例谈高中数学解题中的化归思想

黄小良

摘 要：在高中阶段的学习中，数学学科更加抽象，数学解题中遇到各种类型的难题影响学生学习效率.为了构建高效课堂，提高学生学习效率，引入新的教学模式和思想，化归思想作为数学中的重要思想，能够提高课堂教学效率，强化学生思维能力，使得知识内容通俗易懂，具有形象性和具体性的特点.借助化归思想完成数学问题的转化，帮助学生快速有效解决问题，提高学生的解题能力.本文探究高中数学解题中化归思想的应用策略.

关键词：高中数学解题;化归思想;应用策略

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）01-0083-03

在高中数学教学中，注重学生解题能力的培养，引导学生利用数学知识和定理进行相应的数学运算和推理，是高中数学教学的重要任务.想要提高学生的解题能力，不仅仅是对学生进行习题练习和讲解，还需要学生掌握解题方法和技巧，引导学生利用数学思想，做到触类旁通、举一反三，提高学生的解题能力.化归思想是众多数学思想的一种，在数学解题中应用比较多，能够降低题目理解难度，明确解题思路，快速高效地解决数学难题.

1 化归思想的概述和原则

在高中数学教学中，涉及到的数学思想很多，如数形结合思想、函数与方程思想、化归思想等，化归思想能够帮助学生解决数学问题，通过真命题的方式对新命题进行证明，利用已经掌握的数学概念，完成新概念的定义，对各种数学问题进行处理.在高中数学中，化归思想有着重要的位置，在数学运算和计算中，将复杂方程问题转化成若干个方程，将立体几何转化成平面几何，借助化归思想有效解决数学问题.高中数学解题教学中，要求学生根据题目信息，结合已知条件，对其内在联系进行分析，利用化归思想，简化数学解题，寻找数学解题思路和方法.

在高中数学解题中，想要应用化归思想，需要遵循相应的原则.首先，熟悉化原则.在高中数学解题中，化归思想的利用应当根据以往解题经验，结合同类型的数学题目，对已知数学信息进行转化，将其转化成已知量，寻找问题解答思路.其次，简单化原则.在实际的解题中，应用化归思想，其目的是简化数学题目，将数学题目相关的信息进行提炼，实现数学题目的简化，将无价值或者干扰信息剔除，避免解题环节出现错误.最后，难反性原则.在高中数学解题中，部分题目采取正向思维方式解题较为困难，可以利用逆向思维方式，从问题向前推导，通过对问题和已知量关系的总结，简化数学解题，完成数学题目解答.

2 高中数学解题中化归思想应用策略

2.1 動与静之间的转化

在高中数学解题中，动与静之间的转化是化归思想的主要内容，通常体现在函数解题中，借助函数反映生活中存在的变量关系，是一种重要的数学模型，对事物运动和变化的规律进行探究.在学习函数知识的过程中，引导学生探究变量之间的关系，提炼出数学和变量之间的关系，借助化归思想，将静态问题转化成变量动态关系，通过运动观点思考和解决函数问题，提高学生的解题能力.例如，在对数函数中，大小比较是常见的题目类型，让学生掌握解题方式，学生很容易就能够完成解题.

例1 试比较log312和log35的大小.

在解答此题的过程中，教师可以引入化归思想，借助函数的动静转化解决问题.首先，教师让学生对两个数学式进行观察，并且明确两个数学式属于静止数值，引入化归思想，借助静与动的转化，构建对数函数f（x）=log3x，将两个数学式看作函数自变量对应的函数值，实现数值的动态化转变.根据对数函数f（x）=log3x在定义域（0，+∞）上单调递增，对两个数学式的大小进行判断.通过学生掌握化归思想，将实现静态和动态的转化，简化题目理解难度，掌握解题方式方法，特别是对于选择题、填空题，能够快速准确地找出答案，提高学生的解题能力.

2.2 数与形之间的转化

数与形的转化和结合是化归思想的特别形式，将代数式和图形巧妙地结合，将抽象问题转化为直观问题，将复杂问题转化成简单问题，是一种有效的解题方式.因此，在高中数学解题中，根据题目条件和内容，利用化归思想，借助数与形的结合，对题目进行分析，找出其中的数量关系，明确解题突破点，完成题目的思考和解答.

例2 在函数y=3sinx和函数y=12-x中，当x的取值范围是[-1，5]时，那么两个函数图象交点的横坐标和是.

此题是求解两个函数在特定区间的交点，如果采取常规的解题方式，利用两个函数相等构建相应的方程、分式和三角函数形式，运算过程较为麻烦，很难求解出交点的横坐标.因此，教师可以引导学生转化思路，借助数与形结合思想，将“数”转化成“形”，画出相应的函数图象，观察区间[-1，5]上的图象，如图1所示，两个函数图象一共有六个交点，并且交点关于（2，0）成三组对称，因此（2，0）是每组对称点的中点，利用中点坐标公式完成横坐标和的求解.

在高中数学解题中，面对一些复杂的数学问题，如果从常规思路无法解题或者解题过程复杂，可以借助化归思想，利用数与形的转化对问题进行分析，将复杂的数量关系通过图形展示，明确问题解题思路，锻炼学生的解题能力，掌握多样化的解题方式.

2.3 等价和非等价的转化

在化归思想中，等价转化和非等价转化是常见的形式，在等价转化时，需要对其前因后果进行了解，保证转化的准确性.一般来说，在立体几何解题中，对于翻折、对称等问题，通过曲直转化的方式，将立体化问题转化成平面问题，快速准确解答问题.

例3 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA是直角，M是A1B1的中点，N是A1C1的中点，且BC=CA=CC1，那么BM和AN所成角的余弦值是.

在解题中，通过对题目条件进行分析，需要对其进行相应的转化，将直三棱柱补充为正方体，借助向量法求解异面直线夹角.根据∠BCA为直角，三棱柱为直三棱柱，并且BC=CA=CC1，将直三棱柱进行补充，构建相应的空间直角坐标系，如图2所示.假设正方体的棱长是2，得出点A，B，M，N的坐标，根据坐标写出向量BM和向量AN的坐标，利用向量相关知识，求解出BM和AN夹角的余弦值.图2

在等价转化过程中，应当确保其等价性，特别是逻辑的准确.如函数定义域和值域的求解中，根据定义域和值域的概念，将其转化成不等式组，针对方程根的分布问题，将其转化成不等式求解.

2.4 一般和特殊的转化

在高中数学解题中，一些难题需要从特殊向一般转化，利用特殊值、特殊情况对题目进行求解.在具体的解题中，结合已知数学知识和原理，将一般条件和特殊条件进行相互转化，一般来说，一般情况是对特殊情况的概括和总结，具有一定的普遍性.面对高中数学题目，需要对其题目进行分析，找出其特殊情况，在探究特殊情况的基础上，对题目进行一般化总结.

例4 已知函数f（x）=x2+x，x≤0ax2+bx，x>0是奇函数，求解函数F（x）=bx+3ax上任意点P处的切线与直线x=0和直线y=x所成图形面积.

在解题过程中，根据题目中的已知条件，坐标系所围成图形面积是一定的，那么和点P位置没有关系.在实际解题时，可以对点P进行任意取值，确定点P 的特殊位置，根据函数式中a，b的值，求解图形的面积.在整个解题中，利用化归思想，实现特殊和一般的转化，使得解题更加简单，引导学生结合所学知识，将问题进行简化处理，锻炼学生数学信息识别和分析能力，掌握多样化解题方法，提高学生的解题能力.

在高中数学解题教学中，化归思想是常見的解题思想和方法，在学生解题训练中，引导学生利用化归思想锻炼学生的解题能力，掌握多样化的解题技巧.通过学生解题训练，加深数学知识理解和应用，实现学生综合能力发展.随着新课程改革的深入，高中数学改革也在不断推进，作为数学学科的重要思想，化归思想有着重要的地位，应当灵活应用到数学解题环节，加强学生综合素质培养.本文通过对化归思想进行概述，简单叙述应用原则，结合几种化归思想的表现形式，探究化归思想在高中数学解题中的应用.

参考文献：

[1]夏小又.浅议化归思想在高中数学解题中的运用[J].读与写（教育教学刊），2017，14（01）：118.

[2]刘海涛.高中数学解题中转化思想的应用研究[J].数理化解题研究，2020（10）：7-8.

[3]赵元兄.高中数学解题中化归思想的运用[J].商情，2019（24）：243.

[责任编辑：李 璟]