以函数单调性证明为例谈西藏高中数学教学策略

黄睿 上海市民星中学

初中阶段，学生是经过从直观图形语言到数学自然语言的过程来认识函数的单调性的。到了高中阶段，需要在此基础上进一步用符号语言来表述函数的单调性。在把握函数单调性定义时，发展学生的逻辑推理素养。在函数单调性证明的过程中，发展学生的数学运算素养。［1］高中数学知识高度抽象概括，逻辑推理要求较高，而大多数藏族学生由于汉语理解能力与理科思维较为薄弱，造成他们在基本的数学运算方面都存在较大问题，导致数学学习上有很大困难，尤其是像函数单调性证明这样的证明类问题。作为上海市新一批组团式教育援藏人才，笔者在日喀则市上海实验学校连续两年担任高一年级数学教学工作，走过一些弯路，有过一些困惑，也请教了一些同事，思考了一些方法——从西藏学生实际情况出发，有针对性的西藏高中数学教学策略。

一、做好知识衔接，降低新知坡度

进入高中之后，很多学生都能感受到初中数学学习与高中数学学习存在着很大的差异。除去高中数学对于学生自学能力、思维能力的要求较高之外，初高中数学的差异很大程度都体现在教材内容与中考要求上。由于主观与客观的断隔，初中课程和高中课程成为两个互不关联的自封闭系统，难以沟通更谈不上共融。［2］例如，在函数单调性证明过程中，需要学生具备良好的因式分解方面的数学运算素养，还涉及到不等式的基本性质等内容。由于西藏学生的数学基础不够扎实，如果教师直接教授函数单调性证明这一内容可能造成学生的学习困难。因此，适当地调整教学内容的顺序，并有针对性地做好知识衔接，能够在降低学生学习新知坡度的同时，夯实学生的学习基础，保证学生的学习兴趣，提高学生的学习效率。

（一）做好知识衔接，夯实学习基础

函数单调性证明常常采用“作差法”来判断f(x1)-f(x2)的符号，而且在证明的过程中需要对解析式进行通分、因式分解、配方、有理化等操作，向着有利于判断符号的方向变形。在笔者的教学中，发现学生对于初中时学习过的“作差法”比较实数（或代数式）大小的方法并不熟悉，而且学生在进行简单的多项式提取公因式、分组合并等因式分解时存在较大的问题。因此，在教授该内容前，可以先复习一下相关的知识、方法、公式等。

面对西藏学生数学基础比较薄弱的实际情况，教师可以在教授新课前有针对性地复习一些初中的知识，这样更有利于让学生在最近发展区构建新的知识。在高一新生刚刚入校之时，对其开展数学初高中的衔接教学，为学生高中阶段的数学学习奠定一个坚实的基础。［3］虽然这样做在教学进度上会稍稍落后，但是磨刀不误砍柴工，由于通过衔接教学夯实了数学学习的基础，因而在之后高中新课内容的教学上会更加顺畅，也就会逐渐缩小进度上的差异，并在学生的学习质量上有所保障。

（二）调整教学安排，降低学习坡度

在函数单调性证明最后确定符号这一环节中涉及到一些不等式的性质，有些性质学生在初中学习过，比如由x1＜x2得x1-x2＜0，但是还有一些学生并没有学过，比如由x1＞2,x2＞2 得x1x2＞4，虽然可以通过简单推理得到，但是仍在一定程度上增加了学生学习单调性证明的难度。不等式的性质的相关内容在人教A 版（2007年）教材中被安排在必修5 分册的第三章《不等式》中，而在上教版教材和人教A 版（2019年）新教材都将《等式与不等式的性质》一章安排在必修1的《函数的概念与性质》之前。因此，学校高一数学备课组在安排教学进度时，可以根据本校学生学习状况，适当地调整教学顺序，将《不等式》一章内容提前完成，为学生进一步学习新知识做好准备，降低学生学习函数单调性的坡度。此外，在《不等式》一章的教学过程中，由于涉及到一元二次不等式的解法等内容，通过教学也可以锻炼学生在因式分解方面的应用。

普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）中指出必修课程包括五个主题：预备知识、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动。主题一预备知识中包括集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，通过这些内容的学习，让学生为高中数学课程做好学习心理、学习方法和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。［1］虽然目前西藏地区还没有全面使用新课标新教材，但是教师在授课过程中可以参考学习，尤其是在高一初始年级可以根据学生的实际情况适当调整教学安排，降低学生学习新知的坡度，提高学生学习数学的兴趣。

二、重视总结归纳，助力思维发展

高中数学知识点较庞杂，需要教师引导学生不断对知识点进行总结归纳，以巩固旧知，探索新知。［4］总结归纳的时机可以是课堂上知识方法的讲解提炼，也可以是章节教学完成后的总结深化；可以由教师提纲挈领地进行总结，也可以由学生通过个人实际学习体会进行归纳。针对于西藏学生的实际情况，教师更是要及时进行总结归纳，突出教学重点，突破教学难点，提高教学效率。

（一）课上提炼方法，突出教学重点

函数单调性教学一般都是从单调性的定义开始，让学生从观察图像得出函数图像上升、下降的直观感受，提升为运用数学符号进行形式化的定义，根据函数单调性的形式化定义，可以得出函数单调性证明的一般解题步骤。在讲解时，教师可以先从一次函数和二次函数这两个学生学习过、比较熟悉的函数入手，让学生先对证明过程有个初步的认识，熟悉用数学符号对函数单调性的形式化定义。然后结合题目的证明过程，发挥学生的主观能动性，让学生寻找其中的共性，归纳总结得出单调性证明的一般解题步骤。教师可以从旁指点，并根据学生的实际情况将其细化：

①设值（任意x1,x2∈D，且x1＜x2）；

②作差（f(x1)-f(x2)，注意括号）；

③变形（通分、因式分解——同类型合并）；

④定号得结论（f(x1)-f(x2)＜0 ⇒f(x1)＜f(x2)⇒增函数f(x1)-f(x2)＞0 ⇒f(x1)＞f(x2)⇒减函数）。

然后，再通过练习让学生运用总结的解题步骤，加深印象，深化理解。由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此在学生完成证明解答后，教师可以利用绘图软件绘制出相应函数的图像，让学生直观观察得出其单调性，充分体现了数形结合的思想。

（二）章后总结归纳，完善知识体系

高中数学知识内容自成体系，前后章节层层深入具有一定关联性。学生在学习每个章节时往往是各个突破，知识点较为零散。为了让学生能够更好地为后续学习做好准备，教师需要在完成章节教学后引导学生总结归纳，由点及面，形成较为完善的知识体系，具体可以采用绘制思维导图或列表对比等方式开展。

学生在初中时学习过函数的描述性概念，接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，了解了它们的图像、性质等。进入高中后，必修1 第一章中“函数及其表示”和“函数的基本性质”这两小节学习是对函数概念的再认识，更加系统地学习了函数的概念、函数的表示法，以及函数的单调性、最值、奇偶性等基本性质，而这些知识点都还要在后续第二章学习指数函数、对数函数、幂函数中具体应用研究。因此，完成这两小节教学后，需要教师引导学生进行总结归纳，为后续学习做好准备。思维导图是一种将思维形象化的方法，通过关键词连接、辐射形成思维“地图”。由于“函数及其表示”和“函数的基本性质”这两小节内容相对独立，因此这一总结归纳的过程可以采用学生小组合作绘制思维导图的形式，发散学生群体的思路，在头脑风暴的过程中完善函数知识体系。

三、改进方法手段，提升学习兴趣

在日常教学中，经常会遇到这样的情形：讲台上，教师情绪激昂地讲课；讲台下，学生表情呆滞，手中的笔无情地记录，更有甚者个别学生睡眼惺忪、昏昏欲睡。与其把主要原因被动地归咎于学生，不如主动地去分析并改变我们教师自己的教育教学行为。如何能够吸引学生眼光，保持每节课40分钟高度注意力，需要教师认真思考解决。

（一）搭建思维支架，降低学习难度

函数单调性证明过程需要学生用符号语言进行表述，逻辑推理要求较高，而其中涉及到的数学运算能力素养也增加了学生学习的难度。由于西藏学生数学思维较为薄弱，习惯于机械性的代数运算，在逻辑推理能力上还有待提高，在解题过程中常常会产生前后毫无逻辑关系的推理，与课程标准的要求存在一定落差，直接让学生独立完成完整的证明过程较为困难。因此，教师可以将练习由证明题的形式改变为填空题，帮助学生搭建思维支架，降低学生学习难度，将证明过程中的一些关键性步骤抽空，引导学生进行填写，让学生对于解答函数单调性证明题有一个更加直观的感受。例如，在证明函数在(0,+∞)上是减函数时，可以将其设置为填空：

_____x1,x2∈(0,+∞)，且_____，

f(x1)-f(x2)=_____=_____=_____，

∵0＜x1＜x2，∴_____，_____，_____，

∴f(x1)-f(x2)_____0，∴f(x1)_____f(x2)，

这样由教师人为设置填空，可以让学生认识到全称量词“任意”的重要性；明白在f(x1)-f(x2)作差后先进行带入，然后通分，再进行因式分解的常规化简方法；通过由0＜x1＜x2推理得出各项的符号，让学生理解如何对化简后的解析式判断符号，进而得出最后的结论。在学生通过填空题的形式对于函数单调性证明有了直观体验后，再让其完整地书写完成证明练习题，可以更有效地培养学生的逻辑推理的能力。

（二）当堂直观呈现，互相寻找差距

在讲解函数单调性证明时，虽然教师在课堂上通过例题以及练习让学生感受形式化定义、熟悉证明步骤，但还是有学生没有充分理解，在作业练习中遇到不同的问题时暴露出来。在授课过程中，对于学生的个性化问题，教师可以在课后通过单独面批的方法解决，而对于班级学生的共性问题，则一般在课堂上进行统一讲解。但是，在讲解时有些学生感觉已经会了或是并不觉得这是他的问题，因而听课兴趣下降，导致收效甚微。其实，教师可以改进方式方法，把学生作业中的共性问题拍照下来，然后在课堂上投影呈现，让班级同学一起来寻找问题。由于西藏学生本身就很热情，上课时参与课堂的积极性很高，而且由于在拍照时隐去了学生的个人信息，学生们也不知道展示的是谁的作业，因此寻找起来饶有兴趣，往往不仅能够发现教师想要在班级中讲解的问题，还能找到一些教师没有注意到的细节错误。除了可以在课堂上呈现学生存在的问题，还可以把完成情况较好的学生的作业作为正面的典型让班级学生一同“欣赏”，发现别人的长处，寻找自身的不足。

姜伯驹院士指出：不证明，数学课就失去了灵魂。［5］函数单调性证明不仅是函数教学中重要的一课，而且在学习的过程中发展了学生逻辑推理、数学运算等能力。如何上好这一课，如何为西藏学生上好这一课，不仅考验了教师自身对于数学本体性知识的理解，还考验了教师对于学生学习状况的了解。面对不同的学生，因地制宜地采取不同的策略，才是提升课堂效率，培养学生核心素养的关键所在。