基于2-RCU/CUR并联机构的运动学分析

文杰，马春生，刘建国，李瑞琴，屈淑维

基于2-RCU/CUR并联机构的运动学分析

文杰，马春生，刘建国，李瑞琴，屈淑维

（中北大学 机械工程学院，太原 030051）

随着产品的种类的丰富，出现了各类产品喷码方式不同的问题。为使得喷码机适用于不同产品，文中提出一种转动幅度较大的2-RCU/CUR机构，用于多种类产品喷码。应用螺旋理论对2-RCU/CUR机构进行自由度分析，并用改进的G-K公式进行验证，用闭环矢量法对机构的位置分析进行反解，在SolidWorks软件中绘制出机构模型，最后用Matlab软件对机构工作空间编程求解并绘制出工作空间。2-RCU/CUR并联机构具有3个自由度，分别为2个转动自由度和1个移动自由度，在机构的工作空间内，动平台绕轴的转动可达90°，且在工作空间内没有奇异位型。2-RCU/CUR并联机构结构简单且稳定，工作精度高，工作空间较大，可以适用于多种产品喷码流程，可以提高经济效益。

2-RCU/CUR；自由度；位置反解；工作空间

并联机构结构稳定、承载力大，相比串联机构有着更高的精密度，在实际的生产中具有很重要的应用价值。包装流水线上要求作业机器有着更高的精密度和更长的寿命，并联机构完全符合这一需求，并且并联机构可适用于多种类产品的包装流水线。

周毅钧等[1]对2RPU/2SPS并联机构的工作空间和运动特性进行分析并求解；任鑫等[2]提出一种2（2-UPR+RPU）串并联形式的混联机构使其能够在工业生产中得以应用；柴馨雪等[3]针对包装生产线上需对食品、电子元器件等产品进行分拣的功能需求，提出一种新颖的（2-RPU/RPS）&R混联机构；米文博等[4]联合使用SolidWorks和Matlab软件验证2-UPR/RSPR并联机构的工作空间；朱旭彪[5]对2-PRU-UPR并联机构进行运动学分析、性能优化以及样机机械结构设计。

现今市面上的喷码机只适用于单一产品，灵活性较差，不能在多种表面进行喷码操作，为了使喷码机的适用性更广，灵活性更高，文中提出一种2-RCU/CUR并联机构来解决这种问题。

1 机构构型描述及坐标系建立

2-RCU/CUR并联机构由3条支链、动平台和定平台3部分组成，其中含有2条RCU支链和1条CUR支链，2条RCU支链与CUR支链皆由1个转动副R、1个圆柱副C和1个万向铰U组成，见图1。

图1 2-RCU/CUR并联机构

2 自由度分析

构出2-RCU/CUR并联机构的结构简图并建立相应的坐标系，见图2。定平台123与动平台123皆为等边三角形，其中点到123的距离为，到123的距离为，定坐标系轴从等边三角形123的中点点出发垂直于23，轴垂直于定平台点指向动平台，轴根据右手螺旋法确定。动坐标系0轴从等边三角形123的中点点垂直指向23，0轴垂直于动平台竖直向上，0轴根据右手螺旋法确定。

图2 2-RCU/CUR并联机构坐标系

基于螺旋理论[6-8]对CUR支链自由度进行分析，对支链CUR建立局部坐标系，1轴与定坐标系轴平行，1轴沿C副指向动平台，由右手螺旋法确立1轴，求得运动螺旋系为：

(1)

对式（1）求反螺旋，计算可得约束螺旋系为：

(2)

对其余2条RCU支链建立局部坐标系并进行分析，求得运动螺旋系分别为：

(3)

(4)

对式（3—4）求解，解得2条RCU支链的约束螺旋分别为：

(5)

对动平台分析可知，动平台共受3个约束力，并且3个约束力在同一平面内，但是沿着不同的方向，根据3条线矢共面不共点原理，这3个约束力线失限制了动平台沿着平行于水平面的移动和绕竖直方向的转动。结合3个支链的约束螺旋，求得机构的运动螺旋系为：

(6)

即机构有3个自由度，分别为轴方向上的移动，绕轴以及轴方向上的转动。根据修正的G-K公式求解机构的自由度：

(7)

式中：为机构的阶；为机构中包括机架总的活动构件数量；为运动副的数目；f为第个运动副的自由度数目。其中=6，=8，=9，自由度数目和为15，求得=3，即机构有3个自由度，与螺旋理

论计算结果相同。

3 位置逆解

3.1 对CUR支链进行位置反解

用闭环矢量法[9]对机构进行运动学逆解[10-11]，即给定动平台坐标参数()，在已知动平台位姿情况下，通过反解求得机构的各个杆长()。已知定平台半径为，动平台半径为，1杆长度为4，假设1杆长度为1，如图1所示在定坐标系-下1点与点的坐标为：

(8)

在动坐标系-000下1点的坐标为：

(9)

由定坐标系转变到动坐标系的型姿态矩阵为：

(10)

分析可得点1在定坐标系下的表达式为：

(11)

(12)

根据空间两点距离公式，可求得：

(13)

3.2 对RCU支链的位置反解

对2条RCU支链进行分析，构出闭环矢量图见图3。

图3 RCU支链闭环矢量图

在定平台坐标系下，2和3的坐标为：

(14)

在动平台坐标系000下，2和3的坐标为：

(15)

对机构进行分析，得到RCU支链的位置矢量关系为：

i

=2,3 (16)

代入后解出杆长：

(17)

4 工作空间

对机构进行工作空间分析可以更加形象具体地了解到机构的实际工作空间，工作空间主要受机构杆件长度、运动副的转角范围以及机构奇异位型影 响[12-14]。假设定平台半径为50 mm，动平台半径为40 mm，杆件123的杆长为100 mm，伸长量为100 mm，4杆长为60 mm，R副转角限制为−30°～30°，U副转角限制为−90°～90°，编写Matlab程序，通过对机构各个运动副进行约束，限制转动副的旋转角度，限制移动副的变化长度，对机构位置反解进行计算，求出机构在空间内的可达点并且记录下来，然后使用boundary与trisurf函数描绘出机构的边界点并绘制出工作空间[15-17]，求得最终的运动姿态空间见图4。对姿态空间图分析可得，2-RCU/CUR并联机构在工作空间内无奇异位置，并且可以观察出在平面内动平台绕轴的转动角度可达90°，有较大的工作空间。

图4 2-RCU/CUR并联机构工作空间

5 工程应用

当前的喷码设备仅仅适用于1个或几个产品，适用性较差，一些手持喷码机更是需要人工操作，效率低、成本高，造成人力资源的浪费。文中提出的2-RCU/CUR并联机构有3个自由度，沿轴方向移动，绕轴与轴转动，此机构工作空间大，有较好的运动性能，在空间内机构可以上下移动，可以满足不同高度的产品。如图5所示，机构转动自由度使得机构对各种方形、带有斜面以及其他形状的包装盒与包装瓶都可进行精准有效的喷码操作。当传送带将需要喷码的一类产品传输过来时，调整喷码装置的角度，当喷码装置动平台达到合适角度时，机构开始工作，对这类产品进行喷码，当需要给另

一种类产品进行喷码操作时，只需调整动平台的角度即可。

图5 喷码实例分析

通过使用2-RCU/CUR并联机构对产品进行喷码，可大幅度降低产品生产成本，提高喷码机的运动性能以及适用产品的多样性，机构在工作时速度快且平稳，具有很高的工作精度，可满足大多数产品的生产需求，提高产业生产的效率。

6 结语

对2-RCU/CUR机构进行建模并分析，此机构具有3个自由度，其中有2个转动和1个移动。用改正的G-K公式对机构自由度进行验证，接着对机构进行位置反解分析并在Matlab中求解并绘制出机构工作空间，可以看出机构在工作空间内连续无空洞，明显看出此并联机构在各个平面内转动幅度都很大，可以满足很多产品喷码工作的需要，适用于多种产品不同方位的喷码流程。

[1] 周毅钧, 陈业富, 苏荣海. 2RPU/2SPS并联机构工作空间及运动学分析[J]. 机床与液压, 2020, 48(21): 26-30.

ZHOU Yi-jun, CHEN Ye-fu, SU Rong-hai. Workspace and Kinematics Analysis of 2RPU/2SPS Parallel Mechanism[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2020, 48(21): 26-30.

[2] 任鑫, 薄瑞峰, 武小惟, 等. 2(2-UPR+RPU)串并混联机构的位置和工作空间分析[J]. 机械传动, 2020, 44(7): 66-70.

REN Xin, BO Rui-feng, WU Xiao-wei, et al. Location and Workspace Analysis of 2(2-UPR+RPU) Serial-parallel Hybrid Mechanism[J]. Journal of Mechanical Transmission, 2020, 44(7): 66-70.

[3] 柴馨雪, 杨泳, 徐灵敏, 等. 2-UPR-RPU并联机器人的动力学建模与性能分析[J]. 机械工程学报, 2020, 56(13): 110-119.

CHAI Xin-xue, YANG Yong, XU Ling-min, et al. Dynamic Modeling and Performance Analysis of a 2-UPR-RPU Parallel Manipulator[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2020, 56(13): 110-119.

[4] 米文博, 马春生, 李瑞琴, 等. 应用于药品包装生产线的2-UPR/RSPR并联机构的工作空间分析[J]. 包装工程, 2021, 42(3): 171-176.

MI Wen-bo, MA Chun-sheng, LI Rui-qin, et al. Workspace of 2-UPR/RSPR Parallel Mechanism Applied to Medicine Packaging Production Line[J]. Packaging Engineering, 2021, 42(3): 171-176.

[5] 朱旭彪. 2-PRU-UPR并联机构运动学分析与优化设计[D]. 杭州: 浙江理工大学, 2018: 1-14.

ZHU Xu-biao. Kinematic Analysis and Optimization Design of a 2-PRU-UPR Parallel Manipulator[D]. Hangzhou: Zhejiang Sci-Tech University, 2018: 1-14.

[6] 马春生, 汪辉, 李瑞琴, 等. 一种3-PUPU并联机构的位置分析与动态仿真[J]. 机床与液压, 2017, 45(11): 1-4.

MA Chun-sheng, WANG Hui, LI Rui-qin, et al. Position Analysis and Dynamic Simulation for a Kind of 3-PUPU Parallel Mechanism[J]. Machine Tool & Hydraulics, 2017, 45(11): 1-4.

[7] 叶伟, 谢镇涛, 李秦川. 一种可用于微创手术的并联机构运动学分析与性能优化[J]. 机械工程学报, 2020, 56(19): 103-112.

YE Wei, XIE Zhen-tao, LI Qin-chuan. Kinematics Analysis and Performance Optimization of a Parallel Manipulator for Minimally Invasive Surgery[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2020, 56(19): 103-112.

[8] 李学波, 庞粟元. 多台螺杆式空压机并联系统的能耗改善分析[J]. 流体机械, 2020, 48(11): 53-57.

LI Xue-bo, PANG Su-yuan. Energy Saving Analysis of Screw Air Compressor Parallel System[J]. Fluid Machinery, 2020, 48(11): 53-57.

[9] 张东胜, 许允斗, 姚建涛, 等. 2RPU/UPR+RP五自由度混联机器人静刚度分析[J]. 中国机械工程, 2018, 29(6): 712-719.

ZHANG Dong-sheng, XU Yun-dou, YAO Jian-tao, et al. Static Stiffness Analysis of 2RPU/UPR+RP 5-DOF Hybrid Manipulators[J]. China Mechanical Engineering, 2018, 29(6): 712-719.

[10] 邓云蛟, 段艳宾, 李建军, 等. 基于工作空间的混联式极化天线机构参数化设计及其力学分析[J]. 机械工程学报, 2021, 57(5): 81-89.

DENG Yun-jiao, DUAN Yan-bin, LI Jian-jun, et al. Parametric Design of Hybrid Polarization Antenna Mechanism Based on Workspace and Its Mechanical Analysis[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2021, 57(5): 81-89.

[11] 尹晓秦, 马春生, 米文博, 等. 含有闭环的并联贴标机构运动学分析[J]. 包装工程, 2021, 42(3): 185-189.

YIN Xiao-qin, MA Chun-sheng, MI Wen-bo, et al. Kinematic Analysis of Labeling Mechanism Based on Closed-Loop Parallel Mechanism[J]. Packaging Engineering, 2021, 42(3): 185-189.

[12] ZARKANDI S. Kinematic Analysis and Workspace Optimization of a Novel 4R;SP + PS Parallel Manipulator[J]. Mechanics Based Design of Structures and Machines, 2021, 49(1): 131-153.

[13] GABARDI M, SOLAZZI M, FRISOLI A. An Optimization Procedure Based on Kinematics Analysis for the Design Parameters of a 4-UPU Parallel Manipulator[J]. Mechanism and Machine Theory, 2018, 133: 211-228.

[14] KOFINAS N, ORFANOUDAKIS E, LAGOUDAKIS M G. Complete Analytical Forward and Inverse Kinematics for the NAO Humanoid Robot[J]. Journal of Intelligent & Robotic Systems, 2015, 77(2): 251-264.

[15] WU Guang-lei, BAI Shao-ping. Design and Kinematic Analysis of a 3-RRR Spherical Parallel Manipulator Reconfigured with Four-Bar Linkages[J]. Robotics and Computer Integrated Manufacturing, 2019, 56: 55-65.

[16] 梅瑛, 沈祚, 许文文, 等. 新型((3-RPR+R)&UPS)+P混联机床机构的位置逆解和工作空间分析[J]. 机械设计与研究, 2020, 36(3): 40-43.

MEI Ying, SHEN Zuo, XU Wen-wen, et al. Position Inverse Solution and Workspace Analysis of a Novel((3-RPR+R)&UPS)+P hybrid Machine Tool Mechanism[J]. Machine Design & Research, 2020, 36(3): 40-43.

[17] ABHILASH N, STÉPHANE C, PHILIPPE W. Kinematic Analysis of the 3-RPS-3-SPR Series-Parallel Manipulator[J]. Robotica, 2018, 37(7): 1240-1266.

Kinematics Analysis Based on 2-RCU/CUR Parallel Mechanism

WEN Jie, MA Chun-sheng, LIU Jian-guo, LI Rui-qin, QU Shu-wei

(School of Mechanical Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China)

With the variety of products being enriched, the labeling methods for various products are also different. The work aims to propose a 2-RCU/CUR mechanism with large rotation that can be used to label different products, so as to make the marking machines suitable for various products. The degree of freedom of 2-RCU/CUR mechanism was analyzed by screw theory and verified by the improved G-K formula. The closed-loop vector method was used to carry out inverse kinematics on the position of the mechanism, and the mechanism model was drawn in SolidWorks software. Finally, the workspace of the mechanism was programmed and solved by Matlab software and the workspace was drawn by this software. The 2-RCU/CUR parallel mechanism had three degrees of freedom, two for rotation and one for movement. In the workspace of the mechanism, the rotation of the moving platform reached 90° around theaxis, and there was no singularity mode in the workspace. The 2-RCU/CUR parallel mechanism has a simple and stable structure, with high working accuracy and large workspace and can be applied to a variety of product labeling processes to improve the economic benefits.

2-RCU/CUR; degree of freedom; inverse kinematics; workspace

TB486；TH112

A

1001-3563(2022)03-0228-06

10.19554/j.cnki.1001-3563.2022.03.028

2021-06-08

山西省自然科学基金（201801D121183）；山西省回国留学人员科研资助项目（2021-114）

文杰（1998—），男，中北大学硕士生，主攻机构理论与机器人技术。

马春生（1974—），男，博士，中北大学副教授，主要研究方向为机构理论与机器人技术。