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条件概率与独立性教学中的认知偏差及对策研究

2022-02-26曹广福

高中数学教与学 2022年10期
关键词:辨析独立性本质

杨 鸿 曹广福

(广东省韶关市乳源高级中学,512700) (广州大学,510006)

条件概率与独立性是概率教学的重点和难点,也是后续学习概率内容的基础,占据概率内容的重要地位.但在其教学中存在较多认知偏差,究其根本原因主要有两方面,一方面在于许多条件概率与独立性问题有违人的直觉,另一方面在于教师自身概率知识储备不足.因而,在教学中要重视概念的辨析,抓住条件概率和独立性概念的本质,针对认知偏差进行教学设计,讲清概念内涵,体现概率教育价值.

一、条件概率与独立性教学中的认知偏差

1.对条件概率地位的认识有分歧

一种观点认为条件概率的定义并不重要,其仅仅起到引入过渡的作用,教学上无需花费太多精力,更无需做相应习题,重点应落在让学生自主探究及情感态度价值观的培养上.其理由是相对于“基本事件”这个核心概念而言,条件概率是次要的概念,起主要作用是判断事件相互独立的依据,而后面的二项分布内容才是章节重点[1].另一种观点则认为学生对条件概率的理解会对后续内容的学习产生重要影响,学生对独立性的内涵理解是建立在条件概率的基础上,如果不阐述清楚条件概率学生无法真正理解独立性的内涵、积事件的概率以及独立事件的本质,并会在学习中出现公式的错误推广.因而在讲授事件独立性时采用条件概率引入课题,并取得较好的设计效果[2].可见这两种观点截然相反,一个认为条件概率不重要,另一个认为条件概率重要而且是其他概念的基础.

2.对条件概率的教学重知识题型缺乏本质认识

现行高中条件概率的教学,重知识、重形式,缺乏对定义的辨析理解.一种是在教学中用一个或多个具体实例就总结出条件概率的运算公式(其实是条件概率定义,但被误认为是公式)[3][4];另一种是研究在解题如何根据题目描述,确定是否为条件概率,然后进行求解[5];还有一种是注重外在表现形式而缺少内涵的教学,即用文字表述来辨别所求问题或转变一下教学形式[5].引入条件概率的实例较多的是抽球问题或者抽选正品、次品,还有生男孩、生女孩问题,以及投掷骰子的点数问题.

3.独立事件定义教学停留在表面直观

许多教师习惯于用抛硬币或抽奖来引入课题、分析结果的共性,然后过渡到独立事件的定义.从教学过程来看,尚有可以探讨的地方:一是授课时忽略了学生对引出独立性概念时的疑惑.例如,在人教A版选修2-3中“事件的相互独立性”的教学中,对于问题2,事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”,事件B为“最后一名同学抽到中奖奖券”,当教师问事件A与B是否独立时,事件A与B不独立的情况下,学生却回答独立,但教师未给出解释,直接换成显然没有相关性的问题3“事件A与C是否独立?”二是将条件概率的定义P(A|B)=P(A)=P(AB)/P(B)误认为公式;三是教师得到肯定的回答后,直接引入独立性的定义,并在学生对概念的内涵都不理解的情况下,就进行其他内容的辨别,进行解题训练,显得有点仓促.从教学过程看,学生并没有真正理解独立性的本质,只是生硬地使用独立性的定义或者凭直观感觉判断事件间是否独立,忽略了两两相互独立与相互独立的辨别.

尽管针对上述问题.许多教育工作者实施了各种题型战术,但收效甚微[6].

二、出现条件概率与独立性教学认知偏差的原因

1.条件概率与独立性问题有违直觉

人们在判断事物时,有时靠直觉而非逻辑,然而许多概率问题又是有违直觉的.比如“三门问题”,如果凭直觉判断事件间的发生是否有影响,那么就容易出现错误.另外,在学习条件概率时,容易受时间偏见、因果偏见等常识判断的影响,以及一些相近概率内容的影响,多半会出现认知偏差.人们在学习任何一门新学科或者新知识新技能的时候,经历混淆到清晰的过程是正常现象,而抓住问题的本质是关键.

2.概率知识储备不足

对条件概率定义的认知理解与教学是解决问题的关键,但教师对条件概率定义认知理解及教学现状并不乐观.研究发现,教师概率统计知识储备状况非常不足,对概率统计教学存在困难,对条件概率、小概率事件的知识非常欠缺.主要问题在于,知识储备不足,参考资料不足,不了解学生学习的困难等[7].

3.对条件概率定义的认知有偏差

部分教师认为条件概率涉及到的定义有先后之分,可以使用条件概率,两个事件如果同时发生就不可以使用条件概率[8].这显然误解了条件概率的本质,误认为其需满足时间先后顺序.例如对于问题“甲乙丙3人只有1张电影票,他们决定按甲乙丙的顺序抽签决定谁拥有这张电影票,已知乙拥有了这张电影票,问甲拥有这张电影票的概率是多少?”一些人认为该问题不属于条件概率,因为是按甲乙丙顺序抽签,所以己知乙抽得电影票的事件的发生与否不可能在真正意义上影响到甲的抽签结果,所以这种条件关系是形式上的条件关系,而非实质上的条件关系.

4.对条件概率性质的认知有错误

部分教师对条件概率理解的多种错误:其一,试题命题者提供的参考答案中,混淆P(A|B)和P(AB);其二,学生使用错误的公式计算条件概率;其三,教师错误地将性质P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)理解成P(B|A)=P(B|A1∪A2)=P(B|A1)+P(B|A2),导致肯定学生的错误解答,而否定学生另一种的正确解答,不仅如此,教师还给出错误解释[9].

5.对条件概率的本质认知模糊

有人认为,条件概率的本质是在缩小事件空间的范围内求概率问题.如果按这个理解,那么有可能引起下以下错误.

例1一个班级中有男生30人,女生20人,其中15人是团员,在这个班级中任选1名学生.

(1)这名学生是团员的概率是多少?

(2)若已知这名学生是男生,这名学生是团员的概率是多少?

在分析第(2)问时,样本空间基本事件的个数由原来的50个缩减为30个,进而第(2)问所求的概率为用团员人数15除以男生人数30.这显然是不成立的.如果题目知道这15个团员都是男生那就成立了.

6.对事件相互独立性本质的认知有偏差

例如,对于甲班有51名同学,其中男生30人,女生21人,男团员10人,女团员7人.从甲班任意叫出一位同学,事件A表示该生为男生,事件B表示该生为团员.则有P(A)=30/51,P(B)=17/51,P(AB)=10/51,所以P(B|A)=P(AB)/P(A)=17/51=P(B),P(A|B)=P(AB)/P(B)=30/51=P(A).

显然,这个结果是错的.这里错误地认为该生为男生与该生团员没有关联,即事件A和事件B互不影响,事件A和事件B发生概率具有相互独立性.这是对事件相互独立性定义本质的错误认识,这个错误是因为对条件概率本质的认识出错,导致解答过程出错,得到事件间相互不影响的错误解释.事实上,条件概率定义中并没有要求必须有一个事件已经发生,这是对概念的误解,也强化学生对条件概率的概念产生误解,影响后续知识的理解学习.

三、纠偏对策及教学建议

1.注重条件概率概念教学

条件概率与独立性教学认知出现偏差的一个重要原因,就是在概念教学过程中,没有注重对概念的内涵辨析清楚.因此,在提升教师概率专业素养的基础上,在平时教学中,如果先针对条件概率定义进行辨析,重视条件概率定义教学,学生在学习条件概率出现的认知问题就能找到解决的对策.

2.抓住条件概率定义的本质设计教学

人教A版选修2-3对条件概率定义的描述为:事件A发生的条件下B发生的条件概率.这常常使初学者对事件A与事件B的发生有时间先后的错觉;而教师在讲授该内容时也会强调事件A已经发生,而事件B还没有发生.事实上,事件A未必先于事件B发生,即事件A,B的发生无所谓先后:事件A可以发生在事件B发生之前,也可以发生在事件B之后,还可以与事件B同时发生.事件A发生的条件下B发生的条件概率主要研究的是从概率的角度分析一个事件对另一事件的影响,这才是条件概率的本质.条件概率是对事件A和事件B之间的相关关系的判断,分清两个事件到底是独立的还是存在某种相关关系,正确理解独立的概念,对条件概率的学习有重要意义.如果事先没有对条件概率定义进行过深入研究以及辨析,是无法领悟到条件概率的本质,那么出现错误也是在所难免.

3.注重条件概率性质的理解辨析

2019年人教版新教材中引入条件概率定义后,直接指出条件概率具备概率的性质,然后在例题中运用性质解决问题.作为教材的使用者,在课堂教学中,应借助文恩图明确指出条件概率的性质:

假设随机事件的样本空间为Ω,如果A,B,C是样本空间的子集(随机事件),且P(A)>0,则条件概率P(B|A)满足(1)0≤P(B|A)≤1;(2)P(∅|A)=0,其中∅是空集;(3)P(Ω|A)=1;(4)若B∩C=∅(互斥事件),则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)[10].

另外,需特别辨析为何不是P(A|B∪C)=P(A|B)+P(A|C).这样,在解题过程中就可以有据可依,避免不必要的错误.

综上,在条件概率及独立性教学中,存在重解题轻概念的教学误区.根据弗莱登塔尔的数学教育理论,数学教育是数学的“再创造”,那么让学生经历条件概率的形成过程,就是学习条件概率的必然过程、重要过程,甚至是关键过程.如果学生没有对条件概率及独立性定义有清晰的认识,不论采用何种便于理解的问题表征方式,也是无济于事,后面的题型训练也是在做无用功.所以在学习条件概率之初,不妨回到问题的起点,即从概念辨析出发,从概念的认知开始教学,重视概念的形成以及辨析过程的教学,有利于提高学生数学抽象素养.当学生对条件概率及独立性定义有了清晰的认识,那么在具体问题情境中,在解决新情境中的条件概率及独立性问题时,就有据可依,有章可循,而不是凭直觉来断定.其间可能会经历混淆、出错、辨析、确定的过程,但因为已经对定义有准确的认识,那么学生就可以根据定义排除直觉的干扰,去伪存真,有利于提高学生逻辑推理能力,从而解决新情境下的条件概率及独立性的问题,实现概率教学的教育价值.

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