利用导数突破高考圆锥曲线压轴题

贺凤梅

摘 要：近年来，高考数学试题中屡屡出现，圆锥曲线与切线方程的综合试题，解题时需要利用导数作为工具.学生往往顾此失彼，考虑了圆锥曲线却忽略了导数，使得准确率较低.本文以2021年全国乙卷的圆锥曲线压轴题为例，谈谈这类题型的解题方法.

关键词：圆锥曲线;切线;导数

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）01-0005-03

4 追根溯源

（2013年辽宁理科20题） 抛物线C1：x2=4y，C2：x2=-2py（p>0），点M（x0，y0）在抛物线C2上，过点M作C1的切线，切点为A，B，（M为原点O时，A，B重合于原点O），当x0=1-2时，切线MA的斜率为-12.

（1）求p的值;

（2）当M在C2上运动时，求线段AB的中点N的轨迹方程.

评注 此题也有多种解法，可以直接设切点的坐标，利用导数的几何意义得出切线方程，再利用求轨迹的方法求解.此法的关键点是设而不求，思路直接，难点是参数多，需要注意消参的技巧;也可以借助抛物线的参数式，利用导数求出切线的方程，进而求出两切线的方程，转化为以t1，t2为两根的方程，最后利用韦达定理求解，关键点是方程的转化和消元的技巧.此题解法从略，有兴趣的读者可以自己尝试.

从近几年全国各地的高考圆锥曲线的压轴题来看，圆锥曲线的定义、几何性质及直线与圆锥位置关系仍是高考的热点和难点.文中两题以圆锥曲线中的抛物线为背景，过曲线外一点引曲线两条切线问题为载体展开.一道题是利用导数求切线斜率，并求所得到的三角形面积的最大值;另一道是利用导数求切线斜率，寻求动点轨迹方程.两题均考查了圆锥曲线的一些基本知识及消参等基本运算;从思想方法上来看，考查了数形结合思想、函数与方程思想等.

要学好高中数学，就应该对所学知识有整体的认识和把握，即理解这些知识在解决数学问题乃至实际问题中所起的作用.我们也要明确，数学是思维的科学，逻辑思维、数形结合、概括与综合等都是数学的重要思想方法.

参考文献：

[1]王敏.導数在圆锥曲线中的应用[J].高中生学习，2014（04）：33-35.[2]谢幸达.一道与圆锥曲线的切线方程有关的高考题引起的思考[J].未来英才，2015（05）：303.

[责任编辑：李 璟]