基于排队论的应急医疗设备保障中心呼吸机需求配置研究

舒子芳，吕思敏，向 逾

（1.重庆市巴南区人民医院普外科，重庆 401320；2.陆军军医大学第二附属医院设备科，重庆 400037；3.重庆市巴南区人民医院总务科，重庆 401320）

0 引言

为保障临床医疗救治的应急需要和提高医疗设备的院内利用率，很多医院都建立了自己的应急医疗设备保障中心（以下简称“保障中心”）并交由医学工程科负责运营管理。保障中心主要为全院临床提供一定数量的共享设备，如呼吸机、监护仪、输注泵、除颤仪、吸痰器等应急医疗设备。这些共享设备在抢救本院病患、支援院外医联体成员[1]、院内设备协调困难等方面具有重要的现实意义，同时还能降低部分科室的运行成本。其中，应急医疗设备的购置数量在一定程度上决定了设备的完好率，还将直接影响医学工程科后勤保障效能的发挥。

一般情况下，应急医疗设备由院方出资，全院科室共享，计费收入再按比例分成。保障中心购入一定数量应急医疗设备的支出由医院承担，维修与配件成本也由医院支付，所以院方会反复论证这些设备资源的配置方案。如何有效评价这些应急医疗设备的配置量成为一个较为棘手的问题：若购置太多，则会造成大量设备闲置[2]，开机率降低，资金利用率下降；若购置太少，则不能充分满足急救患者使用，容易产生使用冲突。目前几乎所有医院的现状是主观粗略估计设备数量或者采用粗略的均值法计算，缺乏更加科学、准确的应急医疗设备投入依据。所以，需要对实际临床需求量与应急医疗设备的动态匹配性进行研究，将需求总量、设备使用特性、拟达成的某种效果、使用强度等信息纳入计算，用合理的应急医疗设备成本保障医院的整体需要。

1 问题描述

以某医院为例，自成立保障中心以来，呼吸机一直是生命支持类设备的标配。保障中心值班员接到需求信息后立即运送呼吸机及附件到现场，然后连接管路，开机调试完毕后交付临床即算完成一个应急配送任务，属单队列并行处理模式（一人值班按顺序配送全院设备）。把每台呼吸机看作一个服务机构[3]，临床申报后需要尽快送达，当呼吸机的数量大于临床需求时保障效率较高，临床只需花费较短的等待时间即可获得呼吸机。而通过了解发现，临床实际需求量普遍大于呼吸机台数，此时只能花费较长时间排队等待或者寻求科室之间的调配支援，最终可能延误应急救治。因此，为了达到一定的保障率，在日常平均需求量与配送效率一定的情况下，要求等待时间更短，就需要定量测算需要多少呼吸机才能满足要求，实现常规保障任务与呼吸机数量的近似匹配。

2 排队论模型

2.1 配送需求与呼吸机配置的关系分析

在现有医院应急医疗设备保障体系中，当出现任何需要紧急使用呼吸机的情况均应无条件配送，这样就构成一个典型的呼吸机配送服务系统。由于保障中心值班人员和设备的数量是有限的，则排队队列也是有限的，所以临床需求量与呼吸机配置数量之间形成了以下3种服务状态：

（1）呼吸机数量不足，即呼吸机数量很难满足全院常规应急需求。科室一旦出现急抢救需要则第一时间就被迫进入了待配送队列，必须经过一定的等待时间或者优先级过滤后才能得到呼吸机。此时因呼吸机数量不足导致已进行排队的配送任务量持续增加，队列长度随之增大，配送人员压力过重，进而造成配送周期变长、任务积压等问题，严重耽误临床业务。呼吸机数量偏少是目前很多医院保障中心普遍存在的状况。

（2）呼吸机数量过剩，即呼吸机数量远远超过了配送任务量，平均逗留时间小于平均必要时间，配送任务队列几乎为零，保障效率非常高。此时若有需要即可进入配送程序，基本不需要排队等待，总体保障速度与效率均为最佳，但呼吸机的利用率偏低，人力成本与运行成本较高。所以这样的情况在现实中基本不存在，也不是我国医疗体制改革或者医院管理者认同的设备资源配置方式。

（3）呼吸机数量合理，即呼吸机数量与配送任务量保持一定的良性供需配比关系。若呼吸机进入配送队列，只需要经过较短等待时间或者根本无需等待即可进入配送程序。这种关系下配送队列中各成员的等待时间较短，任务处置效率高，配送人员的利用率较高，不存在呼吸机配置不足或者过剩的情况，保障效果基本满足临床要求。为达到这种最佳状态，本文拟通过对临床配送的需求和呼吸机数量的配比进行研究[4]，找到相对合理的呼吸机配置方案。

2.2 排队论模型的特征描述

实际工作中，保障中心通常按照电话申报的顺序提供呼吸机配送服务，配送形式为一人一机。无论是否采用优先权排队，临床科室肯定希望等待时间越短越好。能调动更多的呼吸机自然是一种有效的应对手段，然而盲目增加呼吸机并非最好的解决方案，所以医院管理层还应考虑呼吸机配置的经济性问题，在满足临床需求的前提下使呼吸机的配送服务更加经济[5]。因此，可以运用排队论的原理，结合呼吸机配送工作的特点来建立呼吸机数量的确定方法，构建对应的排队论模型。

图1所示为给定配送任务下呼吸机的配置数量测算流程。

图1 呼吸机配置数量的测算流程图

模型的几个关键参数描述如下。

（1）任务到达时间分布M：忽略特殊性，患者的急抢救是随机发生的，呼吸机配送任务的到达时间也是基本相互独立的，所以配送任务的到达可认为服从泊松分布[6]。因为泊松分布是二项分布的极限形式，因此泊松输入不仅在数学处理上更加简便，还允许了很多特殊的假设条件，使得很多配送任务的统计更为有利。

（2）服务时间分布M：指配送人员对单个任务处理时间的分布。虽然配送时间随着经验的增长而变短或者随着设备的老化而变长，但从长期来看已经进入一种稳态，不存在短期记忆性[7]，因此配送工作以相对恒定的平均速率连续且独立地发生着，可认为服务时间服从负指数分布。

（3）服务台数量c：指呼吸机的数量，也是本文研究的重点内容。虽然各类呼吸机的操作与设置不同，但配送人员的熟练程度可视为一致，所以每次配送的平均时间认为是近似稳定和相同的。

（4）系统容量：指排队系统能容纳的配送任务的数量。根据呼吸机需求产生的特点和保障中心的服务特性，当天的实际值是一个有限量，但从长期来看配送量是源源不断地进行着，所以可认为该系统容量是无限的，即配送任务允许无限排队。

（5）任务数m：主要指医院某段时间内发生的呼吸机需求数目。呼吸机的需求具有随机发生、使用时间长短不一、有创或无创区分显著的特点，总体上看在较长时期内配送次数呈稳定的离散均匀分布，故可认为维修任务数是有限的。

（6）排队规则：同等优先级的配送任务采用先到先送、用后消毒再循环的方式，特殊紧急需求按不同优先级处理，最终实行强占优先级规则。

综上，应急医疗设备的配送排队论模型可表述为M/M/c/∞/m/PR，其中，∞表示系统容量无穷大；PR表示服务规则为强占优先权。

3 排队论模型的数学描述

假设有c台呼吸机，每台呼吸机独占一个配送任务且不出现故障，某个时间段内至少可进行c个急抢救服务。若每天申报的需求数量为m，一般情况下m＞c，因此会有任务进入待配送队列。由于设定的排队系统为无限容量，且呼吸机服务时间与配送任务到达具有随机性，应先设定系统服务强度ρ=λ/（cμ）＜1[8]，其中，μ为呼吸机的平均配送率；λ为任务平均到达率；ρ接近1说明呼吸机服务强度较大，ρ接近0说明服务强度较小，只有当ρ＜1才不会排成无限队列[9]，可见ρ与呼吸机数量c存在反比关系。则前述排队论模型对应的系统空闲概率P0为

式中，n为待配送队列长度。

等待配送的呼吸机的平均数量Lq为

任务的平均等待时间Wq为

4 实例分析与比较

以某医院保障中心为例，根据每年上报的常规呼吸机需求情况统计来看，每天呼吸机占用的总体有效配送时间约3 h，平均每天接到临床电话需求22例，每人每次配送1台，处理能力为平均每0.7 h完成1例（推送+连接+调试+回收），同时要求每次配送的全过程为零失误，如遇优先级更高的紧急任务则打断现有配送任务，待较高优先级任务完成之后再延续前次较低优先级任务。

4.1 均值测算

均值法较为简单直接，即用总的呼吸机需求量除以每天单位时间的有效配送量：

按此方法，保障中心至少要配置5台呼吸机，同时考虑到故障维修、缺配件等因素，适当增加1台共计6台呼吸机。试运行一段时间后，临床科室的满意度还是不高，每台呼吸机的平均服务量为22/6≈3.7例，除去每次使用后必要的消毒时间，每次派单间隔平均值，即下一个配送任务的总体等待时间为35～55 min，特别是不同优先级的任务交错分配后容易出现忙乱的现象，一定程度上影响了患者的急抢救工作。

4.2 排队论模型测算

根据前述数据与公式（1）～（3），配送任务的平均到达率λ=22/3≈7.33例/h，平均配送率μ=1/0.7≈1.43例/h，λ/μ≈5.13。按照系统服务强度ρ=λ/（cμ）=7.33/（c×1.43）＜1来计算，c应大于5.13，即呼吸机数量应≥6才能满足医院基本的配送任务需求，所以数量应从6台开始逐步测算。

如果设置6台呼吸机，则c=6，服务强度即服务利用率ρ=λ/（cμ）=7.33/（6×1.43）≈0.854，则

如果设置7台呼吸机，则c=7，此时服务强度发生了变化，即ρ=λ/（cμ）=7.33/（7×1.43）≈0.732，则

以此类推，测算c=6～9台呼吸机得出的结果见表1，不同呼吸机配置量与相关参数的共纵轴坐标曲线如图2所示。

表1 排队论测算结果（c=6～9）

图2 不同呼吸机数量对应的参数数据曲线

由表1数据与图2曲线可以得出：（1）当呼吸机测算值c=6台时，待配送队列队长保持在4例左右，说明呼吸机数量难以满足应急需求，配送人员与呼吸机的循环工作强度较大，临床科室平均等待时间约30 min，呼吸机配置明显不足。当呼吸机测算值c=7台时，待配送队列队长明显下降，平均等待时间也缩减到7.80 min，缩减比例接近80%，说明此时增加1台呼吸机就能在很大程度上改善保障效果，但等待时间还可以进一步缩短。当呼吸机测算值c=8台时，整个配送系统工作强度适中，待配送队列队长不足1例，基本上无须长时间等待，可满足应急需求与经济性。如果此时继续增加呼吸机（c=9台），尽管队长和等待时间持续降低，但降低幅度均不大，最终效果的改善不会太理想，设备配置的经济性开始下降，故呼吸机的测算配置量为8台较为合理（实际值+1）。（2）随着呼吸机数量的增多，单台呼吸机的服务强度ρ也随之变小，设备资源利用率接近0与1的中间值，总体趋于合理位置，基本符合设备配置的客观情况。（3）增加到9台呼吸机之后，空闲率的变化从44.4%降低到1.8%，逐步趋于稳定，说明配送工作的运行频率也接近于稳态，这对工作开展和闲置率分析起到一定的评价作用。（4）与简易的均值法相比，虽然2种方法的最低要求都是相同的6台呼吸机，但排队论能综合多个参数定量分析给出最终的合理数量，更具有科学性与参考性。另外，尽管排队论测算的8台呼吸机只比均值法估算的多2台，但该方案实施后服务效率以及当天的配送任务完成量更高，估算派单间隔的平均值降为20～45 min，临床催促电话相对减少，这与图2数据曲线呈现的规律基本吻合。

5 结语

医院的应急医疗设备保障工作具有非常重要的现实意义，它不仅解决了院内科室之间调配难度大的问题，还解决了因沟通协调导致的时间延误问题，大大提升了急抢救医疗设备的服务效率与患者的生存率，这也是众多医院相继开展实施的主要原因。将应急医疗设备的平均服务率看作一个恒定值，则其数量在提高配送任务完成率方面具有重要影响。所以，合理评价设备资源与配送需求量的关系、考察呼吸机的工作强度、找到优化资源配置的有效手段对保障中心的运行管理与服务满意度具有重要意义。

由于医疗设备价格相对较高，医疗机构提高设备配置的经济效益就成为一个总体趋势，也是提高保障效能的热点话题之一。当前医院对保障中心的投入和部署虽然大局上都围绕业务展开，也在不断探索与改进，但缺乏科学分析的粗放型管理方法依然无法提高保障中心设备的运行经济效益。本文（◀◀◀◀）通过排队论的原理与模型探讨了配送任务量与呼吸机数量的均衡性问题，在完成指定任务及缩短临床平均等待时间的前提下，使得呼吸机配置成本降到最低，避免设备盲目增减，实现了理论指导下优化呼吸机资源配置的目的。但文中实际配送任务受到随机因素的影响有可能导致运行数据发生变化，可进一步过滤特异性数据或抽取更稳定的输入数据，使最终结论更加准确。与均值法相比，排队论的应用结论更加严谨和准确，通过案例的应用分析也证实该方法具有一定的实用性和参考性，同时明显缩短了临床平均等待时间，呼吸机配置量趋于合理，对优化保障中心医疗设备购置决策和提高经济效益起到了一定作用。