阅读，提升学生的人文素养。

学习拉格朗日乘数法时求极值问题时，介绍18世纪欧洲伟大数学家拉格朗日成才经历与勤奋学习、刻苦钻研的精神，激励学生奋发图强。让学生课后搜集数学分析中以他命名的概念、定理及方法，加强对数学分析中重要定理、公式的复习，提升对数学分析的学习兴趣。

含参量积分是数学分析的难点之一，是数学分析二中多个难点知识的综合应用。在学习含参量积分一致收敛的概念时，复习函数项级数一致收敛的概念及判别法，可以提问最早提出一致收敛概念是哪位数学家？学生得知是现代分析之父的维尔斯特拉斯，简述他对数学分析的重要贡献，进一步了解“一致收敛”概念产生的意义，能激发学生对抽象的新概念与理论的学习热情，加强对基础知识的巩固。在学习欧拉积分时，许多学生出现畏难情绪，教师不直接介绍欧拉积分的定义，先和学生一起复习誉为最优美公式的欧拉公式，激发对欧拉的兴趣，然后简介欧拉对数学的巨大贡献及科学精神，吸引学生学习欧拉积分的注意力，促使学生产生学习欧拉积分的愿望，培养学生踏实学习、刻苦钻研的精神。本章学习中，可以布置课外任务，让学生了解与课程内容有关的数学家柯西, 维尔斯特拉斯、狄利克雷及阿贝尔等科学家的故事、成就及追求真理的科学精神。

学习两类曲线积分关系时，介绍巴罗的“微分三角形”及数学史上传为佳话的“巴罗让贤”故事[2]，让学生学习科学家的高尚品格，在学习和工作中要踏实做事、淡泊名利。

学习二重积分的概念时，让学生了解祖暅原理及球体的体积计算，增加学生的民族情怀，调动学生学习积极性；学习高斯公式，介绍数学王子高斯的典型趣事，激发学生对高斯公式的学习热情，同时让学生学习高斯爱动脑思考的良好习惯，勇于探索复杂未知问题的科学精神，坚持不懈的毅力，吃苦耐劳、艰苦奋斗的品质。

二、教学方法与学习方式的改革

(一)课程的教学方法

在OBE理念的指导下，以发展学生的思维能力、提升课程的学习效果为目的，从学生的角度去思考课程怎么讲、学生如何学的问题。在课堂教学中，变革以前的讲授法，以启发式教学为主，同时针对课程内容特点结合学情选择适合的教学方法。对于在理论或方法上有相似之处的内容，采用对比学习法以提升学习效率。对于重点的抽象的理论知识，将其分解为几个简单的具体问题，采用引导探究法降低学习难度，通过学生的思考、探究来加深对知识的理解，培养学生的思维能力。 对于应用性强的知识采取问题驱动法，提升学生分析问题、解决问题的能力。

对比式教学法是引导学生联想已学过的与其相似、相关或相反的知识,并进行对照分析、比较,以求寻找它们的共性和差异,从而使学生获得准确、深刻的认识。对含参量反常积分一致收敛性概念、性质及判定方法，应用对比式教学法，引导联想函数项级数，对照比较，寻找共性，归纳总结的异同，加强了对新知识理解，同时巩固了已学知识。第一型曲线、曲面积分、重积分的学习采用对比教学法，与定积分进行对照比较学习，提升了学习效果。

运用引导探究法来学习重点与难点知识。在学习隐函数存在条件分析、格林公式、高斯公式时，将复杂问题设计成几个简单问题，引导学生自己探究解决每个简单问题，获得结论。通过引导探究法，让学生参与思考，加强了知识的理解，培养学生解决复杂问题的信心和能力，同时体验到数学家的思维活动，有助于培养创新思维意识。

运用问题驱动法学习条件极值概念与拉格朗日乘数法。学习条件极值概念时，教师提出无盖鱼缸的设计问题，学生分组讨论，各组提出自己解决方案，教师归纳总结，完善解决方案，引出条件极值概念，进一步引导学生分析一般条件极值解决方法，归纳总结，得到拉格朗日乘数法。问题驱动法将学生被动学习转变为学生主动去分析、解决问题，充分调动了学生学习的积极性，体现了“学生中心”的基本理念。

(二)课程学习方式的改革

课前、课上、课后相结合的学习模式。针对一些简单内容，教师列出详细学习提纲，在提纲的引导下，学生自学相关内容。针对课程难点问题，不难发现“难”的原因之一是基本概念和理论的综合运用，“难”的原因之二是学生对已有概念和定理及其应用的方法出现遗忘，因此，通过分解难点，列出与其有关的概念、定理及典型的应用例题，让学生课前复习学习。学生可以根据自己的情况有选择的复习相关的基础知识，同时学生随时通过学习通、QQ平台与教师讨论，为课堂学习做铺垫、清障碍，提升课堂的学习效果，节省了课堂的教学时间，部分课后作业变为随堂练习，从而可适当减少课后作业，能让学生课后有时间去复习、阅读、思考，并逐渐形成良性循环，发挥学生学习主体作用，培养学生良好的学习习惯。

线上线下混合模式。课堂教学采用板书教学为主，结合线上进行随堂练习与检测，线上布置学习任务，课后作业线上限时提交，教师及时批阅，学生可以及时纠正作业中错题，并要求学生作业必须线下、课前提交，以促使学生独立完成。增加线上学生互评作业方式，为学生提供相互学习、相互比较、理性分析自我、评价自我的机会。

加强反思，提升效果。增设期初反思，旨在反省自己上学期数学分析学习中存在的问题，力求本学期得到纠正；增设期中反思总结，旨在反思本学期学习中问题，力求及时纠正；增设期末反思总结，加强学生自我认识，为之后(包括假期)学习做好规划，同时提醒自己假期不可懈怠，学习不应间断，让学生度过愉快而又充实的假期。通过反思总结，加强学生的反思意识，养成反思习惯，提高学习的自觉性。

实施助教辅导的学习模式。在数学分析三教学过程中，尝试选取高年级四名优秀学生做助教，每周搜集学生学习中问题，利用周末进行辅导答疑，也是一种有效的辅助教学方式。

三、教学评价的改进与实施

教学评价是为了检验学生的学习效果，检验是否实现课程教学目标的达成，同时通过过程评价引导师生反思教学中存在的问题，促使学生改善学习态度、改进学习方式与学习行为，促进教师优化教学过程。为达到此目的，数学分析教学加强了过程性评价，增加了多种形式的作业评价，如课前作业、课后常规作业、课后小组合作探究性作业、章节思维导图总结作业等，规范了阶段测验，加强了课堂学习评价。除此之外，还实施了以下评价。

增加肯定性评价。对于学生在课堂上回答问题、参与小组讨论积极，随堂练习表现优异、善于质疑和思考的学生，教师及时鼓励、赞扬，在过程考核中适当体现，激励学生积极进取。

增加线上评价，提升评价客观性。加强学习通随堂练习，设计线上提交课后作业，教师通过学生线上提交的时间、完成的正确度及作业中体现的独立思考性和创新思维，从而较为客观的评价学生的学习态度、学习积极性、课堂学习效果以及学生的基础水平，同时便于及时鼓励优秀生再接再厉，及时发现落后生学习中的问题，督促学生改进，加强了师生互动，从互动中更全面的了解学生的实际情况。

增设学生参与评价活动。对部分网上作业与测验，让学生依据教师提供的详细参考答案及评分标准，对作业、测验进行互评，为学生提供互相学习的机会。对阶段测验，尝试让优秀学生做参考答案及评分标准，锻炼规范编辑数学符号的能力，加强对规范解题过程的认识及独立解决问题能力。同时，通过阶段测验及作业互评，能促使学生发现自己学习中不足与差距，及时调整自己学习状态，端正学习态度。

增加课程小论文。围绕课程重点内容设计课程小论文题目，以小组的方式完成。有助于学生复习巩固所学知识，加强应用所学知识分析、思考、解决问题的意识和能力。

四、问题与反思

数学分析教学改革的探索与实践体现了“学生中心、产出导向、持续改进”的师范认证理念，调动了学生的学习积极性，促进了学生主动参与课堂内外的学习，基本实现了让学生忙起来、学起来、动起来，教学效果也得到提高。

数学分析课程是数学师范专业基础课中普遍认为难学的一门课，虽然依托师范认证理念，认真、踏实的进行教学改革探索与实践，但问题仍然不少。比如学生自主获取知识的能力还不强；学生应用数学分析理论知识综合分析、解决较复杂问题的能力不足；仍有部分学生缺乏学习兴趣。不同的学生有不同的知识基础和理解能力，教师如何根据学生的差异做到更有效的因材施教，使每个师范生的知识、能力与素质在各自的基础上有显著提高；教学评价如何更精准的对接课程目标，如何做到更加全面、客观的反映学生的实际情况，提升评价的可信度；教师还需要综合考虑学生的知识结构、基础水平、课余可支配的时间等多种因素，从质和量上探索合理的设计研究性作业、探索性作业、常规性作业及其评价量规等等。因此，今后仍需要在教学实践中持续不断的探索，进一步改进和完善教学方法和考核评价方式，优化数学分析课程的教学过程，提高课程的教学质量。