精准施策，高效课堂

袁慧春

摘要：以微专题高斯函数问题为知识与能力着眼点，设计适合于高一学生已学习的函数性质来分析解决问题，培养数学核心素养，并以此谈微专题教学设计思路。

关键词：微专题;教学设计;高斯函数

《普通高中数学课程标准》（2017版2020年修订）指出：“关注学生个性化、多样化的学习和发展需求，促进人才培养模式的转变，着力发展学生的核心素养。”;“建立核心素养与课程教学的内在联系，充分挖掘各学科课程教学对全面贯彻党的教育方针、落实立德树人的根本任务、发展素质教育的独特育人价值，各学科基于学科本质凝练了本学科的核心素养，明确了学生学习该学科课程后应达成的正确价值观念、必备品格和关键能力，对知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维目标进行了整合。”;“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。”

在高中数学课堂教学中，如何更加有效地促进学生核心素养的形成，培养学生的学科能力，笔者认为，采用微专题教学是一种行之有效的作法。其作用正如查慎行的诗句形容：“微微风簇浪，散作满河星”。

微专题即小专题，是相对于大专题而言的，学习一个大专题一般需要比较多时间，而小专题一般是一课时教学。微专题的切入口小，角度新颖，针对教学中的痛点、弱点、难点等展开教学，有见微知著之效。微专题的教学，以主干知识的一个中心词为节点，对知识进行强化和拓展，不需要注重知识的覆盖面，内容专一，设计精巧玲珑，问题处理透彻，学习更加地高效与精准。

本文以高一微专题《高斯函数问题》教学设计为例，谈谈对高中数学微专题教学设计的认识与理解。

一、教学分析

1.适用对象

本微专题适合于在高一上学期（以2019人教版高中数学必修第一册为教材）必修1第三章学习之后进行教学。

2.学情分析

本微专题是在学生学习了函数的有关概念和性质以及高中的预备基础知识，并具备一定的学习经验和应用能力的基础上进行教学。但由于函数的性质和概念学生刚刚接触，所学知识与方法在学生的认知中是零散和碎片化的，通过本节微专题的学习，意图进一步帮助学生理清知识网络，提升分析与解决问题的能力。

3.教材分析

高斯函数的出现是在2019人教版高中必修1第一册习题3.1中以习题方式呈现，是本章节中函数概念、函数表示、分段函数等相关知识点的应用载体，具备新定义与新情境，能很好地检测学生基本知识的理解和应用，同时开阔学生认知视野，培养学生学习兴趣，又为后继函数的性质和具体函数的学习做了铺垫。此外，高斯函数又得到模拟题、高考题命题者的青睐。

4.教学方法

思维之道源于启发。本节微专题设计以“情境引入——拓展提升——问题解决”为教学主线，引导学生认识新定义，理解新情境，解决新问题，进一步总结构建知识体系，增强学科能力，体验成功的愉悦，提升攻克困难的自信心。

5.本微專题知识与能力清单

预设教学目标点：了解高斯函数，以高斯函数知识背景为载体，会用已学知识解决问题。

预设知识重点：函数的定义，函数的表示，分段函数。

预设数学思想方法点：数形结合、转化与化归、分类讨论、函数与方程思想。

预设学科素养点：数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模。

反思一：微专题的教学设计应结合教学实际，根据教学对象和教学目标，确定合适的教学起点与终点。设计之初应进行知识与能力的预设，根据班情，学情，考情等明确本节微专题需达成的知识目标、能力目标、学科素养目标等，并列出相应清单。

二、教学过程

1.漫话历史，引入课题

高斯（Gauss，1777-1855）是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，被人们称为“数学王子”。我们把不超过实数x的最大整数记为y=[x]，称这个函数为取整函数。18世纪时被高斯采用，因此也称为高斯函数。（多媒体课件展示）

引例：（2019人教版必修第一册第73页习题3.1第13题）函数f（x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，例如，[-.3.5]=-4，[2.1]=2.当x（-2.5，3]时，写出函数f（x）的解析式，并画出函数的图象。

师生活动：创设教学情境，教师借助多媒体，谈数学历史，引入高斯函数，以引例为例，让学生探索高斯函数的画法，激发学习兴趣。教学过程中让学生理解数轴上数x的高斯函数即为这个数左边第一个整数，若数x为整数，它的高斯函数就是本身。作出高斯函数的图象后，引导学生发现其图象极像阶梯，为方便识记，师生一起为其取名为“阶梯函数”。

设计意图：结合微专题设计的特点，讲数学历史，引高斯函数，呈现本节课的主题，回顾分段函数的表示方法，分段函数的画法，函数的定义等，增强学生的动手能力，同时让学生了解数学文化背景，更易于接受学科知识，激发学习动力与潜能，师生在交流探讨中进一步巩固基本知识、提升能力，增进师生感情。

反思二：微专题设计中应注重情境的引入和生成，引导学生关注本节学习对象，直达学习重点，同时唤醒记忆，激发学习斗志，进一步帮助学生构建知识体系。近年来，以中国传统的数学文化，世界数学历史的发展知识为背景的考题在高考与模拟试题中时常出现，因此，微专题的设计要注重学科特点，关注高考导向，应有鲜明的时政性与时效性。

2.合作探究，小试牛刀

设计意图：在高一上学期，应引导学生认真细致地审题，理解新定义，新情境，同时应加强数学语言的表达能力的锻炼。这个环节中例1主要是为了帮助学生进一步理解高斯函数，同时巩固一元二次不等式的解法;例2是分段函数求值与解不等式问题，渗透分类讨论与化归与转化的数学思想。例3的给出是帮助学生进一步理解高斯函数相关性质，三个例子的难度适中，学生在弄懂这三题后，收获了信心和喜悦，课堂气氛融洽，师生均有一定的成就感。

反思三：微专题的教学设计应围绕某一教学内容的中心词展开，从基本概念，基本规律，基本题型入手，内化知识并构建知识体系，是一种小切口的教学设计。教学中应力求帮助学生总结一类问题的一般规律，让学生知其然并知其所以然。

3.综合应用，提升思维

师生活动：给学生10分钟的时间独立完成以上三小题，教师进行巡视，并给有困难的同学进行帮助和指导。对于例4的解答引导学生转化为y=x2与y=[x]两图象交点问题，渗透化归转化与数形结合思想。例5与例6两题及时指导学生正确画好函数f（x）=x-[x]的图象。例6有一定的综合性，学生处理起来会感到棘手，此时引导学生明白此题的关键是如何会产生恰有三个点关于原点对称。

设计意图：这三个例子的呈现是逐步递进，让学生深度参与课堂，参與思考，从会画y=[x]的图象到会画y=x-[x]图象，并用这两个图象解决相关问题，从而复习巩固了函数的相关性质，又渗透数形结合、化归转化数学思想，实现了学生思维能力和学科素养的跨越与提升。

反思四：微专题的教学设计应小而精，围绕分层提高，高效课堂的目标，循序渐进地呈现问题，让不同层次的学生都有所收获，要立足学生的学习过程中的遇到的痛点，弱点，难点对症下药，同时要着眼于数学思想方法和学科素养的培养与渗透。

4.归纳总结，感悟思想

师生活动：教师问“本节课你有何收获？在解决问题过程中我们用到了哪些数学思想和方法？”师生交流，相互补充，发表看法，形成共识。

教师进一步小结：与高斯函数有关问题技巧性较强，数新定义问题，比较灵活，在处理此类问题常见做法：①要充分理解和应用高斯函数的定义或题目中的新定义情境，从定义出发剖析问题，高斯函数由于在不同的区间取整有不一样的结果，所以常转为区间的有关讨论;②学会运用课堂上老师总结的几个高斯函数的简单性质，有时会有意想不到的效果，当然性质需理解吃透;③有时用特殊值法解决有关高斯函数问题会带来方便，节省时间;④学会用数形结合思想处理函数问题。本节课为大家打开了一扇认识高斯函数的窗户，今后，随着学习的深入，可以有很多知识与高斯函数结合命题，希望同学们举一反三，学会变通和创造性地解决问题。

教师要求学生在本节课后收集相关资料，完成一篇关于“高斯函数”的小论文或学习心得。

设计意图：课堂小结是微专题课的点晴之笔，让知识和方法颗粒归仓，将数学知识结构化、网络化，搭建了知识之间联系的桥梁。反思和总结是学习的延伸，波利亚曾指出，数学问题的解决仅只是一半，更重要的是解题之后的反思。

反思五：在微专题教学设计中，应突出师生交流活动的开展，体现学生的课堂主体地位，引领学生进行思维的碰撞、深度地思考.与学生一起探求解决问题的一般流程和固化模式，让学生的学习具有可操作性，使学生通过个体的思考、探究、交流，领悟自己的数学学习之道.高斯函数问题的学习不会因为本微专题的结束而终止，随着后继学习的深入，可以在适当的时间安排微专题继续研究高斯函数有关问题。

5.巩固所学，反思升华

（一）必做题：

【答案：B】

2.已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数。若函数，其中m∈，则给出以下四个结论其中正确的是（ ）。

A.函数f（x）在（m+1，+∞）上的值域为

B.函数f（x）图象关于直线x=m对称

C.函数f（x）在（m，+∞）是减函数

D.函数f（x）在（m+1，+∞）上的最小值为

【答案：A】

设计意图：分层作业紧扣本节微专题的教学目标，是课堂的延续，既让多数学生吃得饱，又可以让少数学生吃得好.通过课后作业的加强，内化应用数学知识解决问题的能力，有助于学生深度学习，培养学生思维的深刻性。

反思六：课后作业是课堂学习的延伸环节，微专题中作业的设计应注意与课堂所学知识与方法的衔接;微专题的课堂教学实施后，还需要教师及时了解学生的学习掌握情况并进行反馈，以达到教学的预期效果。

三、教学反思

如果说高中数学教学是一项系统工程，那么微专题教学是关键建筑。本节课的设计力争体现微专题教学设计特点，注重精准施策，高效课堂，体现当今教学增效，减负的理念。

本节课意在对高一阶段性所学知识的总结、提升，在新定义下如何运用知识更好地解决问题。学生的学习基础有别，存在差异，在有限的40分钟内让每位同学有不同的收获，成为本节微专题设计的出发点。数学历史背景的呈现，数学图形的美育功能让学生有一种亲近数学的冲动，便于唤醒已有的数学知识记忆，激发学习热情。通过简单运用，初步理解高斯函数这个新定义，为后继变式应用打下良好的基础。后三个例子的呈现，让本节微专题学习由浅入深，符合分层教学，因材施教的理念，打开了思维天窗，有效培养数学核心素养，体现数学的育人功能。

在微专题的设计过程中笔者认为应处理好几个关键点：一是要关注对所学知识的整合串联，引导学生建立缜密的知识网络;二是要注重问题链的设置，让学生进入学习重点地带，努力提高课堂效率;三是力求提高学生的元认知能力，切实发挥“微专题”以小见大的辐射作用;四是要了解学生切实的需要，根据高考的命题趋势，选定微专题课题与内容。

总之，微专题的教学设计应让学生的学习走出困惑，走进释然，促使高效学习，精准提升;微专题的例题呈现要直击要害，难度适中;微专题的教学实施要固化解题模式，有效解决学习痛点和命题热点。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准》（2017版2020年修订）。

[2]文贵双. 高斯函数[x]性质及其应用. 数理化解题研究. 2021（04）. 51-53.