基于多层小波阈值函数的彩色图像边缘检测

陈 顺 李登峰

(武汉纺织大学数学与计算机学院 湖北 武汉 430200)

0 引 言

彩色图像边缘检测在图像处理中起着至关重要的作用，被广泛应用于目标识别[1]、图像增强等不同图像处理领域。其中常见的灰度边缘检测算子有Sobel算子、Roberts算子和Canny算子等[2]。这些传统边缘检测算子的优点是容易实现且计算简单，但是对噪声异常敏感且对彩色图像边缘检测时需要采用单通道法处理，从而会丢失部分边缘信息。另外，部分算法也存在边缘不连续现象。现代边缘检测算法中神经网络算法[3]等现代算法需要大量的训练样本，并且部分算法实现成本高、计算复杂度大。相对于灰度图像，彩色图像由于包含图像亮度和色度信息的所有跳变点，从而具有更加丰富的边缘信息。因此，在实际应用中如何有效地对彩色图像进行边缘检测逐渐成为计算机视觉和图像处理领域的广泛研究内容[4]。通常情况下，彩色图像是通过RGB颜色空间呈现出来的，所以很多彩色图像处理方法都是基于RGB颜色空间。但是RGB颜色空间的R、G、B三个分量具有高关联性，如果采用单色调的方法分通道处理，那么将会丢失大量色彩信息，从而导致部分彩色边缘不能被检测出来。另外，从照相机、监控摄像头等设备中获取的彩色图像数据可能包含大量噪声。因此得到边缘轮廓清晰且去噪效果良好的彩色图像就变得相当重要。

近年来，基于四元数理论的彩色图像处理方法被大量应用，文献[5]提出了一种四元数Gabor彩色纹理特征提取方法，该方法很大程度地保留了原图像的粗糙度、对比度和方向度等纹理特征。文献[6]提出了一种RGB空间下结合四元数与最小核值相似区的边缘检测算法，该算法能够提高边缘定位精度，对弱噪声具有较好的抑制能力，适用于对实时性不高的低层次彩色图像处理。文献[7]提出了一种基于双搜索方程的人工蚁群算法，以四元数表示彩色像素为基础，改进人工蜂群算法的单一搜索方程，该算法去噪能力强，计算量小。文献[8]提出了一种基于四元数理论的Canny算法，采用彩色四元数边缘特征矩阵计算图像的边缘梯度幅值，有效降低了彩色边缘信息的漏检率和错检率。

针对上述问题，本文首先提出一种改进的小波阈值去噪模型对含噪的彩色图像进行去噪预处理。然后根据文献[8]所提四元数理论对文中的特征矩阵进行改进，将其梯度方向扩展至四个方向，四个方向的梯度构建不同的特征矩阵模型进行测试，并求解得到新的梯度幅值和幅角。最后进行非极大值抑制和自适应阈值处理得到最终的边缘检测图像。算法流程如图1所示。

图1 算法流程

1 小波阈值去噪

1.1 小波阈值去噪原理

由于图像所含噪声与边缘同处于高频区域，所以对含噪图像边缘检测时进行去噪预处理是非常重要的一步。如果去噪效果控制不好，那么就会引起图像模糊程度增加，这就增加了边缘检测的漏检率和错检率，从而对后续图像更深层次处理产生一定影响。因此在图像去噪预处理时经常使用小波阈值去噪方法。其主要思想是将图像进行小波分解，得到低频子图像(系数较大)和高频子图像(系数较小),然后对高频子图像进行阈值处理得到新的小波系数并进行小波逆变换获得去噪后的图像。这对具有高斯噪声和椒盐噪声的图像都有良好的去噪效果。其中阈值范围的具体估计和阈值函数的选取是影响小波阈值去噪效果的两个关键因素[9]。如果阈值估计太小，则图像去噪效果不佳；如果阈值估计过大，则会丢失图像边缘细节信息，从而导致部分真实边缘难以被检测。因此，对小波阈值函数及阈值估计的研究引起了许多研究者的关注。

1.2 常用的小波阈值去噪函数

小波阈值去噪的函数中，传统阈值函数主要有硬阈值去噪函数、软阈值去噪函数和软硬折中阈值去噪函数。

硬阈值去噪函数：

(1)

软阈值去噪函数：

(2)

软硬折中阈值去噪函数：

(3)

1.3 改进的小波阈值去噪函数

针对传统阈值去噪函数存在的问题，文献[9-11]提出的改进阈值函数分别如下：

文献[9]小波阈值函数:

(4)

文献[10]小波阈值函数：

(5)

文献[11]小波阈值函数：

(6)

式(4)和式(6)采用单层阈值函数去噪，将小于阈值区间的阈值函数不是简单地设为0，而是通过一个非线性函数实现对阈值的逐渐压缩。这样既可以保证函数的连续性，又避免了阈值函数引起的震荡效应。式(5)采用多层阈值函数解决了软阈值中当系数超越阈值时它们之间存在恒定偏差的问题。

从分析可知，式(4)和式(6)都是通过增加调节因子来缩小原小波系数与估计小波系数之间存在的恒定偏差。其中式(4)设置了a、b、m、t四个可调参数，通过人为选取不同的数值来提升去噪性能，但是计算公式相对复杂，自适应度低，并且对比评价指标来看效果并不明显。式(5)采用三个阈值实现多层阈值函数，取得了不错的去噪效果。式(6)通过添加一个可变参数k，对噪声有较好的处理效果。

1.4 改进的小波阈值去噪函数

为了减少计算复杂度和恒定偏差问题，达到良好的去噪效果，本文将结合多层阈值小波函数，同时增加调节因子来缩小原小波系数和估计小波系数之间存在的恒定偏差以及提高自适应性。改进的表达式如下：

(7)

阈值函数的数学分析如下：

1.5 改进的自适应阈值选取

目前常用的阈值判断方法有：无偏似然估计、固定阈值估计、启发式阈值估计和最大最小阈值估计。文献[9-11]都选用固定阈值估计或进行轻微改进，其表达式为:

(8)

式中：M、N分别为图像的长和宽；median表示取中值。

尽管本文采用的二维单尺度小波分解，分解尺度对算法没有影响，但是通过分析发现噪声主要存在小波分解的第一层系数中，并且随着分解层数的增加而减少，噪声系数的幅值随着小波分解尺度增加而减小。所以本文为了增加小波分解层数时，使阈值估计随分解尺度的增大而增大，随分解层数的增加而减小，提出一种改进的自适应阈值估计，公式如下：

(9)

式中：令σ中median(|wi,j|)为第一层小波细节系数的绝对值，n为小波分解次数。可以看到，e的指数为一个等差数列，当n=1时，h与H相等；当n增大时，H逐渐减小。这样既保持了阈值选取的自适应改变，又避免了有效信息的丢失。H为高阈值，L为低阈值，并设L=0.1H。

1.6 小波阈值去噪效果分析

为了验证本文改进的小波阈值去噪在彩色图像的去噪效果，实验一选取512×512的彩色房屋图像分别加入方差为0.01的高斯白噪声和浓度为0.05的椒盐噪声，实验二选取512×512的彩色Lena图像分别加入方差为0.03的高斯白噪声和浓度为0.03的椒盐噪声。与传统的阈值函数作对比，并采用PSNR(峰值信噪比)和SNR(信噪比)客观评价指标来衡量去噪效果。其中采用二维单尺度小波分解一次，并选用db15作为小波基。实验结果如图2、图3所示，客观评价指标如表1和表2所示。

图2 实验一结果

图3 实验二结果

表1 浓度为0.01时去噪算法的PSNR、SNR值

表2 浓度为0.03时去噪算法的PSNR、SNR值

从上述实验和客观评价指标可以得出，本文小波阈值去噪函数对于高斯白噪声和椒盐噪声都具有较好的去噪效果，克服了硬阈值函数获取小波系数连续性很差和软阈值函数导致的小波系数与估计小波系数之间偏差问题，并且提高了算法自适应性，减小了传统滤波器导致的模糊现象和计算复杂度。

2 改进的Canny边缘检测算法

2.1 彩色图像的四元数表示

目前，利用四元数思想来描述彩色图像已经被广泛应用，该方法利用向量的思想对彩色图像的颜色空间信息统一表示，解决了对图像色彩信息的有效表达。四元数是一种简单的超复数，主要由一个实部和三个虚部组成，表示如下：

Q=a+bi+cj+dk

其中，点积、叉积和模值运算规则定义如下：

Q1·Q2=a1a2+b1b2+c1c2+d1d2

(10)

Q1×Q2=(c1d2-d1c2)i+(d1b2-b1d2)j+

(b1c2-c1b2)k

(11)

(12)

可以看到，当实部a=0时，可令四元数的三个虚部分别代表彩色图像的R、G、B三个通道，这样就可以把彩色图像的每个像素都可以表示为一个纯四元数[12]：

f(x,y)=fR(x,y)·i+fG(x,y)·j+

fB(x,y)·k

(13)

2.2 四元数结合Canny算法

传统灰度Canny算子边缘检测步骤如下：

(1) 使用高斯滤波器对图像进行预处理，其中高斯函数方差人为设定。

(2) 对预处理后的图像采用2×2模板计算梯度幅值和梯度方向。

(3) 对梯度图像进行非极大值抑制，将梯度最大值点作为候选边缘点。

(4) 人为确定高、低阈值并采用连接方法确定图像最终边缘。

图像梯度幅值和幅角的计算直接影响边缘检测图像的连续性以及真实边缘的数量，所以本文运用四元数理论，对文献[8]中的特征矩阵进行改进，将2×2模板扩为3×3模板，并添加45°和90°计算方向，构造出一种新的梯度幅值和方向的计算方法，从而使得可以直接对彩色图像进行边缘检测。

彩色四元数边缘特征矩阵可以用来分析彩色图像的边缘特性可结构特征[8]，因此改进的四方向彩色边缘特征矩阵为：

(14)

(15)

(16)

(17)

式中：px、py、p45°和p135°分别为0°、180°、45°和135°这四个方向上的微分；“-”表示利用中值滤波器对四元数微分运算后的点积进行空间上的滤波处理。

根据式(10)-式(12)可以得到如下点积运算表达式：

(18)

(19)

(20)

(21)

px·p45°=RxR45°+GxG45°+BxBy

(22)

式中：R、G、B分别表示彩色图像三通道。

可以看到，式(14)-式(17)都很好地结合了四个方向上的微分，但是通过实验发现，式(14)所得到的边缘图像在边缘连续性上优于其他公式，并且计算复杂度相对较低，所以彩色四元数边缘特征矩阵可以表示为：

(23)

对彩色四元数边缘特征矩阵进行特征值分析，设矩阵特征值为λ，则:

(24)

通过计算可以得到特征值λ1和λ2，具体表达式如下：

(25)

(26)

式中：λ1为第一特征量表示彩色图像局部色彩梯度变化最大处的微分能量[13]；λ2为第二特征量表示垂直于局部色彩突出变化方向的能量。通过分析可设方向的表达式如下：

(27)

3 实验结果与分析

为了验证本文算法在彩色房屋图像上去噪和边缘检测方面的效果，在MATLAB R2016b平台上实现算法。以512×512的彩色房屋图像为例，其中：实验三中加入均值为0、方差为0.03的高斯白噪声；实验四中加入均值为0、方差为0.05的高斯白噪声。实验结果分别如图4和图5所示。

图4 实验三结果

图5 实验四结果

可以看出，当分别加入均值为0、方差为0.03和方差为0.05的高斯白噪声检测彩色房屋图像时，本文小波阈值去噪能够较好地去除噪声，含噪图像所得边缘由于噪声的影响导致边缘轮廓几乎看不见；而文献[8]算法所得边缘连续性较低，可以看出本文边缘检测算法具有较好的检测效果和去噪效果，并且降低了错检率和漏检率，自适应性高。

图像质量评价客观法是通过测量相关指标定量模拟人类视觉系统对图像质量感知效果[14]。本文将采用客观评价指标峰值信噪比(PSNR)和信噪比(SNR)来衡量原始彩色图像边缘检测后的边缘图与彩色噪声图像边缘检测之后的边缘图之间的比率，并采用结构相似度(SSIM)指标来说明原始彩色边缘图像与本文小波阈值去噪后的彩色边缘图像之间的亮度、对比度和结构的相似性。结构相似度指标定义如下[15]：

SSIM(x,y)=[l(x,y)]α[c(x,y)]β[s(x,y)]γ

(28)

式中：x和y分别是不含噪声边缘图和含有噪声边缘图；l(x,y)、c(x,y)、s(x,y)分别为两幅图像x和y的亮度相似性、对比度相似性、结构相似性。客观评价指标结果如表3和表4所示。

表3 浓度为0.03时算法PSNR、SNR和SSIM值

表4 浓度为0.05时算法PSNR、SNR和SSIM值

4 结 语

本文通过分析RGB颜色空间中各分量间存在的高关联性而导致部分边缘无法被检测以及抗噪性低问题，提出一种基于多层小波阈值函数的彩色图像边缘检测方法。通过构建自适应多层小波阈值函数对图像进行去噪预处理，并结合已有的四元数理论构建新的四方向特征矩阵模型求解梯度幅值和幅角。实验结果表明，本文算法检测出的彩色图像轮廓连续性明显提高，去噪效果良好，并且降低了漏检率和错检率，是一种可行的无监督算法。