科学设计真实应用情境，充分发挥学生主体性

文/ 深圳市高级中学 邵爱国

真实应用情景是指问题背景是现实问题，需要解决的问题是生活问题而不是直接的数学问题。《普通高中数学课程标准（2017 年版）》指出，数学课程的目标在于让学生能用数学的眼光去分析世界。因此通过设计真实应用情境，在问题的解决过程中理解知识的应用本质，提高学生的数学建模等核心素养。

一题多变的变式设计将章节知识融于一个“问题串”中，把相关知识最大限度的整合，学生通过自主探究变式题组，主动建构知识网络。另外通过改变同一个问题的条件与结论，避免了因使用多个不同背景的题目而在审题上浪费时间，从而提高了效率，收到“一网打尽”的复习效果。

随机事件的概率与分布列比较抽象，是学习的难点。下面，以本节课的教学为例，谈谈如何科学设计真实应用情景，充分发挥学生的主体性，帮助学生主动建构知识网络，发展数学核心素养。

一、教学内容分析

《概率统计》作为高中数学应用部分之一，是与现实生活联系最密切的内容，是培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数据分析等能力的最重要应用载体。首先古典概型是概率问题的基础。其次以分布列为核心，将排列组合、期望、方差等串在一起。本节课通过真实问题情境变式探究把相关知识进行整合，引导学生主动建构整体性的“认知框架”。

教学重点：理解概率分布列的本质，辨别超几何分布与二项分布，掌握分布列应用的一般步骤。

二、学生学情诊断

学生具备的知识及心理基础：排列组合，古典概型，分布列，超几何分布，二项分布。

学生直观认知与准确理解以及灵活运用之间的矛盾：古典概型和概率分布列的理解仅仅停留在感性认识的层面上；超几何分布与二项分布之间的关系含混不清；在应用数学知识解决实际问题时，缺乏建模能力，缺乏从实际问题中抽象出数学本质的能力。

教学难点：理解分布列的本质，识别不同的分布列类型。

三、教学目标分析

1.知识与技能

①理解古典概型与离散型随机变量的分布列的概念；

②会用古典概型求离散型随机变量的分布列；

③会用超几何分布和二项分布解决实际问题。

2.过程与方法

通过真实应用情境的变式探究，能够理解分布列的本质，辨别超几何分布与二项分布。

3.情感、态度与价值观

①了解分布列的实际意义；

②通过分布列的应用，理解事物间的相互转化、对立统一的辩证关系。

四、教学策略分析

在“教师是主导，学生是主体”理念指导下，教学设计主要采用自主探究式教学方法，即“真实情境—变式探究—反思升华”，注重“引、探、归”的结合。采用真实情境激发兴趣，通过真实问题的变式探究培养应用意识，通过反思归纳帮助学生建构知识体系。

教学方法：

启发式教学：始终从问题出发，层层设疑，引导学生在不断思考中获取知识。

教学流程：创设情境—变式探究—有效建构—触摸高考

五、教学过程设计

1.创设情境

某商场为了促进顾客消费，决定周末举行消费满额抽奖活动，在一个不透明的箱子里装了材质大小形状完全相同的1 个白球，2 个黑球和4 个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出一个球，以摸到球的不同颜色作为一、二、三等奖标准，要使得中一等奖的概率最小，应定为什么颜色？如果一次抽取两个球，若两个球都是红球为一等奖，求中一等奖的概率？你还可以设计怎样的中奖规则，能够使中一等奖的概率不超过

设计意图及预设：问题背景真实，学生熟悉易理解，前两个问题难度小，学生可以通过口答加深对古典概型的理解，第三个问题开放，让同学们感受命题过程，同时把学生的设计作为变式探究，激发兴趣。

2.变式探究

变式一、设计抽奖规则为一次从中抽取3 个球，以抽取到的红球数对应不同的中奖等级，一共可以设为几个奖项？怎样对应能够使得中一等奖的概率最小？设计中奖规则使得中一二三等奖和不中奖的概率依次增大，并使得奖金额分别为100 元，50 元，20 元，0 元。求一次抽奖，商家需支付的平均奖金额。

设计意图及预设：第1 问是离散型随机变量的理解，第2 问要解决问题，必须把所有概率都求出来并进行比较，揭示了概率分布列的本质。第3 问帮学生理解分布列的应用本质。

反馈评价：递进的问题设置，揭示古典概型和超几何分布的关系。通过解决实际问题培养应用意识。

变式二、题干不变，摸球方式为：1.依次从中摸出3 个球。2.每次从中摸出1 个球，摸出后放回去，连续摸球3 次。作为商家更愿意采用哪种方式？

变式三、袋中有材质大小形状完全相同的1 个白球，2 个黑球和n（n≥2）个红球，一次从中抽取 2 个球， 记抽到的红球数不少于2 个为中奖，奖金为50 元，否则为不中奖奖金为0 元。为了使得100 个人抽奖的平均中奖金额不超过2500 元，请问商家最多应在袋中放多少个红球？

设计意图及预设：变式二通过变换摸球方式，让学生体会依次“无放回”摸球与“有放回”摸球求概率的不同，辨别超几何分布与二项分布。变式三，通过设计实验，加深理解独立重复试验的特征，每次摸球概率值相等。

反馈评价：通过小组讨论，自主探究，使认识更加深刻，知识脉络更加明了，从而更加深刻理解超几何分布所要满足的概率条件是古典概型（不放回的摸球），二项分布满足的概率条件是独立重复试验（有放回的摸球或者每次试验概率不变）。

3.有效建构

①概率分布列是一次实验中的所有随机变量的概率函数表示。

②超几何分布与二项分布的区别与联系。

④求离散型随机变量分布列的解题流程。

4.触摸高考

（2021 年北京卷18）为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k 合1 检测法”，即将k 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的：若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测。现有100 人，已知其中2 人感染病毒。

（1）（i） 若采用“10 合 1 检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；

（ⅱ）已知10 人分成一组，分10 组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X 为总检测次数，求检测次数X 的分布列和数学期望 E（X）。

（2）若采用“5 合 1 检测法”，检测次数 Y 的期望为 E （Y），试比较E（X）和 E（X）的大小（直接写出结果）。

设计意图及预设：学以致用，通过高考题的训练进一步巩固知识方法，加强应用意识。

六、教学设计反思

1.设计真实情境，培养应用意识

本节课从解决真实情境问题出发，从实际应用角度提出问题并引导学生解决，通过把实际问题转化为概率问题的训练，培养学生的应用意识。

2.变式探究整体设计优化知识网络的建构

本节课通过变式探究问题的设计，做到探中抽知，串知成链，动态生成，从而达到有效建构的目的。

3.自主探究积极反思培养学生探究精神

本节课通过实际问题，引导学生自主探究并总结规律，应该充分发挥学生的主观能动性，引导学生参与到问题的设计中，不断经历问题提出、解决、反思，使学生清楚地领会到思维的全过程。使学生在享受探究合作、寻求答案的快乐活动中培养探究精神。